Теорема Пифагора

1. Теорема Пифагора МБОУ «Авиловская СОШ» Учитель математики Ткаченко И.А.

2. Теорема Пифагора(алгебраическая формулировка) • В прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов. с b a

3. Теорема Пифагора(геометрическая формулировка) • В прямоугольном треугольнике площадь квадрата, построенного на гипотенузе, равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах.

4. Обратная теорема Пифагора • Для всякой тройки положительных чисел a, b иc, такой, что, существует прямоугольный треугольник с катетами a, b и гипотенузойc . В математике пифагоровой тройкой называется кортеж из трёх натуральных чисел x, y, z, удовлетворяющих следующему однородному квадратному уравнению:

5. Примерыпифагоровых троек При умножении на одно и то же натуральное число получится другая пифагорова тройка. Пифагорова тройка называется примитивной, если она не может быть получена таким способом из какой-то другой пифагоровой тройки, то есть числаx, y, z являются взаимно простыми числами. Любую тройку можно получить из примитивной умножением каждого её члена на натуральное число. Например, очевидно, что тройка (14, 48, 50) получена умножением на 2 примитивной тройки (7, 24, 25). Все треугольники, полученные таким образом из примитивной тройки, являются подобными, так как углы между гипотенузой и катетами остаются неизменными - используется принцип подобия по трем сторонам. • (3, 4, 5), • (6, 8, 10), • (5, 12, 13), • (9, 12, 15), • (8, 15, 17), • (12, 16, 20), • (15, 20, 25), • (7, 24, 25), • (10, 24, 26), • (20, 21, 29), • (18, 24, 30), • (16, 30, 34), • (21, 28, 35), • (12, 35, 37), • (15, 36, 39), • (24, 32, 40), • (9, 40, 41)…

6. Метод построения прямоугольного треугольника • В эпоху Пифагора люди строили прямые углы при помощи прямоугольных треугольников со сторонами 3, 4 и 5. • Очень легко можно воспроизвести их способ построения. Возьмём верёвку длиною в 12 м и привяжем к ней по цветной полоске на расстоянии 3 м от одного конца и 4 метра от другого. Прямой угол окажется заключённым между сторонами длиной в 3 и 4 метра.

7. Доказательства теоремы Пифагора • На данный момент в научной литературе зафиксировано 367 доказательств теоремы Пифагора. • Теорема Пифагора является единственной теоремой со столь внушительным числом доказательств. Такое многообразие можно объяснить лишь фундаментальным значением теоремы для геометрии. • Самые известные из доказательства: методом площадей, аксиоматические и экзотические доказательства (например, с помощью дифференциальных уравнений).

8. Доказательство теоремы Пифагора через равнодополняемость b N a • Достроим прямоугольный треугольник до квадрата. • Обозначим площадь квадрата S. • Квадрат состоит из четырехугольника MNPK и четырех равных треугольников. • Треугольники равны по двум катетам. • Четырехугольник MNPK - квадрат, так как гипотенузы треугольников равны и сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 900. • его площадь равна с2. • Площадь каждого треугольника равна 2 1 b 2 P a 1 1 M a 2 с b 1 2 a K b

9. Алгебраическое доказательство Дано:ABC-прямоугольный треугольник Доказать:AB2=AC2+BC2 Доказательство: 1) Проведем высоту CD из вершины прямого угла С. 2) По определению косинуса угла соs А= AD/AC = AC/AB, отсюда следует AB*AD = AC2. 3) соs В = BD/BC = BC/AB, значит AB*BD=BC2. 4) Сложив полученные равенства почленно, получим: AC2+BC2=АВ*(AD + DB) AB2=AC2+BC2. Что и требовалось доказать.

10. Пифагор Самосский(570 - 490 гг. до н. э.) • В современном мире Пифагор считается великим математиком , философом и мистиком. • Летописцы древности писали, что Пифагор в 18-летнем возрасте покинул родной остров и, объехав мудрецов в разных краях света, добрался до Египта, где пробыл 22 года, пока его не увёл в Вавилон в числе пленников персидский царь, завоевавший Египет. • По словам античных авторов, Пифагор встретился чуть ли не со всеми известными мудрецами той эпохи, греками, персами, халдеями, египтянами, впитал в себя всё накопленное человечеством знание. • В Вавилоне Пифагор пробыл ещё 12 лет, общаясь с магами, пока наконец не смог вернуться на Самос в 56-летнем возрасте, где соотечественники признали его мудрым человеком. Пифагор на фреске Рафаэля (1509 г.)

11. Значение теоремы Пифагора • Теорема Пифагора- это одна из самых важных теорем геометрии. Значение её состоит в том, что из неё или с её помощью можно вывести большинство теорем геометрии. • Доказательство теоремы Пифагора учащиеся средних веков считали очень трудным и называли его Donsasinorum - ослиный мост, или elefuga - бегство «убогих», так как некоторые «убогие» ученики, не имевшие серьезной математической подготовки, бежали от геометрии. Слабые ученики, заучившие теоремы наизусть, без понимания, и прозванные поэтому «ослами», были не в состоянии преодолеть теорему Пифагора, служившую для них вроде непреодолимого моста. Из-за чертежей, сопровождающих теорему Пифагора, учащиеся называли ее также «ветряной мельницей», составляли стихи, вроде «Пифагоровы штаны на все стороны равны», рисовали карикатуры.