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第 5 章

第 5 章. 機率. 5. 1. 指派機率的三個方法. 指派機率的方法有三種： 古典方法 (classical approach) ：數學家用來決 定與機會遊戲相關的機率問題。 相對次數方法 (relative frequency approach) ： 以一個事件在長時期下發生的相對次數定義機 率。 主觀方法 (subjective approach) ：當古典方法並 不是很適用而且也沒有實驗結果發生的歷史資 料時。. 第 5 章 機率 第 124-125 頁. 5. 2. 古典方法.

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第 5 章

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  1. 第 5 章 機率 5.1

  2. 指派機率的三個方法 • 指派機率的方法有三種： • 古典方法(classical approach)：數學家用來決 定與機會遊戲相關的機率問題。 • 相對次數方法(relative frequency approach)： 以一個事件在長時期下發生的相對次數定義機 率。 • 主觀方法(subjective approach)：當古典方法並 不是很適用而且也沒有實驗結果發生的歷史資 料時。 第5章 機率 第124-125頁 5.2

  3. 古典方法 如果一項實驗有n種可能的結果，這種方法將指派1/n的機率給每一種結果。因此，判定可能結果的次數是必要的。 實驗：投擲骰子 樣本空間： {1, 2, 3, 4, 5, 6} 機率：每一種結果被指派的機率為1/6。 第5章 機率 第124頁

  4. 相對次數方法 Bits & Bytes 電腦商店追蹤一個月(30天)期間桌上型電腦系統售出的數量: 例如, 30天當中的10天 售出2部桌上型電腦 由此我們可以建立一事件 (即，在任一給定日子,電腦系統售出數量)的機率… 第5章 機率 5.4

  5. 相對次數方法 在任何一給定的日期，有40% 的機會 Bits & Bytes 將會賣出3部桌上型電腦。 第5章 機率 5.5

  6. 主觀方法 • 在主觀方法上，我們以對一個事件發生的信賴程 度來定義機率。 例，降雨機率“P.O.P.”的天氣預測 • 不同的預測者以不同的方法定義“降雨的機率”， 但是基本上它是一種根據過去觀察並且綜合目 前天氣狀況的主觀機率。 • POP 60%―根據目前狀況，有60% 的機會會下雨。 第5章 機率 第125頁 5.6

  7. 機率的詮釋 • 無論使用哪一種指派機率的方法，我們皆使用無 限多次實驗的相對次數方法解析機率。 • 例如，一種政府的樂透遊戲，其中 6 個號碼(共 49個號碼)會被抽出。古典方法將會預測任何一 個號碼被抽出的機率是1/49=2.04% 。 • 我們詮釋此機率為：以長時間而言，每一個號碼 被抽出的機會是2.04% 。 第5章 機率 第126頁

  8. 聯合、邊際和條件機率 • 我們研究決定事件機率的各種方法，這些事件是 以各種方式與其他事件組合而得。 • 有幾種事件組合的方式與事件之間的關係： • 餘集事件 • 交集事件 • 聯集事件 • 互斥事件 • 相依與獨立事件 第5章 機率 5.8

  9. 餘集事件 • 事件A的餘集(complement)是當事件A不發生的 事件。 • A的餘集是以Ac表示之 • 下列的范氏圖說明餘集的概念。 • P(A) + P(Ac ) = 1 A Ac 第5章 機率 第138頁 5.9

  10. 餘集事件 例如，長方形中存放投擲 2 個骰子所有可能的結果 {(1,1), 1,2),… (6,6)} 令A = 投擲的總和為7 {(1,6),(2, 5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)} P(總和 = 7) + P(總和不等於7) = 1 A Ac 第5章 機率 5.10

  11. 兩個事件的交集 • 事件A 和事件B 的交集(intersection) 是A 和B 同 時發生的事件。 • 它被表達成A且 B。 • A和B的聯合機率 (joint probability)是 A和B交集的機率， 即P(A且 B)。 A B 第5章 機率

  12. 兩個事件的交集 • 例如，令 A =投擲的第一個骰子為1 {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6)}且 B = 投擲的第二個骰子 為 5 {(1,5), (2,5), (3,5), (4,5), (5,5), (6,5)} • 交集是 {(1,5)} • A和B的聯合機率是 A和B交集的機率 即P(A且B) = 1/36 A B 第5章 機率 5.12

  13. 兩個事件的聯集 • 事件A 和B 的聯集(union) 是指事件A 發生，或事 件B 發生，或兩者皆發生的事件。 • 它可以被表達成 A或 B。 A B 第5章 機率 第133頁 5.13

  14. 兩個事件的聯集 例如，令A = 投擲的第一個骰子為1 {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6)}且B = 投擲的第二個骰子為5 {(1,5), (2,5), (3,5), (4,5), (5,5), (6,5)} A和B的聯集是 {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,5), (3,5), (4,5), (5,5), (6,5)} B A 第5章 機率 5.14

  15. 互斥事件… • 當兩個事件是互斥(也就是兩個事件不能一起發 生)，它們的聯合機率是 0， 因此： A B 互斥；沒有共同點… 例如，A = 投擲的點數和為7 且 B = 投擲的點數和為11 第5章 機率 5.15

  16. 各種機率的基本關係… A Ac A B A A B B 餘集事件 聯集事件 交集事件 互斥事件 第5章 機率 5.16

  17. 範例5.1　判定成功的共同基金經理人，第一部分範例5.1　判定成功的共同基金經理人，第一部分 為何有些共同基金的經理人比其他的共同基金經理人成功？一個可能的因素是這類經理人取得其MBA 學位的大學。假設有位潛在投資者，研究基金經理人獲得MBA 在操作共同基金的表現和他或她從哪個學校獲得MBA學歷之間的關係。分析之後，得到表5.1，它是一個聯合機率的分配表。分析這些聯合機率並解析這些結果。 表5.1 告訴我們一個共同基金超越市場的表現和它的經理人畢業於前 20 名的MBA 學程的聯合機率是.11。 第5章 機率 第128頁 5.17

  18. 範例5.1　判定成功的共同基金經理人，第一部分範例5.1　判定成功的共同基金經理人，第一部分 為了讓我們的工作簡單一點，我們將用符號來表示事件。令： A1 = 基金經理人畢業於前 20 名的MBA 學程 A2 = 基金經理人不是畢業於前 20 名的MBA 學程 B1 = 共同基金超越市場的表現 B2 = 共同基金沒有超越市場的表現 P(A2且B1) = .06 = 共同基金超越市場的表現 且基金經理人不是畢業於前 20 名的MBA 學程 第5章 機率 第129頁 表5.1 5.18

  19. 邊際機率 邊際機率(marginal probability) 是由計算列總和與行總和所得的數值，也就是，它們被計算在表格的邊際上：P(A2) = .06 + .54 • 基金經理人不是畢業於 • 前20名的MBA 學程 P(B1) = .11 + .06 機會加總成1 • 共同基金超越市場的表現 第5章 機率 第129-130頁 表5.2 5.19

  20. 條件機率 • 條件機率(conditional probability)是用來決定兩 個事件是如何相關聯的；也就是，給定另一相 關事件的發生(條件)，我們可以決定一事件的機 率。 • 條件機率表達成 P(A | B)並且讀為“給定B發生的 條件下，A發生之機率” 並且計算為： 第5章 機率 第130-131頁 5.20

  21. 條件機率 再次地，在給定另一事件已經發生的條件下，一事件發生的機率被稱為條件機率… 注意“A 給定 B” 與“B 給定 A” 是如何相關的… 第5章 機率 第131頁 5.21

  22. 條件機率 範例 5.2 畢業於前20名MBA學程的經理人所管理的基金，它沒有超越市場表現的機率為何? 回顧: A1 = 基金經理人畢業於前20 名的MBA 學程 A2 = 基金經理人不是畢業於前20 名的MBA 學程 B1 = 共同基金超越市場的表現 B2 = 共同基金沒有超越市場的表現 因此，我們想要求的條件機率表達成 P(A1 | B2)。 第5章 機率 第131頁

  23. 條件機率 我們想計算P(A1 | B2) 因此，畢業於前20名MBA學程經理人所管理的基金，有34.9% 的機會沒有超越市場的表現。 第5章 機率 第132頁 5.23

  24. 獨立 • 一個計算條件機率的目的是判定兩個事件是否相 關。具體地說，我們希望知道是否它們是獨立 事件(independent events)。 • 從另一個角度來看，假如一個事件發生的機率不 會被另外一個事件的發生所影響，兩個事件是 獨立的。 • 兩事件A 和B 被稱為是獨立，如果 P(A|B) = P(A) 或 P(B|A) = P(B) 第5章 機率 第132頁 5.24

  25. 獨立 例如，我們看見 P(A1 | B1) = .275 B1的邊際機率是：P(B1) = 0.17 因為P(A1|B1) ≠ P(A1), A1與B1為非獨立的事件 換言之，它們是相依的。也就是，(B1) 事件的機率會受另外一個事件 (A1)發生的影響。 第5章 機率 5.25

  26. 聯集 我們先前敘述過兩事件的聯集被表達成：A 或B。 我們可以使用此觀念回答如下的問題： 判定一個隨機選取的共同基金超越市場的表現或它的經理人畢業於前 20 名MBA 學程的機率。 第5章 機率 第133頁 5.26

  27. 聯集 決定一個基金超越市場表現(B1) 或它的經理人畢業於前20 名MBA 學程的機率(A1) 。 A1或B1發生，每當： A1且B1發生, A1且B2 , 或A2且B1發生… P(A1或B1) =.11+.06+ .29 =.46 第5章 機率 第134頁 5.27

  28. 聯集 決定一個基金超越市場表現(B1) 或它的經理人畢業於前20 名MBA 學程的機率(A1) 。 B1 A1 P(A1或 B1) =.11+.06+ .29 =.46 第5章 機率 第134頁 5.28

  29. 另一種選擇… 取100%並且減去“當不是(非) A1或 B1發生時”? 即，在A2且B2 B1 A1 P(A1或B1) = 1 – P(A2且B2) = 1 – .54 = .46 第5章 機率 第134頁 5.29

  30. 機率法則和樹狀圖 • 我們將介紹三個法則，幫助我們從比較簡單的事 件去計算更複雜事件的機率。 • 餘集法則(complement rule) • 乘法法則(multiplication rule) • 加法法則(addition rule) 第5章 機率 第138.140-141頁 5.30

  31. 餘集法則 事件A 的餘集(complement)是當事件A不發生的事件。對任何事件A P(AC) = 1 – P(A) 例如，投擲一顆骰子，投擲出1“1” 的機率是1/6 。投擲出除了1之外其他數字的機率是1 – 1/6 = 5/6 。 第5章 機率 第138頁 5.31

  32. 乘法法則 • 乘法法則(multiplication rule)是用以計算兩個事件的聯合 機率。它是基於前一章所介紹的條件機率公式。也就是， 從下列的公式： • 我們簡單地將兩邊同乘以P(B) 即可導出乘法法則。 P(A且 B) = P(B) P(A | B) • 或者是另一種表達方式 P(A且B) = P(A) P(B | A) • 任何兩獨立事件A 和B 的聯合機率是P(A且 B) = P(A) P(B) 第5章 機率 第138-139頁 5.32

  33. 範例5.5　以不放回的方式抽選兩個學生 一門研究所的統計課程有7 位男學生和3 位女學生。授課教授希望隨機抽選2 位學生以幫助她進行一項研究方案。抽到的2 位學生皆是女性的機率為何？ 第5章 機率 第139頁

  34. 範例5.5　以不放回的方式抽選兩個學生 令A 表示第一位抽出學生為女性的事件 P(A) = 3/10 = .30 下一位學生又是如何呢？ 第5章 機率 第139頁

  35. 範例5.5　以不放回的方式抽選兩個學生 B 表示第二位抽出學生也為女性的事件 P(B | A) = 2/9 = .22 在抽出一位學生之後，班上只剩下9 位學生。給定第一位抽出學生是女性的條件下，僅剩下2 位女學生。故2 (女性) / 9 (剩下的學生) = 2/9 第5章 機率 第139頁

  36. 範例5.5　以不放回的方式抽選兩個學生 因此, 我們要回答此一問題：P(A且B)為何? “這位教授從她的10人研究所班級中抽到 2位女性學生的機率是 6.7% ” 第5章 機率 第140頁

  37. 範例5.6　以放回的方式抽選兩個學生 參考範例 5.5。 假如教該課程的教授遭受到流行性感冒而且將無法來教接下來的兩堂課。來代課的教授將替她教課兩次。他的風格是上課隨時會隨機抽出一位學生並要他或她回答問題。抽到2位學生皆是女性的機率為何？ 第5章 機率 第140頁 5.37

  38. 範例5.6　以放回的方式抽選兩個學生 令A 表示第一位抽出學生為女性的事件 P(A) = 3/10 = .30 下一位學生又是如何呢？ 第5章 機率 第140頁 5.38

  39. 範例5.6　以放回的方式抽選兩個學生 B 表示第二位抽出學生也為女性的事件 P(B | A) = 3/10 = .30 也就是，給定第一位被選出學生是女性的條件下，第二位被抽出學生也是女性的機率是不變的，因為在第一堂課中被抽出的學生，在第二堂課中也可以被抽出。 第5章 機率 第140頁 5.39

  40. 加法法則 事件A，或事件B，或兩事件都發生的機率是 P(A或 B) = P(A) + P(B) – P(A且 B) A B A B + – = 如果 A 和 B 是互斥，那麼此項為零 P(A或B) = P(A) + P(B) – P(A且B) 第5章 機率 第140-141頁 5.40

  41. 範例5.7　加法法則的應用 在一個大城市裡，有兩家發行報紙──《太陽報》(Sun) 和《郵報》(Post)。其發行部門指出該城市22% 的家庭訂閱《太陽報》和35% 訂閱《郵報》。一項調查顯示有6% 的家庭同時訂閱兩種報紙。有多少比例的家庭訂閱其中一種報紙？ 第5章 機率 第142頁

  42. 範例5.7　加法法則的應用 我們可以將這個問題表達成，隨機抽取城市中的一個家庭，則該家庭訂閱《太陽報》，或《郵報》，或兩種報紙的機率為何？ P(太陽報 或郵報)？ 第5章 機率 第142頁

  43. 範例5.7　加法法則的應用 在一個大城市裡，有兩家發行報紙──《太陽報》(Sun) 和《郵報》(Post)。其發行部門指出該城市22% 的家庭訂閱《太陽報》和35% 訂閱《郵報》。一份調查顯示有6% 的家庭兩家報紙皆有訂閱。有多少比例的家庭訂閱其中一種報紙？ P(Sun or Post) = P(Sun) + P(Post) – P(Sun and Post) = .22 + .35 – .06 = .51 “一個隨機抽取的家庭至少訂閱其一種報紙的機率是.51” 第5章 機率 第142頁

  44. 機率樹狀圖 一個有效且簡單應用機率法則的方法是機率樹狀圖，當中一個實驗的事件用線條來表示。結果的圖形呈現樹的形狀，也因此得到樹狀圖的名稱。我們將用數個範例來介紹樹狀圖的使用，包括前面兩個我們曾單獨用來解說機率法則的範例。 第5章 機率 第142頁 5.44

  45. 範例5.5　以不放回的方式抽選兩個學生 P(F|F) = 2/9 P(F) = 3/10 P( M|F) = 7/9 P(F|M) = 3/9 P( M) = 7/10 P( M|M) = 6/9 這是 P(F)，第一次抽取出一位女性學生的機率 第一次抽取 第二次抽取 這是 P(F|F)，二次抽取出一位女性學生的機率是基於第一次已被選取出的女性 第5章 機率 第143頁 5.45

  46. 機率樹狀圖 我們把相連結「樹枝上」的機率相乘以計算聯合機率。其他的聯合機率也是以類似的方式計算。 第5章 機率 第143頁 圖5.1 5.46

  47. 範例5.6　以放回的方式抽選兩個學生 再次地，假設我們有10人的研究所班級，但是讓學生的抽樣獨立，也就是“用放回的方式”―― 一位學生在第一次被抽選出，可以在第二次又被抽選出。我們的樹狀圖與聯合機率現在看起來如下所示： 第5章 機率 第143頁 圖5.2 5.47

  48. 機率樹狀圖 P(F|F) = 2/9 P(F) = 3/10 P( M|F) = 7/9 P(F|M) = 3/9 P( M) = 7/10 P( M|M) = 6/9 在樹枝「尾端」的所有聯合機率的總和必須是1 第一次抽取 第二次抽取 2/9 + 7/9 = 9/9 = 1 3/10 + 7/10 = 10/10 = 1 3/9 + 6/9 = 9/9 = 1 方便的方法可以 檢查這些計算 第5章 機率 5.48

  49. 機率樹狀圖 第5章 機率 注意：樹枝的分裂並沒有要求是二元的，樹也不要求只有兩個階層的深度，每一個次節點的分裂數也不一定會相同… 5.49

  50. 範例5.8　通過律師資格考試的機率 從法學院畢業的學生必須要通過一項律師資格考試才能成為正式的律師。假如在一個特別的管轄區，第一次參加考試的通過率是 72 ％。第一次考試失敗的律師候選人還可以在數個月之後再考第二次。對那些初次考試失敗的人，有 88 ％會通過他們的第二次考試。試求一位隨機選取的法學院畢業生能夠成為正式律師的機率。假設每位候選人只能參加兩次考試。 第5章 機率 第144頁 圖5.3 5.50

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