数据库系统概论 An Introduction to Database System 第 6 章关系数据理论

数据库系统概论 An Introduction to Database System 第6章关系数据理论

第6章关系数据理论 6.1 问题的提出 6.2 规范化 6.3 数据依赖的公理系统 *6.4 模式的分解

6.3 数据依赖的公理系统 • 函数依赖的推导公理（Armstrong公理） • 函数依赖与属性关系 • 闭包及其计算 • 函数依赖集的最小集 • 候选关键字的求解理论和算法

一、函数依赖的推导公理（Armstrong公理） 设关系模式R <U，F >，X，Y，Z，W U 有以下的推理规则： A1.自反律（Reflexivity）：若Y  X  U，则 X →Y A2.增广律（Augmentation）：若X→Y ，则 XZ→YZ A3.传递律（Transitivity）：若X→Y及 Y→Z ，则X→Z

根据A1，A2，A3这三条推理规则可以得到以下推论：根据A1，A2，A3这三条推理规则可以得到以下推论： • 合并规则：由X→Y，X→Z，有X→YZ （A2， A3） • 伪传递规则：由X→Y，WY→Z，有XW→Z （A2， A3） • 分解规则：由X→YZ,则X→Y，X→Z （A1， A3）定理: Armstrong公理是正确的，完备的。

二、函数依赖与属性关系 属性间有三种关系，但并不是每种关系中都存在函数依赖 • X和Y之间是“1：1”关系，则存在函数依赖X→Y，Y→X （X←→Y） • X和Y之间是“N：1”关系，则存在函数依赖X→Y • X和Y之间是“M：N”关系，则不存在函数依赖

三、闭包及其计算 • 定义：设关系模式R（U，F），则称所有用Armstrong公理从F推导出的函数依赖X→Ai中Ai的属性集合为X的属性闭包，记为X+。 • 定理：设关系模式R（U，F），X，Y U，则从F推出X→Y的充要条件是Y X+。

三、闭包及其计算 算法：求属性集X关于U上的函数依赖集F 的属性闭包X+ 输入：U，F，X 输出：X+ 步骤：计算X（i）(i=0,1,2…) （1）令X（0）=X，i=0 （2）求X（i+1）=X（i）A 其中A是这样的属性：在F中寻找尚未使用过的左边是X（i）的子集的函数依赖：Yj→Zj (j=1,2…),其中Yj X（i），即在Zj中寻找X（i）中未出现过的属性集合A，若无这样的A则转（4）（3）判断是否有X（i+1）= X（i），若是则转（4）；否则转（2）（4）输出X（i），即为X+ 注：对于（3）的停止条件，以下四种方法是等价的： • X（i+1）= X（i） • 当发现X（i）包含了全部属性（X（i）为侯选码） • 在F中未用过的函数依赖的左边属性已没有X（i）的子集 • 在F中的函数依赖的右边属性中再也找不到X（i）中未出现过的属性

三、闭包及其计算 [例] 设关系模式R（U，F），其中U={A，B，C，D，E，I} F={A→D，AB→E，BI→E，CD→I，E→C} 计算：（AE）+ 解：（1）令X={AE} X（0）=AE （2）在F中找出左边是AE子集的函数依赖，结果是A→D，E→C 所以，X（1）=X（0）DC=AEDC （3）判断X（1）≠X（0）继续（2）在F中找出尚未使用过的左边是AEDC子集的函数依赖，结果是：CD→I 所以，X（2）=X（1）I=AEDCI，判断X（1）≠X（0），继续（2）但是，F中未用过的左边是AEDCI子集的函数依赖已经没有了，结束（4）输出X（2）即（AE）+=AEDCI

四、函数依赖集的最小集 1.等价和覆盖 • 定义：一个关系模式R（U）上的两个函数依赖集F和G，如果F+=G+，则称F和G是等价的，记作F≡G。（在关系模式R<U，F>中为F所逻辑蕴含的函数依赖的全体叫作 F的闭包，记为F+。） • 如果F≡G，则称G是F的一个覆盖，反之亦然。

四、函数依赖集的最小集 2.函数依赖的最小集 • 定义：对于给定的函数依赖F，当满足下列条件时，称为F的最小集，记作F’: （1）F’的每个依赖的右部都是单个属性（2）对于F’中的任何一个函数依赖X→A，F’-{X→A}与F’不等价（3）对于F’中的任何一个X→A和X的真子集Z，（F’-{X→A}）∪{Z→A}与F’都不等价其中（2）保证了在F中不存在多余的函数依赖（3）保证了F中每个函数依赖的左边没有多余的属性。 • 定理：每个函数依赖集F与它的最小函数依赖集F’等价。

3.计算最小函数依赖集算法 输入：一个函数依赖集输出：F的一个等价最小依赖集G 方法：（1）应用分解规则，使F中每一个依赖的右部属性单一化（2）去掉各依赖左部多余的属性具体做法：一个一个地检查F中左边是非单属性的依赖，例如XY→A 要判断Y是否是多余的，则以X→A代替XY→A，判断是否等价？只要在F中求X+，若X+包含A，则Y是多余的属性；否则Y不是多余的属性，依次判断其他属性即可消除各依赖左边的多余属性。（3）去掉多余的依赖具体做法：从第一个依赖开始，从F中去掉它（假设依赖为X→Y），然后在剩下的依赖中求X+，看X+是否包含Y，若包含则去掉X→Y；若不包含Y，则不能去掉X→Y。依次判断，直到最后一个依赖判断完成。

3.计算最小函数依赖集算法 [例] 设有依赖集： F={AB→C，C→A，BC→D，ACD→B，D→EG，BE→C，CG→BD，CE→AG} 计算其等价的最小依赖集。解：（1）将依赖右边属性单一化，结果为： F1={AB→C，C→A，BC→D，ACD→B，D→E，D→G，BE→C，CG→B，CG→D，CE→A，CE→G} （2）在F1中去掉各依赖左部多余的属性对于CE→A，由于有C→A，则E是多余的。对于ACD→B，由于(CD)+=ABCDEG ，则A是多余的。删除依赖左部多余的属性后： F2={AB→C，C→A，BC→D，CD→B，D→E，D→G，BE→C，CG→B，CG→D，CE→G} （3）在F2中去掉多余的依赖对于CG→B，由于(CG)+=ABCDEG，则是多余的。删除多余的依赖后： F3={AB→C，C→A，BC→D，CD→B，D→E，D→G，BE→C，CG→D，CE→G} 则F3是F等价的最小依赖集。

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