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第 二 章

第 二 章. 基本概念 和 基本理论. 2.0 、预备知识. 1 、向量和子空间投影定理 (1) n 维欧氏空间: R n 点(向量) : x  R n , x = ( x 1 , x 2 , … , x n ) T 分量 x i  R ( 实数集 ) 方向(自由向量) : d  R n , d  0 d =( d 1 , d 2 , … , d n ) T 表示从 0 指向 d 的方向 实用中,常用 x + d 表示从 x 点出发沿 d 方向移动  d 长度得到的点.

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  1. 第 二 章 基本概念 和 基本理论

  2. 2.0、预备知识 1、向量和子空间投影定理 (1) n维欧氏空间:Rn 点(向量):x Rn, x = (x1 ,x2 ,…,xn)T 分量 xi R (实数集) 方向(自由向量):d Rn, d  0 d =(d1 ,d2 ,…,dn)T表示从0指向d 的方向 实用中,常用 x + d 表示从x 点出发沿d 方向移动d 长度得到的点 d x+(1/2)d x 0

  3. 2.0、预备知识(续) 1、向量和子空间投影定理 (2) 向量运算:x , y Rn n x , y 的内积:xTy =  xiyi = x1y1+ x2y2+ …+ xnyn i =1 x , y 的距离:‖x-y ‖= [(x-y)T(x-y)](1/2) x 的长度:‖x‖= [ xTx ](1/2) 三角不等式:‖x + y ‖≤‖x‖+‖y‖ 点列的收敛:设点列{x(k)} Rn, x Rn 点列{x(k)}收敛到 x ,记 lim x(k) = x lim‖x(k)- x‖ = 0  lim xi(k) = xi ,i k k k x x+y y

  4. 2.0、预备知识(续) 1、向量和子空间投影定理 (3) 子空间:设d (1) , d (2) , … , d (m) Rn, d (k)0 m 记 L( d (1) , d (2) , … , d (m) )={ x = j d (j)jR} j =1 为由向量d (1) , d (2) , … , d (m)生成的子空间,简记为L。 • 正交子空间:设 L为Rn的子空间,其正交子空间为 L={ x  RnxTy=0 , y L} • 子空间投影定理:设 L 为Rn的子空间。那么x Rn, 唯一 x L , y L, 使 z=x+y , 且 x为问题 min ‖z - u‖ s.t. u  L的唯一解,最优值为‖y‖。 • 特别,L=Rn 时,正交子空间 L={ 0 }(零空间)

  5. 2.0、预备知识(续) • 规定:x , y Rn,x ≤ y  xi ≤yi ,i类似规定 x ≥ y,x = y,x < y , x > y . • 一个有用的定理 设 xRn,R,L为Rn的线性子空间, (1)若 xTy ≤  , yRn且 y ≥0, 则 x ≤ 0, ≥0 . (2)若 xTy ≤  , y  L  Rn, 则 x  L, ≥0 .(特别,L=Rn时,x =0) • 定理的其他形式: “若 xTy ≤  , yRn且 y ≤0,则 x ≥ 0, ≥0 .” “若 xTy ≥  , yRn且 y ≥0,则 x ≥ 0, ≤0 .” “若 xTy ≥  , yRn且 y ≤0,则 x ≤ 0, ≤0 .” “若 xTy ≥  , y  L  Rn, 则 x  L, ≤0 .”

  6. 2.0、预备知识(续) 2、多元函数及其导数 (1) n元函数:f (x): Rn R 线性函数:f (x) = cTx + b =  ci xi+ b 二次函数:f (x) = (1/2) xTQx + cTx + b = (1/2)i j aij xi xj+  ci xi+ b 向量值线性函数:F(x) = Ax + d  Rm 其中 A为 mn矩阵,d为m维向量 F(x)=( f1(x), f2(x), … , fm(x) )T 记 aiT为A的第i行向量,fi (x) = aiTx

  7. 2.0、预备知识(续) 2、多元函数及其导数 (2) 梯度(一阶偏导数向量): f (x)=( f / x1 ,  f / x2 , … ,  f / xn )TRn. 线性函数:f (x) = cTx + b ,f (x) = c 二次函数:f (x) = (1/2) xTQx + cTx + b  f (x) = Qx + c 向量值线性函数:F(x) = Ax + d  Rm  F /  x = AT

  8. 2.0、预备知识(续) 2、多元函数及其导数 (3) Hesse 阵(二阶偏导数矩阵):  2f /x1 2  2f /x2 x1 …  2f /xn x1 2f (x)= 2f /x1 x2  2f /x22 …  2f /xn x2 … … … … 2f /x1 xn 2f /x2 xn …  2f /xn2 线性函数:f (x) = cTx + b ,2f (x) = 0 二次函数:f (x) = (1/2) xTQx + cTx + b, 2f (x)=Q

  9. 2.0、预备知识(续) 2、多元函数及其导数 (4)n元函数的Taylor展开式及中值公式: 设 f (x): Rn R,二阶可导。在x* 的邻域内 • 一阶Taylor展开式: f (x) = f (x*)+ f T(x*)(x-x*) + o‖x-x*‖ • 二阶Taylor展开式: f (x) = f (x*)+ f T(x)(x-x*) + (1/2)(x-x*)T2f (x*)(x-x*) + o‖x-x*‖2 • 一阶中值公式:对x,   , 使 f (x) = f (x*)+ [f (x*+(x-x*))]T(x-x*) • Lagrange余项:对x,   , 记xx*+ (x-x*) f (x) = f (x*)+ f T(x)(x-x*) + (1/2)(x-x*)T2f (x )(x-x*)

  10. 2.1 数学规划模型的一般形式 min f(x)--------目标函数 s.t. xS--------约束集合,可行集 其中,S  Rn,f :S  R,xS称(f S )的可行解 • 最优解: x*S,满足f (x*)≤ f (x),  xS。则称 x*为(f S)的全局最优解(最优解), 记 g.opt.(global optimum),简记 opt. • 最优值: x*为(f S)的最优解, 则称 f * = f (x*)为 (f S)的最优值(最优目标函数值) ( f S )

  11. 2.1 数学规划模型的一般形式(续) • 局部最优解: x*S, x* 的邻域 N(x*) ,使满足 f (x*)≤ f (x),  x S  N(x*)。则称 x*为(f S)的局部最优解,记 l .opt.(local optimum) • 在上述定义中,当x  x* 时有严格不等式成立,则分别称 x*为(f S)的严格全局最优解和严格局部最优解。 l .opt . 严格l .opt . 严格g .opt .

  12. 2.1 数学规划模型的一般形式(续) • 函数形式:f(x), gi(x) , hj(x) : RnR min f(x) (fgh) s.t. gi(x)≤ 0 , i = 1,2,…,m hj(x) = 0 , j = 1,2,…,l • 矩阵形式: min f(x) ,f(x): RnR (fgh) s.t. g(x)≤ 0 , g(x) : RnRm h(x) = 0 , h(x) : RnRl 当 f(x), gi(x) , hj(x)均为线性函数时,称线性规划;若其中有非线性函数时,称非线性规划。

  13. 2.2 凸集、凸函数和凸规划 一、凸集 1、凸集的概念: 定义:设集合 S  Rn,若x(1), x(2)S, [0,1],必有 x(1)+(1- ) x(2) S ,则称 S 为凸集。 规定:单点集 {x} 为凸集,空集为凸集。 注: x(1)+(1- ) x(2) = x(2)+(x(1)- x(2))是连接 x(1)与x(2)的线段 。 凸集 非凸集 非凸集

  14. 2.2 凸集、凸函数和凸规划(续) 一、凸集 1、凸集的概念: • 例:证明集合 S = { x∣Ax = b } 是凸集。其中,A为 mn矩阵,b为m维向量。 • 凸组合:设x(1) , x(2) , … , x(m) Rn, j≥0 m m j =1, 那么称 j x(j) 为x(1), x(2), … , x(m)的 j =1 j = 1 凸组合。 m • 比较: z = j x(j) j =1 jR—构成线性组合 ——线性子空间 j≥0 , j >0 —构成半正组合 ——凸锥 j≥0 , j =0 —构成凸组合 ——凸集

  15. 2.2 凸集、凸函数和凸规划(续) 一、凸集 1、凸集的概念: 定理:S是凸集S中任意有限点的凸组合属于S • 多胞形 H(x(1) , x(2) , … , x(m) ): 由 x(1) , x(2) , … , x(m) 的所有凸组合构成。 • 单纯形:若多胞形 H(x(1) , x(2) , … , x(m) )满足, x(2)-x(1) , x(3) -x(1) , … , x(m)-x(1)线性无关。 单纯形 多胞形 单纯形

  16. 2.2 凸集、凸函数和凸规划(续) 一、凸集 2、凸集的性质: • 凸集的交集是凸集;(并?) • 凸集的内点集是凸集;(逆命题是否成立?) • 凸集的闭包是凸集。 (逆命题是否成立?) • 分离与支撑: 凸集边界上任意点存在支撑超平面 两个互相不交的凸集之间存在分离超平面 非正常分离 支撑 强分离 分离

  17. 2.2 凸集、凸函数和凸规划(续) 一、凸集 3、凸锥: • 定义:C Rn, 若 x C,  > 0有 x  C, 则称 C 是以 0 为顶点的锥。如果 C 还是凸集,则称为凸锥。 • 集合 { 0 }、Rn 是凸锥。 • 命题:C是凸锥C中任意有限点的半正组合属于S 0

  18. 2.2 凸集、凸函数和凸规划(续) 二、凸函数 1、凸函数及水平集 定义: 设集合 S  Rn 为凸集,函数 f :SR 若  x(1), x(2)  S,   ( 0 , 1 ) ,均有 f(x(1)+(1- ) x(2) ) ≤f(x(1))+(1- )f(x(2)) , 则称 f(x) 为凸集 S 上的凸函数。 若进一步有上面不等式以严格不等式成立,则称 f(x) 为凸集 S 上的严格凸函数。 • 当- f(x) 为凸函数(严格凸函数)时,则称 f(x) 为凹函数(严格凹函数)。 严格凹函数 凸函数 严格凸函数

  19. 2.2 凸集、凸函数和凸规划(续) 二、凸函数 1、凸函数及水平集: • 定理: f(x) 为凸集 S 上的凸函数 S 上任意有限点的凸组合的函数值不大于各点函数值的凸组合。 • 思考:设f1, f2是凸函数, • 设1, 2 > 0, 1f1+2f2 , 1f1 - 2f2是否凸函数? • f(x)= max{ f1(x) , f2 (x) } , g(x)= min{ f1(x) , f2 (x) }是否凸函数?

  20. 2.2 凸集、凸函数和凸规划(续) 二、凸函数 1、凸函数及水平集: • 定义:设集合 S  Rn ,函数 f :SR,  R, 称 S = { x S∣f(x) ≤} 为 f(x) 在 S 上 的 水平集。 • 定理:设集合 S  Rn 是凸集,函数 f :SR是凸函数,则对   R,S是凸集。 • 注: • 水平集的概念相当于在地形图中,海拔高度不高于某一数值的区域。 • 上述定理的逆不真。 考虑分段函数f(x)=1(x≥0)或0(x<0),函数非凸,但任意水平集是凸集。

  21. 2.2 凸集、凸函数和凸规划(续) 二、凸函数 2、凸函数的性质: • 方向导数:设 S Rn 为非空凸集,函数 f :SR ,再设 x*S, d 为方向,使当> 0充分小时有 x*+d S,如果 lim[ f(x*+ d )-f(x*) ] / 存在(包括  )   则称 f(x) 为在点沿方向的方向导数存在,记 f `(x*;d) = lim[ f(x*+ d )-f(x*) ] /    • 若 f(x) 在 x* 可导,则 f `(x*;d) = [f (x*) ]Td .

  22. 2.2 凸集、凸函数和凸规划(续) 二、凸函数 2、凸函数的性质: 以下设 S Rn 为非空凸集,函数 f :SR 2)若f 凸,则 f 在 S 的内点集上连续; 注: f 在 S 上不一定连续。 例: f(x)=2(当x=1); f(x)=x2 (当x<1) . 3)设f 凸,则对任意方向方向导数存在。 4)设 S 是开集,f 在 S 上可微,则 f凸 x*S,有f (x) ≥ f (x*)+ f T(x*)(x-x*) ,  x S . 5) 设 S 是开集,f 在 S 上二次可微,则 a) f 凸 xS,2f (x) 半正定; b) 若 xS,2f (x) 正定,则f严格凸。

  23. 2.2 凸集、凸函数和凸规划(续) 二、凸函数 2、凸函数的性质: • 例: • f(x)=x12+2x1x2+2x22+10x1 - 4 ; • f(x)=-3x12+x1x2-x22-2x32-2x2x3+26 ; • f(x)=3x12+ax1x2+2x22-4x1+6 ( a=5, 4.5 );

  24. 2.2 凸集、凸函数和凸规划(续) 三、凸规划: • 当(f S)中,S为凸集,f是S上的凸函数(求min),称(f S)为凸规划; • 对于(fgh), f,gi为凸函数,hj为线性函数时,(fgh)为凸规划。 • 定理:设集合 S Rn 为凸集,函数 f :SR f(x) 为凸集 S 上的凸函数。X*为问题(fs)的l.opt,则X*为g.opt;又如果f是严格凸函数,那么X*是(fs)的唯一g.opt。

  25. 2.3 多面体、极点、极方向 1)多面体:有限个半闭空间的交 例:S = { xRnAx = b , x≥0 }

  26. 2.3 多面体、极点、极方向 2) 多面体的极点(顶点): xS,不存在 S中的另外两个点x(1)和x(2),及 λ(0,1),使 x = λx(1)+(1-λ)x(2). 3) 方向:xS , dRn , d 0 及 λ > 0 , 总有 x + λd S. d(1) = λd(2) ( λ>0) 时,称 d(1)和d(2)同方向。 4) 极方向:方向 d不能表示为两个不同方向的组合 ( d = d(1)+d(2) ) .

  27. 2.3 多面体、极点、极方向 多面体 S = { xRnAx = b , x≥0 }的极点和极方向 定理1(极点特征)设 A满秩,x是 S 极点的充分必要条件是: 存在分解 A = [ B , N ],其中B为m阶非奇异矩阵,使 xT = [ xBT, xNT ], 这里 xB = B-1b≥0, xN =0. • S中必存在有限多个极点。( ≤ Cnm )

  28. 2.3 多面体、极点、极方向 多面体S = { xRnAx = b , x≥0 }的极点和极方向 定理2(极方向特征) 设 A = [p1, p2, … ,pn]满秩,d是 S极方向的充分必要条件是: 存在分解 A = [ B , N ],其中B为m阶非奇异矩阵,对于N中的列向量 pj使 B-1pj≤0, dT = [ dBT, dNT ], 这里 j dB = -B-1pj, dN = (0, ... , 1, … ,0)T • S中必存在有限多个极方向。( ≤ (n-m)Cnm )

  29. 例题 考虑多面体 S = { xRnAx = b , x≥0 },其中 3 2 1 0 0 65 A = 2 1 0 1 0 b = 40 0 3 0 0 1 75 即 3 x1 + 2 x2 + x3 = 65 2 x1 + x2 + x4 = 40 3 x2 + x5 = 75 x1 , x2 , x3 , x4 , x5 ≥ 0

  30. 例题 3 2 1 0 0 A = [ P1 , P2 , P3 , P4 , P5 ] = 2 1 0 1 0 0 3 0 0 1 A矩阵包含以下10个3×3的子矩阵: B1=[p1 ,p2 ,p3] B2=[p1 ,p2 ,p4] B3=[p1 ,p2 ,p5] B4=[p1 ,p3 ,p4] B5=[p1 ,p3 ,p5] B6=[p1 ,p4 ,p5] B7=[p2 ,p3 ,p4] B8=[p2 ,p3 ,p5] B9=[p2 ,p4 ,p5] B10=[p3 ,p4 ,p5]

  31. 例题 其中B4= 0,因而B4不能构成极点和极方向。其余均为非奇异方阵,因此该问题共有9个可构成极点、极方向的子矩阵,我们称之为基。 对于基B3=[p1 ,p2 ,p5],令x3= 0, x4 = 0,在等式约束中令x3 = 0,x4= 0,解线性方程组: 3 x1+ 2 x2+ 0 x5= 65 2 x1+ x2+ 0 x5= 40 0 x1+ 3 x2+ x5 = 75 得到x1=15,x2= 10,x5 = 45,对应的极点: x = (x1,x2,x3,x4,x5 )T = (15,10,0,0,45 )T

  32. 例题 类似可得到极点 x(2) = (5, 25, 0, 5, 0 )T(对应B2) x(7) = (20, 0, 5, 0, 75 )T(对应B5) x(8) = (0, 25, 15, 15, 0 )T(对应B7) x(9) = (0, 0, 65, 40, 75 )T(对应B10) 而 x(3)= (0, 32.5, 0, 7.5, -22.5 )T(对应B9) x(4)= (65/3, 0, 0, -10/3, 75 )T(对应B6) x(5)= ( 7.5, 25, -7.5, 0, 0 )T(对应B1) x(6) = ( 0, 40, -15, 0, -45 )T(对应B8) 不是极点

  33. 2.3 多面体、极点、极方向 多面体 S = { xRnAx = b , x≥0 }的极点和极方向 定理3(表示定理)考虑上述多面体S, 设A满秩,x(1),x(2) , …,x(k)为所有极点, d(1),d(2) , …,d(l)为所有极方向。那么,对于 xS,λi≥0,且λ1+ λ2+…+ λk= 1, j≥0, j = 1,2,…,l, 使 x = λ1 x(1) + λ2 x(2) + … + λk x(k) + 1 d(1) + 2 d(2) + … + l d(l) .

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