Właściwości średniej arytmetycznej

1. Właściwości średniej arytmetycznej

2. Właściwości średniej arytmetycznej • Wartość średniej arytmetycznej nie ulega zmianie, jeśli wszystkie wagi pomnożymy przez liczbę stałą c:

3. Właściwości średniej arytmetycznej • Jeżeli zbiorowość (populację) liczącą n elementów podzielimy na r podgrup (podpopulacji) o liczebnościach w1, w2, w3,…….wr, wówczas średnia arytmetyczna całej zbiorowości (populacji) jest równa średniej ważonej średnich arytmetycznych ( gdzie j = 1,2,…r) podgrup (podpopulacji), z wagami wj:

4. Właściwości średniej arytmetycznej • Jeśli zmniejszymy każdy wariant cechy xi o stałą c, to średnia arytmetyczna też ulegnie zmniejszeniu o stałą c:

5. Właściwości średniej arytmetycznej • Jeśli pomnożymy każdy wariant cechy xi przez stałą c, to nowa średnia arytmetyczna będzie c – krotnością średniej pierwotnej:

6. Właściwości średniej arytmetycznej • Jeśli od każdego wariantu xi odejmiemy średnią arytmetyczną wówczas suma tych różnic jest równa zeru: • Powyższą własność formułujemy często w innej formie: suma odchyleń od średniej arytmetycznej jest równa zeru:

7. Właściwości średniej arytmetycznej • Średnia arytmetyczna zawiera się między krańcowymi wartościami cechy:

8. Właściwości średniej arytmetycznej • Średnia arytmetyczna zachowuje sumę wartości cechy:

9. Właściwości średniej arytmetycznej • Wartość liczbowa średniej arytmetycznej ma takie samo miano jak badana cecha

10. Właściwości średniej arytmetycznej • Suma kwadratów odchyleń wartości zmiennych badanej cechy od średniej arytmetycznej rozkładu jest najmniejsza • Oznacza to, że suma kwadratów odchyleń poszczególnych wartości zmiennych badanej cechy od jakiejkolwiek innej wartości zmiennej rozkładu, różnej od średniej, będzie zawsze większa

11. Ograniczeniaw stosowaniuśredniej arytmetycznej

12. Niejednokrotnie średnia arytmetyczna nie może być uznana za wielkość reprezentatywną dla całego danego zbioru, w sensie wyrażania tendencji centralnej, jej wartość poznawcza jest niewielka (lub nawet żadna), a niekiedy wprowadza po prostu w błąd

13. Ograniczenia w stosowaniu średniej arytmetycznej • W przypadku, gdy przedziały klasowe są otwarte (górny i dolny lub jeden z nich). • a) gdy liczebności przedziałów otwartych są stosunkowo nieliczne, można je zamknąć i umownie ustalić środek przedziału; • b) gdy udział liczebności przedziałów otwartych w ogólnej sumie liczebności jest znaczny, rezygnujemy z obliczania średniej

14. Ograniczenia w stosowaniu średniej arytmetycznej B. Gdy największe liczebności skupiają się zdecydowanie wokół najniższych lub najwyższych wartości cechy (szereg jest skrajnie asymetryczny).

15. Ograniczenia w stosowaniu średniej arytmetycznej C. Wartość poznawcza średniej jest żadna, wówczas, gdy ustalamy średnią ze zbiorów niejednorodnych

16. Ograniczenia w stosowaniu średniej arytmetycznej D. Obliczanie średniej mija się z celem również w tych szeregach, które dają rozkłady z kilkoma skupiskami dominującymi (są to tzw. szeregi wielomodalne) Rys. Rozkład dwumodalny

17. W większości przypadków rozkłady cech mierzalnych (zwanych zmiennymi) charakteryzują się pewną tendencja centralną, która polega na tym, że w miarę wzrostu liczebności (częstości) zmniejszają się różnice pomiędzy wartościami zmiennej a wartością centralną. • Rozkłady, które nie odpowiadają temu warunkowi, nie powinny być opisywane za pomocą wartości średniej.

18. rozkłady skrajnie asymetryczne

19. Średnia geometryczna

20. Średnią geometryczną n liczb jest pierwiastek stopnia n z iloczynu tych liczb. • Wykorzystywana jest do badania zbiorowości, w których wartości jednostek są przedstawiane w liczbach względnych

21. Mediana

22. Mediana odpowiada środkowi zbioru danych, w którym to zbiorze wartości cechy uporządkowano kolejno od najmniejszej do największej (czyli wg. rosnącej wartości cechy).

23. jeśli liczba obserwacji n jest liczbą nieparzystą, mediana jest wartością środkowej obserwacji: • jeśli liczba obserwacji n jest liczbą parzystą, mediana jest średnią z dwóch wartości środkowych obserwacji:

24. medianę M(X) można zdefiniować jako taką wartość cechy, że prosta pionowa przechodząca przez nią dzieli obszar pod krzywą na dwie równe części • w praktyce medianę obliczamy w sytuacji, gdzie jedna lub kilka wartości leży daleko od środka zbioru • mediana ma często zastosowanie w ekonomii w rozkładach dochodów • Uwaga!!! • mediana ma sens tylko wtedy, gdy zbiór danych jest uporządkowany rosnąco lub malejąco.

25. przykład • Sprzedaż filmowych kaset video ma ograniczenia czasowe (na ekrany wchodzą coraz to nowsze filmy i „stare” szybko schodzą z ekranów kin). Właściciel musi decydować rozsądnie, z jakimi filmami nabyć taśmy. W tej sytuacji miary: - średnia i mediana – nie będą jemu pomocne. Zamiast tego, właścicielowi potrzebna jest wiedza na temat, które filmy są najbardziej popularne i cieszą się największym zainteresowaniem, a zatem które filmy prawdopodobnie będą sprzedawać się najlepiej.

26. Dominanta (moda)

27. charakterystyczne własności dominanty • dominanta znajduje zastosowanie wówczas, gdy chcemy jedną liczbą wyrazić wartość cechy najbardziej typową i najczęściej występującą • istnieje możliwość stosowania dominanty w przypadku analizy cech mierzalnych i niemierzalnych • dla cechy niemierzalnej dominantą jest ten wariant cechy, która ma największą częstość występowania w badanej zbiorowości • dominanta jest jedyną miarą przeciętną, która można wyznaczyć dla cech niemierzalnych

28. charakterystyczne własności dominanty • jest również możliwe - dla dużych liczebności i odpowiadającym im różnym wartościom - więcej niż jedna dominanta (moda); • zbiór z 2-oma modami nazywamy dwumodalnym, zbiory z 3-ema modami trzymodalnymi; • zbiory mające powyżej 3 mód zwą się wielomodalnymi; • w diametralnie różnym przypadku, gdy każda wartość w zbiorze występuje tylko raz – zbiór nie ma mody.

29. w przypadku, kiedy wartości zmiennej pogrupowane są w szereg rozdzielczy sposób wyznaczanie dominanty (mody) w oparciu o jej definicję nie może być zastosowany • analizując liczebności poszczególnych klas można określić przedział wartości cechy, który dominuje w badanej zbiorowości. Nie wiadomo jednak, która wartość dominuje w badanej zbiorowości • dominantę (modę) wyznacza się wówczas w sposób przybliżony poprzez interpolację jej wartości z przedziału klasowego

30. metoda obliczania dominanty • Metoda interpolacyjna polega na obliczeniu dominanty według wzoru: • lub: • gdzie: • Dx0 - dolna granica przedziału dominującego; • n D- liczebność (częstości względne) przedziału dominującego; • nD-1 - liczebność (częstości względne) przedziału poprzedzającego przedział dominujący; • nD+1 - liczebność (częstości względne) przedziału następującego po przedziale dominującym; • hD - rozpiętość przedziału dominującego.

31. Uwaga!!! obliczając dominantę (modę) należy pamiętać o tym, że: • w szeregu rozdzielczym może występować jedno wyraźnie zaznaczone maksimum (tzn. rozkład empiryczny jest jednomodalny); • przedział dominanty (mody) oraz dwa sąsiadujące z nim przedziały muszą mieć takie same rozpiętości (szerokości); • jeśli dominanta w szeregu rozdzielczym występuje w skrajnych przedziałach klasowych, wówczas nie oblicza się jej wg. wzoru interpolacyjnego

32. Średnie pozycyjne wyższych rzędów

33. W statystyce często używane są: • percentyle – dzielimy całkowitą liczebność na 100 części • decyle – całkowitą liczebność dzielimy na 10 części • kwartyle – całkowitą liczebność dzielimy na 4 części

34. k-ty percentyl zbioru danych uporządkowanych rosnąco jest to wartość x mająca tę własność, że k procent liczebności zbioru leży na lub poniżej wartości x

35. Kwartyle • Kwartyle to takie wartości cechy Q1, Q2 i Q3 , że ¼ obserwacji leży poniżej Q1 , ¼ powyżej Q3 , ¼ obserwacji leży między Q1 a medianą a ¼ obserwacji leży między medianą a Q3 . • Wielkość Q1 zwana jest kwartylem dolnym a Q3 kwartylem górnym.