10. BÖLÜM

1. 10. BÖLÜM NAVIER-STOKES DENKLEMİNİN YAKLAŞIK ÇÖZÜMLERİ

2. İÇİNDEKİLER 10.1. GİRİŞ 10.2. BOYUTSUZLAŞTIRILMIŞ HAREKET DENKLEMLERİ 10.3. SÜRÜNME AKIŞI YAKLAŞTIRIMI 10.4. VİSKOZ OLMAYAN AKIŞ BÖLGELERİ İÇİN YAKLAŞTIRIM 10.5. DÖNÜMSÜZ AKIŞ YAKLAŞTIRIMI 10.6. SINIR TABAKA YAKLAŞTIRIMI

3. 10.1. GİRİŞ Navier-Stokes denklemlerinin literatürde mevcut bulunan analitik çözümlerininsayısıfazla değildir. Bu çözümlerin sayısı birkaç öğrencinin parmaklarının sayısını geçmez. Uygulamadaki akışkanlar mekaniği problemlerinin büyük bir bölümü analitik olarak çözülemez ve (1) daha fazla sayıda yaklaştırım (2) bilgisayar yardımıgerektirir.

4. 10.1. GİRİŞ Navier-Stokes denkleminin kendisi tam değildir, tersine kendine özel bir takım yaklaştırımları Newton tipi akışkan, Sabit termodinamik ve transport özelliklervb. içeren bir akış modelidir. Mükemmel bir modeldir ve modern akışkanlar mekaniğinin temelinioluşturur.

5. 10.1. GİRİŞ Tam çözüm: Çözüme NS denkleminin bütününden başlanılır.

6. 10.1. GİRİŞ • Yaklaşık çözüm: Çözüme başlamadan önce bile NS denklemi akışın bir bölgesinde basitleştirilir: • Akışın bir bölgesinden diğerine farklılık gösterebilen terim(ler) problemin türüne bağlı olarak önceden yok edilir. • Örnek: statik akışkan yaklaştırımında atalet ve viskoz terimleri basınç ve yerçekimi terimlerine kıyasla ihmal edilebilir derecede küçük olduğundan NS denklemi sadece iki terime (basınç ve yer çekimi) indirgenir:

7. 10.1. GİRİŞ Yaklaştırım çözüme başlangıç için uygun değilse çözüm yanlış olur: Örneğin bir problemi sürünme akışı yaklaştırımıkullanarak çözdüğümüzde akışın Reynolds sayısı çok büyükse sürünme akışı yaklaştırımı uygun olmaz ve çözüm fiziksel olarak doğru olmaz.

8. 10.1. GİRİŞ Uygulamadaki çoğu akış probleminde belirli bir yaklaştırım, akış alanının bir bölgesinde uygun iken, ancak belki başka bir yaklaştırımın uygun olduğu bir diğer bölgede uygun olmayabilir. Bir yaklaştırımın uygun olup olmadığı hareket denklemindeki çeşitli terimlerin büyüklük mertebeleri karşılaştırılarak belirlenir.

9. 10.2. BOYUTSUZLAŞTIRILMIŞ HAREKET DENKLEMLERİ Süreklilik denklemi Navier-Stokes denklemi

10. 10.2. BOYUTSUZLAŞTIRILMIŞ HAREKET DENKLEMLERİ Boyutsuz değişkenler

11. 10.2. BOYUTSUZLAŞTIRILMIŞ HAREKET DENKLEMLERİ Boyutsuz süreklilik denklemi Boyutsuz NS denklemi

12. 10.2. BOYUTSUZLAŞTIRILMIŞ HAREKET DENKLEMLERİ Strouhal sayısı: St=fL/V Euler sayısı: Eu=(po-p)/V2 Froude sayısı: Fr=V/(gL)1/2 Reynolds sayısı: Re=VL/

13. 10.2. BOYUTSUZLAŞTIRILMIŞ HAREKET DENKLEMLERİ Boyutsuzlaştırılmış süreklilik denklemi hiçbir ilave boyutsuz parametre içermemektedir. Boyutsuz değişkenler eğer bir uzunluk, hız, frekans vb. akış alanının karakteristikleri kullanılarak boyutsuzlaştırılmış iseler bunların büyüklük mertebeleri 1’dir: Bu nedenle boyutsuz NS denklemindeki terimlerin göreceli önemi, sadece boyutsuz parametreler St, Eu, Fr ve Re’nin göreceli büyüklüklerine bağlıdır.

14. 10.2. BOYUTSUZLAŞTIRILMIŞ HAREKET DENKLEMLERİ Bir model ile bir prototip arasındaki dinamik benzerlik bu 4 sayının da eşit olmasını gerektirir: Stmodel=Stprototip Eumodel=Euprototip Frmodel=Frprototip Remodel=Reprototip

15. 10.2. BOYUTSUZLAŞTIRILMIŞ HAREKET DENKLEMLERİ • Eğer akış daimiisef=0 olur veStrouhal sayısı boyutsuz parametreler listesinden çıkarılır (St=0). Strouhal sayısı: St=fL/V • Eğer karakteristik frekans f çok küçükse, St<<1, bu durumdaki akış sanki-daimiolarak adlandırılır ve akış daimi kabul edilerek NS denklemindeki bu terim silinir.

16. 10.2. BOYUTSUZLAŞTIRILMIŞ HAREKET DENKLEMLERİ Yerçekiminin etkisi yalnızca serbest yüzey etkili akışlardaönemlidir: Dalgalar, gemi hareketi, hidroelektrik barajların taşma savakları, ırmak akışları vb. Serbest yüzey etkili olmayan akışlarda yerçekimi, akış dinamiğini etkilemez. tek etkisi, dinamik basınç alanı üzerine bir hidrostatik basınç eklemekten ibarettir.

17. 10.2. BOYUTSUZLAŞTIRILMIŞ HAREKET DENKLEMLERİ Hidrostatik basıncı içerisine alan bir değiştirilmiş basınç tanımlaması P’ yapılır: Bu denklemin avantajı herhangi bir yerçekimi terimi bulundurmayanbir NS olmasıdır. Değiştirilmiş basınç, serbest yüzeyli akışlarda kullanılmamalıdır.

18. 10.3. SÜRÜNME AKIŞI YAKLAŞTIRIMI Sürünme akışı olarak adlandırılan akışlar için Stokes akışıve düşük Reynolds sayılı akışdeyimleri kullanılmaktadır. Bu akışta Reynolds sayısı çok küçüktür (Re « 1). Reynolds sayısının tanımından Re = VL/ Sürünme akışı ya çok küçük , V, Ldeğerlerinde ya da çok büyük değerinde (veya bunların bir kombinasyonu halinde) ortaya çıkar.

19. 10.3. SÜRÜNME AKIŞI YAKLAŞTIRIMI Sürünme akışına ait örnekler: Kremayı (çok viskoz bir sıvı) kekin üzerine dökerken Süte eklemek için bir kaşığı bal (yine viskoz bir sıvı) kavanozuna daldırırken Tüm çevremizde ve içimizde mikroskobik organizmaların hareketleri Hidrodinamik bir yatağın çok dar kanallarındaki yağlayıcı yağın akışı Hızlar küçük olmayabilir, ancak aralıklar çok küçüktür (mikronun on katı mertebesinde) ve viskozite göreceli olarak yüksektir (oda sıcaklığında  ~1 N.s/m2).

20. 10.3. SÜRÜNME AKIŞI YAKLAŞTIRIMI • Mikroorganizmalar tüm yaşamlarını sürünme akışı rejiminde geçirirler. • Boyutları bir mikron mertebesindedir (1 m = l0-6 m), “yüksek” viskoziteli akışkan sınıfına zor girebilecek havada hareket edebilirler ve suda yüzebilmelerine rağmen çok yavaş hareket ederler. • Suda yüzen salmonella (zehirlenmeye yol açan bir bakteri türü) bakterisinin hareketiyle ilgili Reynolds sayısı 1’den çok küçüktür.

21. 10.3. SÜRÜNME AKIŞI YAKLAŞTIRIMI Sürünme akışında Yerçekimi etkileri ihmal edilebilirveya sadece düşey bir hidrostatik basınç bileşeni eklenir. Akış daimidirveyaStrouhal sayısı 1 mertebesinde veya daha küçük olan salınımlı bir akıştır (NS denkleminde daimi olmayan ivmelenme terimi viskoz teriminden daha küçük bir mertebededir). Advektif terim 1 mertebesindedir . Sonuç olarak

22. 10.3. SÜRÜNME AKIŞI YAKLAŞTIRIMI Denklemdeki boyutsuz değişkenler 1 mertebesinde olduğundan iki tarafın birbirini dengelemesinin tek yolu Eu sayısının 1/Re ile aynı büyüklük mertebesinde olmasıdır. Bu ikisi eşitlenirse Sürünme akışı için basınç ölçeği

23. 10.3. SÜRÜNME AKIŞI YAKLAŞTIRIMI Sürünme akışının iki ilginç yönü vardır: Birincisi, atalet bakımından baskın akışlarda V2 gibi basınç farkları ölçeği bulunurken, sürünme akışında viskozluğun daha baskın olmasından dolayı V/L gibi bir basınç farkları ölçeği bulunmaktadır. İkincisi ise yoğunluğun bir değişken olarak Navier-Stokes denkleminde yer almamasıdır:

24. 10.3. SÜRÜNME AKIŞI YAKLAŞTIRIMI Yüzerken atalate güvenirsiniz. Bir kulaç atarsınız ve bir diğer kulacı atmadan önce sudaki belirli bir mesafeyi süzülerek ilerleyebilirsiniz. Yüzerken NS denklemindeki atalet terimleriviskoz terimlerdençok büyüktür, çünkü Reynolds sayısı çok yüksektir.

25. 10.3. SÜRÜNME AKIŞI YAKLAŞTIRIMI Sürünme akış rejiminde yüzen mikroorganizmalarda atalet önemsizdirve bu yüzden hiçbir şekilde süzülme olmaz. Yunuslarınkine benzer şekilde çırpılan bir kuyruk mikroorganizmaları hiçbir yere götürmez. Sperm örneğinde olduğu gibi, uzun ve dar kuyrukları (kamçıları) sinüs eğrisi şeklindehareket ederek mikroorganizmaların ilerlemelerini sağlar. Sperm, hiçbir atalet olmadan kuyruğu hareket etmedikçe ilerleyemez. Kuyruğunun hareketi durduğunda sperm de durur. Sperm veya mikroorganizmalar kısacık bir mesafeyi kat etmek için çok zorlanırlar. Spermin kuyruğu hemen hemen iki tam dalga çevrimi tamamlarken, sperm başı yalnızca iki baş uzunluğu civarında sola hareket edebilir.

26. 10.3. SÜRÜNME AKIŞI YAKLAŞTIRIMI Çocuk, küreler arasında yüzmeye çalıştığında, ileriye doğru yalnızca yılanımsı şekilde bir kıvrılma hareketi ile hareket edebilir. Çocuk kıvrılma hareketini durdurduğu anda, ihmal edilebilir düzeyde atalet olduğundan tüm hareket sona erer. Yüzen çocuk ile sürünme akışı şartlarında yüzen bir mikroorganizma arasında zayıf bir analoji vardır.

27. Sürünme Akışında Bir Küre Üzerindeki Direnç Viskozitesi  olan bir akışkan içerisinde V hızındaki sürünme akışı şartlarında, üç-boyutlu, L karakteristik uzunluğuna sahip bir cisme etki eden FD direnç kuvveti: FD=sabit.VL Boyut analizi; cismin şekline, akışkan içerisindeki yerleştirme biçimine bağlı olduğundan, ifadedeki sabitin değeri hakkında fikir vermez.

28. Sürünme Akışında Bir Küre Üzerindeki Direnç Sürünme akışında bir küre üzerindeki direnç kuvveti: FD= 3.VD

29. Sürünme Akışında Bir Küre Üzerindeki Direnç Yoğun ve küçük bir parçacığın sürünme akışı şartlarındaki limit hızı, akışkanın yoğunluğundan bağımsız olmasına karşın viskozitesine oldukça bağlıdır. Havanın viskozitesi yükseklikle sadece % 25 civarında değiştiğinden, küçük bir parçacık yükseklikten bağımsız olarak yaklaşık sabit bir hızlayeryüzüne iner. Parçacığın 15000’den deniz seviyesine kadar düşmesi esnasında hava yoğunluğu 10 kattan fazla artışgösterdiği halde bu durum değişmez.

30. Sürünme Akışında Bir Küre Üzerindeki Direnç Küresel olmayan üç-boyutlu cisimler için sürünme akışındaki aerodinamik direnç yine FD=sabit.VL şeklindedir, ancak bu halde denklemdeki sabit 3 olmayıp, - hem cismin şekline - hem de akış alanındaki yerleştirilme biçimine bağlıdır.

31. 10.4. VİSKOZ OLMAYAN AKIŞ BÖLGELERİ İÇİN YAKLAŞTIRIM

32. 10.4. VİSKOZ OLMAYAN AKIŞ BÖLGELERİ İÇİN YAKLAŞTIRIM Eğer net viskoz kuvvetler,atalet ve/veya basınç kuvvetlerine oranla çok küçük kalıyorsa, bu durumda denkleminin sağ tarafındaki son terim ihmal edilebilir. Bu yalnızca 1/Re’nin küçük olması durumunda doğrudur. Dolayısıyla viskoz olmayan akış bölgeleri yüksek Reynolds sayısına sahipbölgelerdir — sürünme akışı bölgelerinin tersi.

33. 10.4. VİSKOZ OLMAYAN AKIŞ BÖLGELERİ İÇİN YAKLAŞTIRIM • Bu tür böIgelerde Navier-Stokes denklemi viskoz terimini kaybeder ve Euler denklemi’ne indirgenir: • Euler denklemi basit olarak viskoz terimi bulunmayan Navier-Stokes denklemidir ve Navier-Stokes denkleminin bir yaklaştırımıdır.

34. 10.4. VİSKOZ OLMAYAN AKIŞ BÖLGELERİ İÇİN YAKLAŞTIRIM Euler denklemi, çeperlerden ve art izlerindenuzakta net viskoz kuvvetlerin ihmal edilebilir olduğu yüksek Reynolds sayılı akış bölgeleri için uygun bir yaklaştırımdır.

35. 10.4. VİSKOZ OLMAYAN AKIŞ BÖLGELERİ İÇİN YAKLAŞTIRIM NS denkleminin Euler yaklaştırımında ihmal edilen terimi hızın en yüksek mertebeden türevlerini içeren bir terimdir. Bu terimin ortadan kalkması sınır şartlarının sayısını düşürür. Akışkanın çeper içerisinden akamayacağını (çeper geçirgen değildir) hala belirtebilmemize rağmen katı çeperlerde kaymama şartını belirtemeyiz. Bu nedenlerle Euler denkleminin çözümleri katı çeperler yakınında fiziksel olarak anlamsızdır, zira akışın burada kaymasına izin verilmiştir.

36. 10.4. VİSKOZ OLMAYAN AKIŞ BÖLGELERİ İÇİN YAKLAŞTIRIM • Euler yaklaştırımı bir sınır tabaka yaklaştırımında ilk adım olarak sıklıkla kullanılır. • İnce bir sınır tabaka, viskoz etkileri hesaba katmak için çeper ve art izleri bölgesine bir düzeltme olarak yerleştirilir.

37. 10.5. DÖNÜMSÜZ AKIŞ YAKLAŞTIRIMI Akışkan parçacıklarının hiçbir net dönmeyesahip olmadığı akış bölgeleri vardır ve bu bölgelere dönümsüz akış bölgeleri denir. Dönümsüzlük bir yaklaştırımdırve akışalanının bazı bölgelerinde uygun olabilir, bazı bölgelerinde de uygun olmayabilir.

38. 10.5. DÖNÜMSÜZ AKIŞ YAKLAŞTIRIMI • Viskoz olmayan bir akış bölgesinin dönümsüz olmayabileceği (örneğin katı cisim gibi dönme hareketi) durumlar mümkünse de, • genel olarak katı çeperlerden ve cisimlerin art izlerinden uzak viskoz olmayan akış bölgeleri dönümsüzdür. • Buna göre, dönümsüzlük ile tanımlanan akış tipleri için elde edilen çözümler, tam Navier-Stokes çözümlerinin yaklaştırımlarıdır. • Matematiksel olarak bu yaklaştırım çevrintininihmal edilebilecek kadar küçük olması demektir:

39. Süreklilik Denklemi Eğer bir vektörün curl’ü sıfırsa, bu vektör, potansiyel fonksiyon adı verilen bir skaler  fonksiyonunun gradyeni olarak ifade edilebilir. Akışkanlar mekaniğindeki V vektörü, curl’ü çevri vektörü  olan hız vektörüdür ve bu yüzden ‘ye hız potansiyeli fonksiyonuadı verilir.

40. Süreklilik Denklemi • Dönümsüz bir akış bölgesinde hız vektörü, hız potansiyeli fonksiyonu adı verilen bir skaler fonksiyonun gradyeni olarak ifade edilebilir: • Kartezyen koordinatlarda: • Silindirik koordinatlarda:

41. Süreklilik Denklemi Dönümsüz akış bölgelerine potansiyel akış bölgeleri adı da verilir. Dönümsüzlük yaklaştırımı üç-boyutlu akışlar için de geçerlidir.

42. Süreklilik Denklemi Dönümsüz akış bölgelerinde Laplace denklemi geçerlidir:

43. Süreklilik Denklemi Bu yaklaştırımın çekiciliği bilinmeyen üç hız bileşeninin (koordinat sistemi seçimine bağlı olarak u, v ve w veya ur,,u, ve uz), bir tane bilinmeyen skaler  fonksiyonundatoplanması ve böylece çözüm için iki denklemin ortadan kalkmasıdır.

44. Momentum Denklemi Dönümsüz bir akış bölgesinde hız alanı, Navier-Stokes denklemini kullanmadan elde edilebilir. Ancak, hız potansiyeli fonksiyonunu kullanarak hız alanını belirledikten sonra basınç alanını çözmekiçin Navier-Stokes denklemini kullanırız. Navier-Stokes denklemi, dönümsüz bir akış bölgesindeki iki bilinmeyen,  ve P’nin çözümü için gerekli ikinci denklemdir.

45. Momentum Denklemi Navier-Stokes denklemi dönümsüz akış bölgelerinde Euler denklemineindirgenir:

46. Momentum Denklemi

47. Düzlemsel Dönümsüz Akış Bölgeleri Laplace denklemi, potansiyel fonksiyonu  için değil aynı zamanda daimi, sıkıştırılamaz, dönümsüz, düzlemsel akış bölgelerinde, akım fonksiyonu için de geçerlidir:

48. Düzlemsel Dönümsüz Akış Bölgeleri Sabit  değerlerine ait eğriler akışın akım çizgilerini,sabit  değerlerine ait eğriler ise eşpotansiyel çizgilerini tanımlar. Düzlemsel dönümsüz akış bölgelerinde akım çizgileri eşpotansiyel çizgilerini dik açıyla keser ve bu durum karşılıklı diklik olarak bilinir.

49. Düzlemsel Dönümsüz Akış Bölgeleri • Ayrıca  ve  potansiyel fonksiyonları dolaylı olarak birbirleriyle ilgilidir; her ikisi de Laplace denklemini sağlar ve herhangi birinden ( veya ) hız alanını belirleyebiliriz. •  ve ’nin çözümlerine matematikçiler harmonik fonksiyonlar adını verirler ve  ve ’ye birbirlerinin harmonik eşleniği denir.

50. Düzlemsel Dönümsüz Akış Bölgeleri Her ne kadar  ve  birbirleriyle ilişkili olsa da kökenleri biraz farklıdır. Belki de en iyisi,  ve ’nin birbirlerinin tamamlavıcısı (tümleri) olduğunu söylemektir: Akım fonksiyonu süreklilik ile tanımlanır;  için Laplace denklemi dönümsüzlükten elde edilir. Hız potansiyeli dönümsüzlük ile tanımlanır;  için Laplace denklemi süreklilikten elde edilir.