P O H O N

1. P O H O N

2. Definisi Pohondidefinisikansebagaigrafterhubungsederhana takberarah yang tidakmempunyaisirkuit. a b a b a b a b c d c d c d c d e f e f e f e f G1 G2 G3 G4 Gambar 1 Graf G1dan G2pohon. Graf G3dan G4bukanpohon.

3. Graf G3bukapohonkarenaterdapatsirkuita-b-e-d-a Graf G4bukanpohonkarenaterdapatsirkuittidakterhubung. Hutan Hutandidefinisikansebagaikumpulanpohon yang salinglepas. Gambar 2 adalahcontohhutan. Gambar 2 Hutan yang terdiridari 3 pohon

4. 2. Sifat-sifatpohon Teorema 1. Jika G = (V, E) adalahgraftakberarahsederhana denganjumlahsimpul = n, makasemuapernyataanberikutekivalen: G adalahpohon b. Setiappasangsimpuldidalam G terhubungdenganlintasantunggal. c. G terhubungdanmemiliki m = n – 1 buahsisi

5. d. G tidakmengandungsirkuitdanmemiliki m = n – 1 buahsisi e. G tidakmengandungsirkuitdanpenambahansatusisipadagrafakanmenyebabkanterbentukhanya satusirkuit Terhubungdansemuasisinyaadalahjembatan (jembatanadalahsisi yang biladihapusmenyebabkan grafterpecahmenjadiduakomponen)

6. Contoh 1 Sebuahpohonmempunyai 2n buahsimpulberderajat 1, 3n buahsimpulberderajat 2, dan n buahsimpul berderajat 3. Tentukanbanyaknyabanyaknyasimpul dansisididalampohonitu! Penyelesaian Menurut lemma jabattangan, jumlahderajatsemua simpuldidalamsebuahgraf = 2 kali jumlahsisinya. 2n  1 + 3n  2 + n  3 = 2 |E|  11n = 2|E|  11n / 2 Jumlahsisisebuahpohon (|E|) = jumlahsimpul – 1 = 2n + 3n + n = 6n – 1 11n/2 = 6n – 1  11n = 12n – 2  n = 2 Jumlahsimpul = 6n – 1 = 6(2) – 1 = 11

7. 3. Pohonmerentang Misal G = (V, E) adalahgraftak-berarahterhubung yang bukanpohon, yang berartidi G terdapat beberapasirkuit. G dapatdiubahmenjadipohon T = (V1 , E1) dengan caramemutuskansirkuit-sirkuit yang ada. Mula-mulapilihsebuahsirkuit, laluhapussebuahsisipadasirkuittersebut. G tetapterhubungdanjumlahsirkuitnyaberkurangsatu.

8. Jikaprosesinidilakukanberulang-ulangsamapi semuasrkuitdi G hilang, maka G menjadisebuah pohon T yang dinamakanpohonmerentang (spanning tree). Disebutpohonmerentangkarenasemuasimpulpadapohon T = simpulpadagraf G dansisi-sisipadapohon T  sisi-sisipadagraf.

9. G T2 T4 T1 T3 Gambar 3 Graf G dengan 4 pohonmerentangnya

10. Teorema 2 Setiapgrafterhubungmempunyai paling sedikit satubuahpohonmerentang. Sisipadapohonmerentang, disebutcabang (branch), adalahsisidarigrafsemula. Talihubung (chordataulink) daripohonadalahsisi darigraf yang tidakterdapatdidalampohonmerentang. Padagrafterhubungdenganmbuahsisidannbuahsimpulterdapatn – 1buahcabangdanm – n + 1talihubung

11. Himpunantalihubungbesertasimpul yang bersisiandengannyadisebutkomplemenpohon. Untukgrafterhubung G dengannbuahsimpuldanmbuahsisi , maka: Jumlahcabang = n – 1 Jumlahtalihubung = m – n + 1 Untukgraftak-terhubungdengankkomponen, mbuahsisidannbuahsimpul, maka: Jumlahcabang = n – k Jumlahtalihubung = m – n + k

12. Jumlahcabangpadapohonmerentangdarisebuahgraf G disebutrankgraf G. Jumlahtalihubungpadagraf G disebutnullitygraf G rank + nullity = jumlahsisigraf G Nullity seringdiacusebagaibilangansiklomatik, ataubilanganBettipertama. Padasebuahpohon, jikakitatambahkansebuahsisiantaraduabuahsimpulmakaakanterbentuksirkuit. Sirkuit yang terbentudenganpenambahansebuahtalihubungpadapohonmerentangdisebutsirkuit fundamental.

13. 4. Pohonmerentang minimum Jika G adalahgrafberbobot, makabobotpohonmerentang T dari G didefinisikansebagaijumlahbobotsemuasisidi T. Pohonmerentang yang berbedamempunyaibobot yang berbeda pula. Diantarapohonmerentangdarigraf G, pohonmerentang yang mempunyaibobot minimum disebutpohonmerentang minimum (minimum spanning tree). Algoritmauntukmencaripohonmerentang minimum: 1. Algoritma Prim 2. AlgoritmaKruskal

14. Algoritma Prim Ambilsisidarigraf G yang berbobot minimum, masukkankedalam T 2. Pilihsisie yang mempunyaibobot minimum dan bersisiandengansimpuldi T, tetapietidak membentuksirkuitdi T. Masukkanekedalam T. Ulangilangkah 2 sebanyak (n – 2) kali Jumlahseluruhlangkahdidalamalgoritma Prim adalah 1 + (n – 2) = n – 1, yaitusebanyakjumlahsisi didalampohonmerentangdengannbuahsimpul.

15. Contoh 2 Caripohonmerentang minimum darigrafberikut Denganmenggunakanalgoritma Prim! 10 50 30 40 45 35 2 1 3 25    55 20 15   4 5  6

16. Pembentukanpohonmerentang minimum dengan algoritma Prim 10 50 10 30 40 45 35 35 2 1 3 2 1 3 25 25       55 20 20 15 15     4 4 5 5   6 6

17. Pembentukanpohonmerentang minimum dengan algoritma Prim 10 50 10 30 40 45 35 35 2 1 1 3 2 3 25 25       55 20 20 15 15     4 4 5 5   6 6

18. Pembentukanpohonmerentang minimum dengan algoritma Prim 10 50 10 30 40 45 35 35 2 1 1 3 2 3 25 25       55 20 20 15 15     4 4 5 5   6 6

19. Pembentukanpohonmerentang minimum dengan algoritma Prim 10 50 10 30 40 45 35 35 2 3 1 2 1 3 25 25       55 20 20 15 15     4 4 5 5   6 6

20. Pembentukanpohonmerentang minimum dengan algoritma Prim 10 50 10 30 40 45 35 35 2 3 1 2 1 3 25 25       55 20 20 15 15     4 4 5 5   6 6

21. Pembentukanpohonmerentang minimum dengan algoritma Prim 10 50 10 30 40 45 35 35 2 3 1 2 1 3 25 25       55 20 20 15 15     4 4 5 5   6 6

22. Latihan 1 Tentukangrafmerentang minimum dengan menggunakanalgoritma Prim. G 60 25 80 H 55 F 40 35 D 25 20 C E 23 20 25 21 I B 12 70 10 30 45 A J K

23. G 25 H 55 F 35 D 20 C E 20 23 21 I B 12 10 A 45 J K

24. AlgoritmaKruskal Urutkansisipadagrafdarikecilkebesar. 2. Pilihsisie yang mempunyaibobot minimum dan etidakmembentuksirkuitdi T. Masukkanekedalam T. Ulangilangkah 2 sebanyak (n – 2) kali

25. Contoh 3 Caripohonmerentang minimum darigrafberikut DenganmenggunakanalgoritmaKruskal! 10 50 30 40 45 35 2 1 3 25    55 20 15   4 5  6

26. 10 35 2 3 1 25    20 15   4 5  6

27. Latihan 2 Tentukangrafmerentang minimum dengan menggunakanalgoritmaKruskal. G 60 25 80 H 55 F 40 35 D 25 20 C E 23 20 25 21 I B 12 70 10 30 45 A J K

28. G 25 H 55 F 20 C 35 E D 21 20 23 B 12 I 10 A 45 J K

29. 5. PohonBerakar Pohon yang sebuahsimpulnyadiperlakukansebagaiakardansisinyadiberiarahmenjauhdariakardinamakanpohonberakar. Akarmempunyaiderajatmasuk = 0. Simpul-simpullainnyamempunyaiderajatmasuk = 1. Simpul-simpul yang mempunyaiderajatkeluar = 0 disebutsimpuldalamatausimpulcabang. Setiapsimpulpadasebuahpohondapatdicapaidariakardengansebuahlintasantunggal (unik).

30. a a   d b  d b c c     e   e g f g f h i j i h j (B) (A) Gambar 4 (B) Arahpanahdapatdibuang Pohonberakar,

31. Sebuahpohontakberakardapatdiubahmenjadi pohonberakardenganmemilihsalahsatusimpul sebagaiakar. Pemilihansimpul yang berbedauntukdijadikanakar akanmenghasilkanpohonberakar yang berbeda pula. PerhatikanGambar 5 berikut.

32. e f a d e b b g c h f d d a c b e g h g h c a f e sebagaiakar b sebagaiakar Gambar 5 Pemilihanakaruntukmembentukpohonberakar

33. 6. TerminologipadaPohonBerakar Anak (childatauchildren) danOrangtua (parent) Misal x adalahsebuahsimpuldidalampohonberakar. Simpul y dikatakananaksimpul x jikaadasisidarisimpul x kesimpul y. Sedangkan x disebutorangtua (parent) y. Perhatikangambar 6 berikut.

34. aadalahorangtuadarib, c, d b, c, dadalahanak-anakdaria badalahorangtuae, f e, fadalahanak-anakdarib eadalahorangtuadarih, i, j. h, i, jadalahanak-anakdarie. dadalahorangtuag gadalahanak-anakdarid gadalahorangtuadarik. l, m adalahanak-anakdarik. kadalahorangtuadaril, m. a d b c g e f k i h j m l Gambar 6

35. Lintasan (Path) Lintasandarisimpulv1kesimpul vkadalahruntunansimpul-simpulv1, v2, v3, … , vksedemikian, sehinggaviadalahorangtuadarivi + 1untuk 1  i  k. Lintasana kej adalaha, b, e, j. Panjanglintasan = jumlahsisi yang dilaluidalamsuatulintasan, yaitu k – 1. Panjanglintasandariakejadalah 3 a d b c g e f k i h j m l Gambar 6

36. Keturunan (descendant) atauleluhur (ancestor) Jikaterdapatlintasandarisimpulxkesimpul y didalampohon, makaxdisebutleluhurdarisimpuly. Sedangyadalahketurunansimpulx. Padagambar 6, badalahleluhursimpulh. Berartihadalahketurunansimpulb. a d b c g e f k i h j m l Gambar 6

37. SaudaraKandung (sibling) Simpul-simpul yang mempunyaiorangtua yang samadisebutsaudarakandung (sibling). Padagambar 6, fadalahsaudarakandunge. tertapigbukansaudarakandunge, karenaorangtuamerekaberbeda. a d b c g e f k i h j m l Gambar 6

38. Upapohon (subtree) MisalxadalahsimpuldidalampohonT. Yang dimaksuddenganupapohondengan x sebagaiakarnyaadalahupagrafT =(V , E ) sedemikian , sehinggaVmengandung x dansemuaketurunannyadanEmengandungsisi-sisidalamsemualintasan yang berasaldarix. a d b c g e f k i h j m l Gambar 6

39. Upapohon (subtree) SebagaicontohT =(V , E ) adalahupapohondaripohonpadaGambar 7, denganV = {b, e, f, h, i, j} dan E = {(b, e), (b, f), (e, h), (e, i), (e, j)}. Sedangkan b adalahsimpulakarnya. TerdapatbanyakpohondidalampohonT. Denganpengertiandiatas, jikaxadalahsimpul, makaakardaritiap-tiapupapohondarixdisebutanak, danxadalahorangtuasetiapakarupapohon. a d b c g e f k i h j m l Gambar 7

40. Derajat (degree) Derajatsebuahsimpulpadapohonberakaradalahjumlahupapohon (ataujumlahanak) padasimpultsb. Padagambar 6, derajat a = 3, derajat b = 2, derajat d = 1 danderajat c = 0. Jadiderejatsebuahsimpuladalahderajatkeluar. Derajatmaksimumdarisemuasimpulmerupakanderajatpohonitusendiri. PohonpadaGambar 6 berderajat 3 karenaderajattertinggidariseluruhsimpulnyaadalah 3. a d b c g e f k i h j m l Gambar 6

41. Daun (leaf) Simpul yang berderajatnol (atautidakmempunyaianak) disebutdaun. Padagambar 6, simpulh,i, j, f, c, l,danmadalahdaun. SimpulDalam (internal nodes) Simpul yang mempunyaianakdisebutsimpuldalam. Simpuld, e, g, dankpadaGambar 6 adalahsimpuldalam. a d b c g e f k i h j m l Gambar 6

42. Aras a 0 Atas (level) atautingkat Akarmempunyaiaras = 0 Aras simpullainnya = 1 + panjanglintasandariakarkesimpultersebut. 1 d b c g 2 e f 3 k i h j 4 m l Gambar 8

43. Aras a 0 Tinggi (height) ataukedalaman (depth) Aras maksimumdarisuatupohondisebuttinggiataukedalamanpohontersebut. Dapatjugadikatakantinggipohonadalahpanjangmaksimumlintasandariakarkedaun. TinggipohonpadaGambar 8 = 4. 1 d b c g 2 e f 3 k i h j 4 m l Gambar 8

44. 7. Pohonberakarterurut Pohonberakar yang urutananak-anaknyapentingdisebutpohonterurut ( ordered tree). 1 1 4 2 3 2 3 4 5 8 9 7 6 5 7 6 9 8 (a) (b) 10 10 Gambar 9 Duapohonterurut yang berbeda

45. Gambar 9 menunjukkanduabuahpohonberakar yang sama, tapisebagaipohonterurutkeduanyaberbeda. 1 1 4 2 3 2 3 4 5 8 9 7 6 5 7 6 9 8 (a) (b) 10 10 Gambar 9 Duapohonterurut yang berbeda

46. Misalurutananak-anakdarisimpul 1 padaGambar 9a adalah 2, 3, dan 4, sedangkanurutananak-anakdarisimpul 1 padaGambar 9b adalah 3, 4, dan 2. 1 1 4 2 3 2 3 4 5 8 9 7 6 5 7 6 9 8 (a) (b) 10 10 Gambar 9 Duapohonterurut yang berbeda

47. Perbedaaninimenjadihal yang pentingbilakitamerepresentasikanpohondsidalamkomputer. Penelusuranduapohonterurut yang berbedaakanmenghasilkanurutansimpul yang berbeda pula. 1 1 4 2 3 2 3 4 5 8 9 7 6 5 7 6 9 8 (a) (b) 10 10 Gambar 9 Duapohonterurut yang berbeda

48. Jikapohonberakarterurutpadasimpulxmempunyaipbuahpohon, makakitaakanmengacunyasebagaiupapohonpertama, kedua, … , danupapohonke-p. 1 1 4 2 3 2 3 4 5 8 9 7 6 5 7 6 9 8 (a) (b) 10 10 Gambar 9 Duapohonterurut yang berbeda

49. Sistem yang universal dalampengalamatansimpul-simpulpadapohonterurutadalahdenganmemberinomorsetiapsimpulnyasepertipenomoranbabbesertaupababdidalamsebuahbuku. 0 3 2 1 2.2 2.3 3.3 3.4 1.2 3.1 3.2 1.1 2.1 2.2.1 2.2.2 Gambar 10 Sistempengalamatan universal padapohonterurut

50. Simpulakardiberinomor 0, simpul lain yang segeramengikutiakardiberinomor 1, 2, 3, …. . Anak-anak simpul 1 diberinomnor 1.1, 1.2, …; anak-anaksimpul 2 diberinomor 2.1, 2.1, …; demikianseterusnya. 0 3 2 1 2.2 2.3 3.3 3.4 1.2 3.1 3.2 1.1 2.1 2.2.1 2.2.2 Gambar 10 Sistempengalamatan universal padapohonterurut