กฎการเคลื่อนที่ของนิวตัน

1. กฎการเคลื่อนที่ของนิวตันกฎการเคลื่อนที่ของนิวตัน • กฎข้อที่ 1 ; a = 0 วัตถุจะอยู่นิ่งหรือเคลื่อนที่เป็นแนวเส้นตรงด้วยความเร็วคงที่ • กฎข้อที่ 2 = ma แรงลัพธ์ และความเร่ง a มีทิศเดียวกัน • กฎข้อที่ 3 มีแรงกริยา ต้องมีแรงปฏิกิริยา โดยที่ขนาดเท่ากัน ทิศตรงกันข้ามและอยู่ในแนวเส้นตรงเดียวกัน

2. ตัวอย่างที่ 25 : ใช้แรง 20 นิวตัน ดันมวล 2 กิโลกรัม ให้เคลื่อนที่ขึ้นไปบนพื้นระนาบเอียงผิวเกลี้ยงจากเดิมอยู่นิ่ง จงหา ก.ความเร่งของมวล 2 กิโลกรัม ข.ระยะทางที่มวลนี้เคลื่อนที่ได้ในช่วงเวลา 2 วินาที นับจากเริ่มเคลื่อนที่ กำหนดให้ g = 10m/ s2

3. วิธีทำ ก. เขียน FBD ตั้งแกน แตกแรงแล้วคิดทีละ แนวแกน ก. คิดแกน x : + = max Fcos 37 - mgsin 37 = ma 20 - 2 (10) = 2a จะได้ a = +2 m/s2ตอบ ข. คิดแกน x : + s = ut + at2 = 0 + (+2)(2)2 = 4 m ตอบ

4. ตัวอย่างที่ 26 : ออกแรง 50 นิวตัน ดันมวล 20 กิโลกรัม ให้ดันมวล 5กิโลกรัม เคลื่อนที่ไปบนพื้นระดับราบลื่นด้วยกัน จงหา ก. ความเร่งของมวลทั้งสอง ข. มวล 20 กิโลกรัม ดันมวล 5 กิโลกรัม ด้วยแรงเท่าไร

5. วิธีทำก. เมื่อมวลหลายก้อนมีความเร่งเท่ากัน ต้องคิด FBD รวมก่อน คิดแกน x : = mรวม ∙ ax +F = (M+ m)a 50 = ( 20+5)a ได้ a = +2 m/s2ตอบ ข. เมื่อคิดแรงระหว่างมวล ควรคิดที่มวลน้อยกว่า คือ คิดที่ 5 kg คิดแกน x : = max F0 = (5)(+2) = 10N ตอบ

6. ตัวอย่างที่ 27 :ก้อนวัตถุสี่เหลี่ยม A และ B วางซ้อนกันอยู่บนพื้นระดับดังรูป มีแรง 10 N กระทำในแนวระดับต่อมวล A กำหนดให้สัมประสิทธ์ของความเสียดทานสถิตและความเสียดทานจลน์ระหว่างคู่ผิวใดๆ มีค่าเท่ากับ 0.3 และ 0.2 ตามลำดับ และมวลของ A และ B มีขนาด 2.0 และ 0.5 kg ตามลำดับ มวล A จะเคลื่อนที่ด้วยความเร่งขนาดเท่าใด (กำหนดให้ g = 10m/s2)

7. หลัก : เมื่อมวลหลายก้อนวางทับกัน อาจเกิดเหตุการณ์ได้ 2 กรณี คือ 1. มวลทั้งหมดติดกันไป หรือ 2. มวลไถลผ่านกัน ดังนั้น เราต้องตรวจสอบว่า แรงที่ใช้กระทำบนมวลนั้นมากพอให้มวลไถลผ่านกันหรือไม่

8. แบบที่ 1 : เมื่อมีแรงกระทำบนมวลก้อนล่างในแนวระดับ ขั้นที่ 1 สมมติให้มวล A และ B เริ่มไถลผ่านกัน ใช้ ระหว่างผิว ของ A และ B หาความเร่งก่อน คิดที่มวลไหนก็ได้ คิดที่ B แกน x : = ma mg = ma ได้ a = g …(1)

9. ขั้นที่ 2คิดรวม เพราะ A และ B เริ่มไถลผ่านกัน แสดงว่ายังติดกันอยู่ มีความเร่งเท่ากัน แต่ใช้ ที่ผิวล่าง เพราะ A เคลื่อนที่ไถลไปบนผิวล่าง คิดแกน x : = mรวม ∙ a Fmax - ( m+M)g = ( m+M) g ได้ Fmax = ( m+M)g( + ) ซึ่ง Fmax เป็นแรงที่มากที่สุดที่ยังคงทำให้ A และ B ติดกันอยู่ แต่ถ้าแรงมากกว่านี้ A และ B จะไถลผ่านกัน

10. แบบที่ 2 : เมื่อมีแรงกระทำบนมวลก้อนบนในแนวระดับ • กระทำเช่นเดียวกับแบบที่ 1 จะได้ดังนี้ ขั้นที่ 1คิดรวม แกน x : = mรวม ∙ a Fmax - (m+M)g =(m+M)a ...(2) ขั้นที่ 2คิดที่ M แกน x : = Ma mg- (m+M)g = Ma ...(3) หาค่า a จาก(3) แล้วแทนลงใน (2) จะได้ แรงมากที่สุด Fmax = (m+M)g( - )

11. นักเรียนอาจจำ Fmax ทั้ง 2 กรณีนี้เป็นสูตรไว้ตรวจสอบได้ ลองตรวจสอบในตัวอย่างที่ 27 ว่า แรงมากที่สุดที่วัตถุ A,B จะไถลผ่านกันคือ Fmax = (m+M)g( + ) = (0.5+2 )(10)(0.3+0.2) = 12.5 N แต่ในข้อนี้เราใช้แรงเพียง 10 N ดังนั้น A และ B ติดกันไป

12. คิดรวม แกน x : = mรวม ∙ a F - (m+M)g = (m+M)a a = g = - 0.2(10) a = 2 m/s2 ตอบ

13. หมายเหตุ 1. อย่าใช้ a = g เพราะ a ค่านี้ เกิดขึ้นเมื่อวัตถุเริ่มไถลผ่านกันพอดีโดย Fmax 2. ถ้า F ที่ใช้มากกว่า Fmax วัตถุไถลผ่านกัน ต้องคิดที่มวลก้อนเล็กกว่าไม่ว่าแรง F จะกระทำบนมวลก้อนบนหรือล่าง จึงจะทำได้ง่ายกว่า

14. การหาความเร่งของมวลในระบบรอกการหาความเร่งของมวลในระบบรอก

15. ตัวอย่างที่ 28 กำหนดความเร่งของมวล ดังรูป จงหาความเร่งของมวล m2 วิธีทำ คิดรอก C ซึ่งย้ายที่อยู่ได้ + a1 = +3 = 6 = a2 - 2 a2 = +8 m/s2 นั่นคือ ได้ a2 เป็นบวก(+) a2 มีทิศดิ่งขึ้น ( กำหนดให้ + ) ดังนั้น m2 มีความเร่งไปทางขวามือ เท่ากับ 8m/s2ตอบ

16. ตัวอย่างที่ 29ตามรูปทางซ้ายมือ ถ้ามวล B มีความเร่ง 2m/s2 ดิ่งลง จงหาความเร่งของมวล A และของรอก D • วิธีทำ คิดรอก D ซึ่งจะคิดได้ 2 วิธี ดังนี้ วิธีที่ 1 : ใช้ + aB = +2 = นั่นคือ ได้ aA = 4 m/s2 ตอบ วิธีที่ 2 : ใช้ TAaA =TBaB …(1) คิดรูป ข: 2TA = TB แทนใน 1 จะได้ TAaA = 2TAaB aA = 2aB = 2(2) aA = 4 m/s2ตอบ

17. ตัวอย่างที่ 30มวล 2 และ 3 กิโลกรัม วางนิ่งอยู่บนพื้นระดับและผูกที่ปลายแต่ละข้างของเชือกเส้นหนึ่งซึ่งคล้องผ่านรอกมวล 0.2 กิโลกรัม ถ้าออกแรง Fดึงรอกขึ้นจะพอดีทำให้มวล 3 กิโลกรัมเริ่มจะเคลื่อนที่ จงหา ก. ความเร่งของมวล 2 กิโลกรัม ข. ความเร่งของรอก ค. ค่าของแรง F ในกรณีนี้

18. วิธีทำ เขียน FBD ของมวลทั้งสองและของรอก แล้วคิดทีละตัว ก. คิดที่ m = 2kg : + = ma T-mg = ma2 …(1) คิดที่ M = 3kg ซึ่งเริ่มเคลื่อนที่ ความเร่ง a3= 0 (สมดุล) จะได้ T = Mg …(2) แทน T จาก(2) ใน (1) จัดรูปสมการจะได้ a2 = = = 5m/s2ตอบ

19. ข. คิดที่รอก : + a1 = a1 = +2.5 m/s2 ตอบ ค. คิดที่รอก : + = ma F-2T = m0a1 F-2Mg = m0a1 F-2(3)(10) = 0.2(2.5) F = 60.5 N ตอบ

20. ตัวอย่างที่ 31: มวล m1 วางบนพื้นระดับราบผิวลื่น รอกทุกตัวเบาและหมุนคล่อง กำหนดให้ g เป็นสนามโน้มถ่วงของโลก จงหา ก. ความเร่งของมวลทั้งสอง ข. แรงตึงในเส้นเชือกทั้งสองเส้น วิธีทำ เขียน FBD ของมวลทั้งสองและของรอกแล้วคิดทีละตัว คิดที่รอก C : ไม่กำหนดมวลของรอก ถือว่ารอกเบามาก นั่นคือ mc = 0 ได้ = mca = 0 2T1 = T2 …..(1)

21. และจาก + a2 = a2 = a1 = 2a2 …(2) คิดที่ m1 + = ma T1 = m1a1 …(3) คิดที่ m2 + = ma m2g-T2 = m2a2 …(4) จาก (1), (2) และ(4) จะได้ m2g+2T1= m2 ...(5)

22. ก. แทน T1 จาก(3) ใน (5) จัดรูปใหม่ได้ a1 = จาก (2) a2 = ตอบ ข. จาก (3) T1 = จาก (1) T2 = ตอบ

23. วิธีหาแรงลัพธ์โดยการคำนวณวิธีหาแรงลัพธ์โดยการคำนวณ • ถ้ามี 2 แรงย่อย คือ และ • ขนาดของ : R2 = P2 + Q2 + PQcos • ทิศของ : tan a = ….R ทำกับ P • ข. ถ้ามีแรงย่อยมากกว่า 2 แรง ควรใช้วิธีแตกเวกเตอร์ให้อยู่ในแนว x และ y ซึ่ง x และ y ตั้งฉากกัน ดังตัวอย่างต่อไปนี้

24. ตัวอย่างที่ 32: แรงย่อย 2 แรง มีขนาด 2 นิวตัน และ 3 นิวตัน ทำมุม 60 องศา จงหา ก. ขนาดของแรงลัพธ์ ข. ทิศทางของแรงลัพธ์

25. วิธีทำก. ขนาดของ R2 = P2 + Q2 + 2PQcos = (32)+(2)2 +2(3)(2) R2 = 19 R = = 4.36 ตอบ ข. ทิศของ tan a = = = 0.43 ดังนั้น ทำมุม a = tan-1 (0.43) กับ ตอบ

26. ตัวอย่างที่ 33 : จงหาแรงลัพธ์ของแรงย่อยที่กระทำบนจุดหนึ่ง ดังรูป ก. วิธีคิด แตกแรงทุกแรงที่ไม่ขนานกับแกน x และ y ให้อยู่ในแนวขนานกับ x และ y ดังรูป ข. แล้วรวมแรงในแนวแกน x และ y ได้ผลลัพธ์ดังรูปค. แกน x : + = 20cos - 10cos = 20 - 10 = 4 N แกน y : + = 20sin + 10sin - 5 = 20 + 10 -5 = 17

27. ขนาดของแรงลัพธ์ : R = = = 17.46 N ทิศของแรงลัพธ์ : tan = = = tan-1

28. โมเมนต์ของแรงหรือทอร์กโมเมนต์ของแรงหรือทอร์ก • ขนาดของโมเมนต์ = แรง x ระยะตั้งฉากจากจุดหมุนถึงแนวแรง • MF = FL …..เมื่อ F L • โมเมนต์ของแรงลัพธ์ = โมเมนต์ลัพธ์ • = • ยกเว้นแรงคู่ควบซึ่ง = 0 • 3. แรงที่มีแนวผ่านจุดหมุน จะมีโมเมนต์เป็นศูนย์เสมอ

29. ตัวอย่างที่ 34 : จงหาโมเมนต์ของแรง 20 N รอบจุด วิธีทำ โจทย์กำหนดมุม แสดงทิศทางของแรง ควรแตกแรงไปตั้งฉากกับระยะที่ทราบ M20 = + = (20cos )(3) + (20sin )(2) = +72 N.n เครื่องหมายเป็นบวก แสดงว่าหมุนตามทิศที่กำหนดให้ นั่นคือ หมุนตามเข็มนาฬิกาตอบ

30. ตัวอย่าง 35 : จงหาโมเมนต์ลัพธ์รอบจุด ในรูปกำหนดให้ว่าคานไม่สมดุล วิธีทำ = Mw+Mr+ + = W + f(L )-N2 (L ) = +fL ตอบ

31. สมดุล • สมดุลเชิงเส้น • สมดุลเชิงหมุน • ถ้าวัตถุสมดุลโดยสมบูรณ์ จะต้องสมดุลทั้งเชิงเส้นและเชิงหมุนในเวลาพร้อมกัน • 1. สมดุลด้วยแรง 3 แรง • ถ้ามีแรง 3 แรงกระทำบนวัตถุแล้วสมดุล จะได้ว่า

32. แนวแรงทั้ง 3 แรงต้องพบกันที่จุดหนึ่ง • 2. แรงทั้ง 3 ต้องอยู่ในระนาบเดียวกัน • 3. แรงทั้ง 3 ต้องต่อกันเป็นรูปสามเหลี่ยม สามารถใช้ Law of sine คำนวณได้คือ • ซึ่งเรียกวิธีการนี้ว่า ทฤษฎีของลามี • 2. สมดุลจลน์ คือ สภาพที่วัตถุมวล m มีความเร่ง a คิดให้วัตถุนี้สมดุลได้ด้วยการเพิ่มแรงเทียม ma ที่จุดศูนย์กลางมวล (cm) ในทิศตรงกันข้ามกับ a

33. ตัวอย่างที่ 36: มวล 10 กิโลกรัม อยู่บนโต๊ะระดับราบที่มีสัมประสิทธ์ของความเสียดทาน 0.5 ถามว่ามวล m ต้องเป็นเท่าไร จึงจะทำให้ระบบเริ่มเคลื่อนที่ วิธีทำ เขียน FBD ของมวลทั้งสองแล้วคิดทีละตัว คิดที่ m แกน y : T = mg …(1) คิดที่ M แกน x : T = N ...(2) แกน y : N = Mg …(3) แทน (3) ใน (2) ได้ T = Mg แล้วแทนใน (1) ได้ m = M = 0.5(10) kg = 5 kg ตอบ

34. ตัวอย่างที่ 37 : ตามรูป ผิวลื่นทุกผิว จงหามุม ที่พอดีทำให้ระบบสมดุลอยู่ได้ วิธีทำ เขียน FBD ของมวลทั้งสองแล้วคิดทีละก้อน คิดที่ m ตามแนวพื้นเอียง : T = mg sin …(1) คิดที่ M ตามแนวพื้นเอียง : T = Mg sin …(2) (2) = (1) จะได้ sin = = = ตอบ

35. ตัวอย่างที่ 38 : จากรูป m2 วางบนพื้นระดับที่มีสัมประสิทธ์ของความเสียดทานเป็น รอกเบาและหมุนคล่อง จะต้องใช้แรง F ที่มากที่สุดและน้อยที่สุดเท่าไร จึงสมดุลอยู่ได้ • วิธีทำ เขียน FBD ดังรูป • เมื่อเป็น Fmax มวล m2 จะเคลื่อนที่ไปทางขวา • คิดมวล m2 • คิดแกน x : Fmax = T + N • = T+ m2g ....(1)

36. คิดมวล m1 : T = m1g …(2) แทน T จาก (2) ใน (1) จะได้ Fmax = (m1 + m2 )g ตอบ 2. เมื่อเป็น Fmin มวล m2 จะเคลื่อนที่ไปทางซ้าย คิดมวล m2 คิดแกน x : Fmin = T- N = T - m2g = m1g- m2g Fmin = (m1 - m2) g ตอบ

37. ตัวอย่างที่ 39: วัตถุเล็กๆสองก้อน ผูกที่ปลายเชือกแล้วคล้องไว้บนทรงกระบอกผิวลื่น จะสมดุลพอดีดังรูป จงหามุม วิธีทำ เขียน FBD รวม m,M และเชือก จึงถือว่า m,M และเชือกเป็นส่วนเดียวกัน แรงตึงเชือกจึงไม่ต้องเขียน ให้ 0 เป็นจุดหมุน ใช้ = 0 Mg (R cos ) = mg (R) cos = = cos-1ตอบ

38. ตัวอย่างที่ 40 : จงหาแรง F ที่พอดีดึงทรงกระบอกให้ขึ้นชั้นบนได้ กำหนดทรงกระบอกหนัก W และรัศมี R วิธีทำ เขียน FBD ของทรงกระบอก แล้วให้จุด 0 เป็นจุดหมุนใช้ (ยกขึ้นพอดี แสดงว่าสมดุลครั้งสุดท้ายและแรงปฏิกิริยาที่พื้นระดับราบเป็นศูนย์) ตอบ

39. ตัวอย่างที่ 41 : ถ้าออกแรงดึงมวล 1 กิโลกรัม แล้วพอดีเริ่มเคลื่อนที่บนพื้นระดับเกลี้ยง ถามว่าระหว่างผิวสัมผัสของมวล 1 และ 2 กิโลกรัม มีสัมประสิทธิ์ของความเสียดทานเท่าไร วิธีทำเขียน FBD รวม แล้วใช้ = 0 จะได้ แกน x : T = F = 10N ….(1) คิดที่ M=2 kg;แกน x : N0 = T ….(2) แกน y : N0 = Mg ….(3) แทน (3) ใน (2) จะได้ = = 0.5 N ตอบ

40. ตัวอย่างที่ 42 : น้ำหนัก 10 นิวตัน แขวนที่ปลายเชือก ซึ่งผูกอยู่ที่จุด C กับเชือกอีกเส้นหนึ่ง ดังรูป จงหาแรงตึงในเส้นเชือกทุกเส้น วิธีทำ เขียน FBD ของจุด C จะพบว่ามี 3 แรง กระทำให้จุด C สมดุล ดังนั้น อาจใช้ทฤษฎีของลามีได้ดังนี้ จะได้ T1 = 10 cos = 10 = 6 N T2 = 10 cos = 10 = 8 N ตอบ

41. ตัวอย่างที่ 43 : คานสม่ำเสมอหนัก W ปลายบนพิงกำแพงดิ่ง ปลายล่างแตะพื้น ถ้าสัมประสิทธิ์ของความเสียดทานระหว่างผิวสัมผัสทุกผิวเท่ากับ และคานเริ่มจะไถลลงมา จงหามุมระหว่างคานกับพื้นราบ วิธีทำ เขียน FBD ของคาน ดังรูป (ให้คานยาว =L) คิดแกน x : N2 = N1 คิดแกน y : W = N1+ N2 …(1) แทน N2 ได้ : W = N1(1+ + ) …(2) ให้ A เป็นจุดหมุน ใช้ = 0 จะได้ Mทวน = Mตาม

42. N1(Lcos ) = N1(Lsin ) + W Lcos หารตลอด ; N1 = N1 tan + แทน Wจาก (2) ; N1 = N1tan + จะได้ tan = = tan-1 เมื่อ = = ได้ = tan-1 ตอบ

43. การล้มพอดีของวัตถุ

44. ตัวอย่างที่ 44 : มีวัตถุอยู่ 10 แผ่น ขนาดเท่ากัน พบว่าวางซ้อนกันให้สมดุลครั้งสุดท้ายได้พอดี เมื่อให้เหลื่อมกัน 2 cm เท่าๆกันจงหา ก. ความยาวของแผ่นวัตถุแต่ละแผ่น ข. ระยะเหลื่อมของแผ่นที่ 2 นับจากล่าง โดยให้แผ่นบนสุดเหลื่อมได้มากที่สุด วิธีทำ ก. เมื่อระยะเหลื่อมเท่าๆกัน จะได้ ข. เมื่อระยะเหลื่อมมากที่สุด จะได้ d =d = = 2 cm = = 1.11 cm ตอบ L = 20 cm ตอบ

45. ตัวอย่างที่ 45: ใช้แรง F = 4 นิวตัน ในแนวระดับ ดันกล่องใบหนึ่งซึ่งหนัก 10 นิวตัน จะพอดีล้มก่อนไถล จงหา ก. ระยะ h ข. ตำแหน่งของแรงปฏิกิริยาตั้งฉาก ค. แรงเสียดทาน กำหนดให้สัมประสิทธ์ของความเสียดทานเป็น 0.5 วิธีทำเขียน FBD ของวัตถุดังรูป

46. เมื่อวัตถุล้มก่อนไถล จะได้ • F = • 4N = • h = 25 cm ตอบ • ระยะ x = = = 10 cm • นั่นคือ แรงปฏิกิริยาตั้งฉากอยู่ที่มุมกล่องข้างล่าง ซึ่งตรงข้ามกับด้านที่แรง F กระทำ ตอบ • ค. คิดแกน x : f = F = 10 N ตอบ

47. ตัวอย่างที่ 46: กล่องใบหนึ่งหนัก 10 นิวตัน วางบนพื้นระดับราบที่มีสัมประสิทธิ์ของความเสียดทานเป็น 0.5 เมื่อใช้แรง F ในแนวระดับดันกล่องแล้วกล่องไถลก่อนล้ม จงหา ก. ขนาดของแรง F ข. แรงเสียดทาน ค. ตำแหน่งของแรงปฏิกิริยาตั้งฉาก วิธีทำ เขียน FBD ของวัตถุ ดังรูป ก. คิดแกน x : F = f = N = W = (0.5)(10) = 5 N ตอบ

48. ข. แรงเสียดทาน f =F = 5 N ตอบ • ระยะ x = h = (0.5)(9cm) • = 4.5 cm • นั่นคือ แรงปฏิกิริยาตั้งฉากอยู่ห่างจากแรงโน้มถ่วง (W) เท่ากับ 4.5 เซนติเมตร ตอบ

49. ตัวอย่างที่ 47:ในกรณีตัวอย่างที่ 46 ถ้าจะให้กล่องไถลพร้อมกับล้มพอดี จงหา ก. ขนาดของแรง F ข. แรงเสียดทาน ค. ตำแหน่งของแรงปฏิกิริยาตั้งฉาก ง. ระยะที่แรง F กระทำสูงจากพื้น

50. วิธีทำ เขียน FBD ของวัตถุ ดังรูป • คิดแกน x : F = f = N = W • = (0.5)(10) • = 5 N ตอบ • แรงเสียดทานf = F = 5 N ตอบ • ระยะ x = ตอบ • จาก x = h • 10 cm = 0.5 h • h = 20 cm ตอบ