第二章

第二章 控制系统数学模型

本章提纲 第一节控制系统的微分方程第二节拉普拉斯变换第三节控制系统的传递函数第四节控制系统结构图第五节闭环控制系统的传递函数第六节相似系统小结

研究与分析一个系统的动态特性，或对系统进 行控制，不仅要定性的了解系统的工作原理，而且要定量的描述系统的动态性能，揭示系统的结构、参数与动态性能之间的关系。这就要建立系统的数学模型系统的数学模型:描述系统输入、输出变量以及内部各变量之间的数学表达式。描述各变量动态关系的数学表达式，称为动态模型。常用的动态模型有微分方程、传递函数及动态结构图。

建立合理的数学模型，对于系统的分析研究是至关重要的。一般应根据系统的实际结构参数及计算所要求的精度，略去一些次要因素，使模型即能准确的反映系统的动态特性，又能简化分析计算的工作。建立合理的数学模型，对于系统的分析研究是至关重要的。一般应根据系统的实际结构参数及计算所要求的精度，略去一些次要因素，使模型即能准确的反映系统的动态特性，又能简化分析计算的工作。依据系统及元件各变量之间所遵循的物理、化学定律，列写出变量之间的数学表达式，从而建立数学模型。解析法建立系统数学模型的方法试验法

第一节控制系统的微分方程 系统的微分方程是动态数学模型中最基本的一种。用解析法建立系统微分方程式的一般步骤如下： 1、根据实际工作情况，确定系统和各元件的输入、输出变量。 2、从输入端开始,按照信号的传递顺序,依据各变量所遵循的物理(或化学)定律，列出在变化过程中的动态方程,一般为微分方程组。 3、消去中间变量，写出输入输出变量的微分方程。 4、标准化。

M 一、微分方程式的建立例1 弹簧—质量—阻尼器系统图2-1表示一个弹簧—质—阻尼器系统。当外力f(t)作用时，系统产生位移y(t)，要求写出系统在外力f(t)作用下的运动方程式。f(t)是系统的输入，y(t)是系统的输出。运动部件的质量为M。

M 阻尼器阻力 (1)根据牛顿第二定律，有：弹簧弹力 (2)f1(t)和f2(t)为中间变量： (2.1) (2.2) (2.3) B为阻尼比 (3) 系统的微分方程式 : K为弹性系数

(2.4) 此机械位移系统为线性定常系统。 (4)标准化 (2.5) 令则有 (2.6)

弹簧-质量-阻尼系统的标准微分方程式 (2.6)

图2-2所示R-L-C电路中R、L、C均为常值， 为输入电压，为输出电压。要求列出与的方程关系式。例2R-L-C电路图2-2 (1)根据克希霍夫定律可写出原始方程式： (2.7) (2)i与输出uc(t)有如下关系：

(2.7) (2.8) (3) 输入输出微分方程式： (2.9)

例3 如图2-3为由两级形式相同的RC电路串联组成的滤波网络.试列写以Ur为输入, Uc为输出的网络的动态方程. (1)根据克希霍夫定律写出原始方程式：图2-3 两级RC滤波网络 (2.9)

(2.10) (2.11) (2) 输入输出微分方程式： (2.12) 令 (2.13)

磁场固定不变(激磁电流If =c)，用电枢电压来控制的直流电动机。控制输入为电枢电压ua，输出为，负载转矩ML变化为主要扰动。求输入与输出关系微分方程式。（例4  图2-4 电枢电压控制的直流电动机线路原理图 15

(1)列写原始方程式。首先根据克希霍夫定律写出电枢回路方程式如下：(1)列写原始方程式。首先根据克希霍夫定律写出电枢回路方程式如下： (2.14) 转动部分粘性摩擦系数(牛顿·米／弧度／秒) 电动机角速度（弧度/秒）根据刚体旋转定律，可写运动方程式反电势系数(伏/弧度/秒) (2.15) (2)Md和ia是中间变量 (2.16) 电磁转矩(牛顿·米) 电动机轴上负载转矩(牛顿·米) 转动部分转动惯量(公斤·米2) (3)整理后得：电磁转矩系数(牛顿·米/安)

若输出为电动机的转角，则按式(2.17)有: (2.17) （2.18）

电动机 电位器功率放大器测速发电机

忽略粘性摩擦 （2.18）（2.19）

二、非线性微分方程的线性化 控制系统都有一个平衡的工作状态和相应的工作点非线性数学模型线性化的一个基本假设是变量对于平衡工作点的偏离很小. 展开成泰勒级数:

若在工作点附近增量 很小,则上式近似为线性化处理时应注意以下几点: (1)线性方程中的参数与选择的工作点有关,因此处理时首先确定工作点。 (2)当输入量变化较大时，用上述方法处理误差较大。 (3)如果系统在工作点处的非线性特性是不连续的，其泰勒级数不收敛，上述方法不能用。

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