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定理 5.3 设函数　　在区间　　 上连 续，作变换　　　　，如果

定理 5.3 设函数　　在区间　　 上连 续，作变换　　　　，如果. (1) 　　　在区间　　　上有连续导数　　；. (2) 当　在区间　　 上变化时，　　　 的值从 单调地变到　　　　 ．则. ． (5.3.1). 5.3.1 定积分的换元积分法. 　　例 1 　计算　　　　　　　．. 　　解法一 　设　　　　，则　　　　　　． 当　　　时． ；当　　　时，　　．所 以，原积分. ．. 5.3.1 定积分的换元积分法. 　　解法二. ．. 5.3.1 定积分的换元积分法. 　　例 2 计算　　　　　　　．. 　　解. ．.

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定理 5.3 设函数　　在区间　　 上连 续，作变换　　　　，如果

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  1. 定理5.3设函数　　在区间　　 上连 续，作变换　　　　，如果 (1) 　　　在区间　　　上有连续导数　　； (2)当　在区间　　 上变化时，　　　 的值从 单调地变到　　　　 ．则 ． (5.3.1) 5.3.1定积分的换元积分法

  2. 　　例1　计算　　　　　　　． 　　解法一　设　　　　，则　　　　　　． 当　　　时． ；当　　　时，　　．所 以，原积分 ． 5.3.1定积分的换元积分法

  3. 　　解法二 ． 5.3.1定积分的换元积分法

  4. 　　例2计算　　　　　　　． 　　解 ． 5.3.1定积分的换元积分法

  5. 　　例3计算　　　　　． 　　解　设　　　　 ，则　　　　，　　　． 当　　时，　　；当　　时，　　．所以 ． 5.3.1定积分的换元积分法

  6. 　　例4计算 　　解　设　　　　　，则　　　　　　， .当　　　时，　　；当　　　时，　　． 5.3.1定积分的换元积分法

  7. 所以 ． 5.3.1定积分的换元积分法

  8. 　　例5设函数　　在区间　　　上连续 　　　，则 (1)当　　　为偶函数时，　　　　　　　 ； (2)当　　　为奇函数时，　　　　　 ． 5.3.1定积分的换元积分法

  9. 例6计算 　　解 5.3.1定积分的换元积分法

  10. 　　设函数　　　与　　　　在区间　　上有连续导数，　　，　　，则　　设函数　　　与　　　　在区间　　上有连续导数，　　，　　，则 ． 在上式两端取区间　　上的定积分，有 ， ． 即 5.3.2定积分的分部积分法

  11. 移项得 ． (5.3.3) (5.3.3)式称为定积分的分部积分公式． 5.3.2定积分的分部积分法

  12. 　　例8　计算　　　　． 　　解　设 　　　，　　　 ，则 ，　　　． 可得 ． 5.3.2定积分的分部积分法

  13. 例9　 计算　　　　　　　． 　　解　由于　　　为偶函数，　　为奇函数， 5.3.2定积分的分部积分法

  14. 所以 ． 5.3.2定积分的分部积分法

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