Predikátumok

1. Predikátumok Dr. György Anna BMF-NIK Szoftvertechnológia Intézet

2. Miért vezetjük be a predikátumokat? Hajós Alfréd olimpiai bajnok volt. Az olimpiai bajnokok kiváló teljesítményt nyújtottak. Hajós Alfréd kiváló teljesítményt nyújtott.

3. Példák predikátumokra Px: x olimpiai bajnok Qy: y kíváló teljesítményt nyújtott Ixy: x tankörtársa y-nak Oxyz: x osztója yz-nek.

4. Mi a kapcsolat a predikátumok és a kijelentés között? Ixy: x tankörtársa y-nak Iab: Alfréd tankörtársa Bélának Ixyz: x osztója yz-nek I235: 2 osztója 3*5 = 15-nek

5. Mi a kapcsolat a predikátumok és a kijelentések között? Ha a predikátum összes változójának helyébe „valódi objektumokat” helyettesítünk, akkor kijelentéseket kapunk.

6. Elnevezések • x,y,z individuumváltozók • a,b,c: individuumkonstansok • U: univerzum (individuumtartomány): a változók szóbajöhető értékeinek halmaza.

7. Definíció: Egy n-argumentumú Px1x2…,xn predikátum meghatároz egy P*Un homogén relációt, ahol U az xi változók lehetséges értékeinek halmaza és (a1,a2,…,an)P* pontosan akkor, ha Pa1a2…,an = i

8. Műveletek:Átjelölés (Ix → Iy)Konkretizáció (Ixy → Iay)Logikai műveletek(¬,, , →,↔) Kvantifikáció: Univerzális (xPx) Egzisztenciális (xPx)

9. Megoldás: x(QxPx) Írjuk fel az alábbi kijelentést predikátumlogikában:Van páros prímszám. • U: =ℕ (univerzum) • Qx: x páros szám • Px: x prímszám

10. x (FxyBxy Mx) Írjuk fel az alábbi kijelentést predikátumlogikában: Vannak fiúk, akiknek vannak barátaik, de nincsen munkájuk. Fx: x fiú Bxy: x barátja y-nak Mx: x-nek nincsen munkája U = {emberek}

11. p prímszám: x (Pxp→ (Qx1Qxp)) Írjuk fel az alábbi kijelentést predikátumlogikában: Fejezzük ki a prímszámfogalmat oszthatósággal. Pxy: x osztója y-nak U=ℕ Qxy: x=y U = {1,2,…,n,…}

12. A kvantifikációk tulajdonságai Kommutativitás:

13. A kvantifikációk tulajdonságai Disztributivitás:

14. A kvantifikációk tulajdonságai De Morgan azonosság:

15. Predikátumlogika formulái Elsőrendű nyelv (Predikátumlogika nyelve):L (F,P) Szintaktika: Alkalmazható jelek megadása A nyelv kifejezéseinek megadása A nyelv formuláinak megadása

16. Elsőrendű predikátumlogika alapjelei (szimbólumai) a következők: • Az individuumváltozók: x1,x2,… • A függvényjelek (műveletek): f,g,… , ezek halmazát jelölje F (lehet üres halmaz is),f változóinak számát pedig nf (≥0). A 0-változós függvényjel egy individuum-állandó jele.

17. A predikátumok jelei: P,Q,… , ezek nem-üres halmazát jelölje P, P változóinak np(≥0) számát . A 0-változós predikátumjel egy kijelentésváltozó jele. • Logikai algebrai műveletek jelei: • Segédjelek (zárójelpárok): (,)

18. L kifejezései: • az individuumváltozók jelei; • az individuumkonstansok jelei; • ha k1,k2,…,kn az L kifejezései és f egy n-változós függvény jele, akkor f(k1,k2,…,kn) is kifejezés L –ben; • L minden kifejezése előáll 1.-3.-beli kifejezések véges számú alkalmazásával.

19. L formulái: • L atomi formulái, azaz Pk1…kn alakú jelsorozatok, ahol k1,…,kn kifejezések és P n-változós predikátumjel ; • Ha A és B L-beli formulák, és xi individuumváltozó, akkor , , is formulák L –ben; • L minden formulája előáll 1. és 2. szerinti formulaképezés véges számú alkalmazásával.

20. Példa elsőrendű nyelvre: Interpretáció: f(x,y)=x+y; Qxy: x=y L(F,P), F = {f, kétváltozós fv.} P = {Q, kétváltozós predikátum} Formula L-ben: xyQf (x,y) f (y,x)

21. Értékelés(Predikátumlogikai formulák interpretációja)

22. xyz (Pxyz Pyxz) Interpretációk: • I1 = (U1,F1,P1), ahol U1:=ℝ, F1=, P1 ={P}, Pxyz: {P*: (x,y,z) P*, ha x+y=z} • I2 = (U2,F2,P2), ahol U2:=ℝ, F2=, P2 ={P}, Pxyz: {P*: (x,y,z)P*, ha x-y=z}

23. xy(Qxyf(x,y)) Interpretációk: • I1 = (U1,F1,P1), ahol U1: =ℕ, F1={f: f(x,y)=lkkt(x,y)}, P1 = {Q}, Qxyz: {Q*: (x,y,z) Q*, ha xy=z,} • I2 = (U2,F2,P2), ahol U2:= ℕ, F2={f: f(x,y)=lnko(x,y)}, P2 = {Q}, Qxyz: {Q*: (x,y,z) Q*, ha z>1}

24. Értékelés: A változók összes lehetséges logikai értéke mellett, az összes lehetséges interpretáció esetén meghatározzuk a formula logikai értékét. Egyenértékűség: A két formula (A és B) egyenértékű, ha a változók összes lehetséges logikai értéke mellett, az összes lehetséges interpretáció esetén a formulák logikai értéke megegyezik: A=B.