—— 多面体欧拉定理 ( 一）

研究性课题 ——多面体欧拉定理(一）制作黄学良

介绍数学家欧拉 欧拉（1707～1783）瑞士数学家，大部分时间在俄国和法国度过。他16岁获硕士学位，早年在数学天才贝努里赏识下开始学习数学，并毕生研究数学，是数学史上最“高产”的数学家，在世发表700多篇论文。他的研究论著几涉及到所有数学分支，有许多公式、定理、解法、函数、方程、常数等是以欧拉名字命名的。欧拉还是数学符号发明者，如用f (x)表示函数、∑表示连加、i表示虚数单位、π、e等。在多面体研究中首先发现并证明了欧拉公式，今天我们沿着他的足迹探索这个公式。

1、欧拉定理（公式）的发现 请根据课本P.62.正多面体图形填写下表： 4 4 6 2 8 6 12 2 6 8 12 2 20 12 30 2 12 20 30 2

1、欧拉定理（公式）的发现 欧拉公式: V+F–E=2

连续变形 球体多面体 1、欧拉定理（公式）的发现其实上述欧拉公式对简单多面体都成立像这样，表面经过连续变形可变为球面的多面体叫简单多面体什么是简单多面体呢？

乙甲 1、欧拉定理（公式）的发现欧拉定理简单多面体的顶点数V、棱数E、面数F间满足关系： V+F–E=2

A D D 压到一个平面内 A C C B B 平面图形 2、欧拉定理（公式）的证明首先看最简单的多面体—四面体ABCD : 去掉面BCD 四面体的顶点数V、棱数E、剩下的面数F-1变形后都未变。因此，要研究V、E、F的关系，只需研究去掉一个面的平面图形即可。

D D 去掉外围多边形的边 A A 平面图形 C C 树枝图形 B B 2、欧拉定理（公式）的证明（1）最外面的多边形去掉一条边（棱），就减少一个面，直至树枝图形。在这过程中(F-1)-E和V的值都不改变，从而 (F-1)+V-E=1不改变，即 F+V-E=2 成立；

D D A A A C C C 树枝图形树枝图形 B 树枝图形 2、欧拉定理（公式）的证明（2）再从树枝形图中，去掉一条棱，就减少一个顶点，直至剩下一条棱。在这过程中V-E和F-1的值都不变，(F-1)+V -E =0+2-1=1，从而 F+V-E=2 不变；

令 V+F-E，则 叫做欧拉示性数。显然，简单多面体的欧拉示性数为二；即 2 。 2、欧拉定理（公式）的证明（3）因为对任意的简单多面体，运用这样的方法，最后都是剩下一条棱，所以都可以得到上述结论。从而欧拉公式对任意简单多面体都是正确的。 3、欧拉示性数不同种类的多面体的欧拉示性数是不同的，请看课本P.66.

3、欧拉定理（公式）的应用 例1、求证（1）若一个简单多面体的面都是三角形，则 F=2V- 4 ；（2）若一个简单多面体的面都是四边形，则 F=V- 2 ；（3）若一个简单多面体的面都是五边形，则 F、V有何关系？ 3F=2V- 4

3、欧拉定理（公式）的应用 例2、是由60个C原子构成的分子，它是一个形如足球的多面体。这个多面体有60个顶点，每个顶点处都有三条棱，面的形状只有五边形和六边形，你能算出中有多少个五边形和六边形吗？解答见课本P.68.

定理的意义（几点说明） （1）数学规律：公式描述了简单多面体中顶点数、面数、棱数之间特有的规律；（2）思想方法创新训练：在定理的发现及证明过程中，在观念上，假设它的表面是橡皮薄膜制成的，可随意拉伸；在方法上将底面剪掉，然后其余各面拉开铺平，化为平面图形（立体图→平面图）。（3）引入拓扑新学科：“拉开图”与以前的展开图是不同的，从立体图到拉开图，各面的形状，以及长度、距离、面积、全等等与度量有关的量发生了变化，而顶点数，面数，棱数等不变。事实上，定理在引导大家进入一个新几何学领域：拓扑学。我们用一种可随意变形但不得撕破或粘连的材料（如橡皮波）做成的图形，拓扑学就是研究图形在这种变形过程中的不变的性质。

3、两个概念：简单多面体、 欧拉示性数 V+F-E 课堂小结： 1、欧拉定理简单多面体的顶点数V、棱数E、面数F间满足关系： V+F–E=2 2、欧拉定理（公式）的证明采用的方法：将简单多面体去掉一个面，变形为平面图形来证明的。

作业： 课本P.69. 2、3、4. 10．思考与练习（1）为什么正多面体只有五种？（2）足球与C60的关系？（3）否有棱数为七的正多面体？

—— 多面体 欧拉定理 ( 一）