第十三章概率论基础

第十三章概率论基础 §13.1 随机事件及其概率 §13.2 随机变量及其分布 §13.3 随机变量的数字特征返回

§13.1 随机事件及其概率 一、随机事件对事物进行观察过程称为试验．在一定条件下,抛硬币、投篮、抽查产品等，都是随机试验．随机试验具有下列特点：（1）试验可在相同的条件下重复进行；（2）每次试验的结果具有多种可能性，且在试验之前可以明确试验的所有可能结果；（3）每次试验之前不能准确地预言该次试验将出现哪一种结果．

随机试验的结果称为随机事件，简称事件，用大写拉丁字母 、、等表示．在随机事件中，不能分解为其它事件的组合的最简单的事件，称为基本事件．例如，在掷一颗骰子的试验中，出现点数“1点”、“2点”、…或“6点”都是基本事件．出现“奇数点”也是随机事件，但不是基本事件，它是由出现“1点”、“3点”、“5点”这三个基本事件组成的，只要这三个基本事件中的一个发生，“奇数点”这个事件就发生．

每次试验中一定不发生的事件称为不可能事件，用符号 表示．例如，在掷骰子试验中，“点数小于7”是必然事件，“点数不小于7”是不可能事件．由两个或两个以上基本事件组合而成的事件，称为复合事件．每次试验中一定发生的事件称为必然事件，用符号表示．

如果事件发生必然导致事件 发生，则称事件包含事件，或称事件被事件所包含，记作或．若则二、事件的关系及其运算 1．事件的包含关系包含关系显然有以下性质

　　如果事件　包含事件　，事件　也包含事件　，称事件　与　相等．即　　　与　　　同时成立，记作　　　．　　如果事件　包含事件　，事件　也包含事件　，称事件　与　相等．即　　　与　　　同时成立，记作　　　．事件与至少有一个发生，称为事件与事件的和（并），记作或．个事件中至少有一个发生，称为事件的和，记作或． 2．事件的相等关系 3．事件的和（并）

事件与同时发生，称为事件与事件 的交（积），记作或．事件积的概念，也可以推广到个事件的情况．事件，称为事件的积，表示个事件同时发生．事件发生而事件不发生，称为事件与的差，记作． 4．事件的积（交） 5．事件的差

如果事件与不能同时发生，即 ，则称事件与互不相容（或称互斥）．如果事件与满足，则称事件与为对立事件（或互逆事件），记作 6．互不相容事件（互斥事件） 7．对立事件（互逆事件）对立事件具有如下性质：

若事件 为两两互不相容的事件，且，则称事件构成一个完备事件组．例1设为三事件，试用事件的运算表示下列事件：发生，　不发生；　　　　　　　　恰有一个发生；　　　　　　　一个也不发生；　　　　　　　至少有一个发生；　　　　发生，　和　中任意一个发生，但不同时发生． 8．完备事件组

解：例2一名射手连续向某个目标射击三次，事件示该射手第次射击时击中目标．试用文字叙述下列事件：．解：第三次击中但第二次未击中目标；：三次射击都击中目标；：三次射击中至少有两次击中目标．

三、随机事件的概率 抛掷硬币的试验： 1．概率的统计定义

概率的统计定义仅仅指出了事件的概率是客观存在的，但并不能用这个定义计算 ．频率是个试验值，具有偶然性，它近似地反映了事件发生可能性的大小；概率是个理论值，只能取唯一值，只有概率，才能精确地反映出事件发生可能性的大小．定义13.1在次重复试验中，事件发生的频率总是稳定地在某一常数附近摆动，且一般来说，越大，摆动幅度越小，则称常数为事件的概率，记作．

定义13.2 古典概型中，所有基本事件的个数是，事件包含的基本事件的个数是，则事件的概率为． 2．概率的古典定义具有下列特点的试验模型称为古典概型．（1）所有可能的试验结果（即基本事件）只有有限个；（2）每个基本事件发生是等可能的；（3）在任一试验中，只能出现一个结果，即有限个基本事件是两两互斥的．

性质1 对任一事件，有． 性质2 ．性质3 对于两个互斥事件，，有性质4 如果事件，满足 ,那么．古典概率具有如下性质：

解组成试验的基本事件总数， 分别表示（1）、（2）所求的概率．（1）两个球都是白球的取法有，则．（2）两个球中一个是黑球和一个是白球的取法有种,则例3袋内装有5个白球，3个黑球．从中任取两个球，求：（1）取出的两个球都是白球的概率;（2）取出的两个球一个黑球和一个白球的概率．

解设事件 表示前两个邮筒内各有一封信；事件表示第二个邮筒只投入一封信．两封信随机地投入4个邮筒，共有种投法，组成事件的投法有而组成事件的投法有，所以例4两封信随机地投入四个邮筒，求前两个邮筒内各有一封信的概率及第二个邮筒恰好被投入一封信的概率．

两个互不相容事件的和的概率，等于它们概率的和．即当时 ，有由加法法则可得结论：（1）如果个事件两两互不相容，则．（2）若个事件构成一个完备事件组，则它们概率的和为1，即 1．概率的加法法则四、概率的运算定律

（3）两个对立事件概率之和为1即 ，亦即．（4）对任意两个事件，有．解分别用表示“”一等品、”“二等品”和“合格品”，则表示“废品”．例5产品有一等品、二等品与废品三种，若一等品的概率为，二等品的概率为，求产品的合格率和废品率．

例6某设备由甲、乙两个部件组成，当超载负荷时，各自出故障的概率分别为 和，同时出故障的概率是，求超载负荷时至少有一个部件出故障的概率．解设表示{甲部件出故障}，表示{乙部件出故障}，则

在许多实际问题中，需要求在“事件已经发生”的前提下“事件发生的概率”，称这种概率为条件概率，记作．相应地，称为无条件概率或原概率．在许多实际问题中，需要求在“事件已经发生”的前提下“事件发生的概率”，称这种概率为条件概率，记作．相应地，称为无条件概率或原概率．例7 全年级100名学生中有男生（以事件表示）80人，女生20人；来自北京的（以事件表示）有20人，其中男生12人，女生8人；试写出 2．条件概率与乘法法则

从中看到， 解

定义13.3设是随机试验的两个事件, 且 则称为已知时的条件概率，或关于的条件概率，记作即同理可定义事件发生的条件下事件的条件概率

推广到个事件 的乘法公式为：乘法法则两事件之积的概率等于其中任一事件（其概率不为零）的概率乘以另一事件在已知前一事件发生下的条件概率．即

解设事件 分别表示甲、乙、丙各抽到难签，有．例8 10个考签中有4个难签，3人参加抽签（不放回），甲先、乙次、丙最后．求甲、乙都抽到难签，甲没抽到难签而乙抽到难签以及甲、乙、丙都抽到难签的概率．

全概率公式如果事件 构成一个完备事件组，并且都具有正概率，则对任一事件，有: 由于，即和构成完备事件组，因此，全概公式可写成以下形式：． 3．全概率公式

解设表示{第一人中奖}， 表示{第二人中奖}，则例9设袋中共有个球，其中个带有中奖标志，两人分别从袋中任取一球，问第二个人中奖的概率是多少？

定义13.4如果两个事件 中任一事件的发生不影响另一事件的概率，即或．则称事件与事件是相互独立的，否则，称事件与事件是不独立的．例如，袋中有5个红球，其中2个白球，从中抽取两球．设事件表示{第二次抽得白球}，事件表示{第一次抽得白球}．如果第一次抽取一球观察颜色后放回，则事件与事件相互独立的；如果观察颜色后不放回，则事件与事件不是独立的。 4．事件的独立性

定义13.5如果个事件 中任一事件发生的可能性都不受其它一个或几个事件发生与否的影响，则称相互独立．（1）事件相互独立的充分必要条件是：．（2）若事件与相互独立，则事件与，与，与皆相互独立．（3）若事件独立，则亦可表示为：

解设表示{第次取到白球}，则表示{第 次取到红球}，（，于是表示{取到两只白球}，表示{取到两只相同颜色球}，表示{至少取到一只白球} 例10（摸球模型）设盒中装有只球，其中只白球，只红球，从盒中任意取球两次，第一次取一球观察颜色后放回盒中，第二次再取一球，求：（1）取到两只球都是白球的概率；（2）取到两只球颜色相同的概率；（3）取到的两只球至少有一只是白球的概率．

由于{第一次取到白球}与{第二次取到白球}的事件相互独立，且由于{第一次取到白球}与{第二次取到白球}的事件相互独立，且

5．伯努利（Bernoulli）概型 定义13.6若试验单次试验的结果只有两个，且保持不变，将试验在相同条件下独立地重复做次，称这次试验为重独立试验序列，这个试验模型称为重独立试验序列概型，也称为重伯努利概型，简称伯努利概型．例11一批产品的次品率为，每次抽取1个，观察后放回去，下次再取1个，共重复次，求次中恰有两次取到次品的概率．

解先讨论的情形． 设表示{第次抽得的是次品}，，则表示{第次抽得的是正品}．在3次试验中，抽得两件次品的方式有种： 3次试验中，恰有两次取到次品的概率是由于抽得次品的概率都是一样的，即，且各次试验是相互独立的，于是有

则定理13.1若单次试验中事件发生的概率为则在次重复试验中发生次）= 注意到刚好是二项式的展开式中的第项，故定理13.1也称为二项概率计算公式．

解设所求事件的概率为 ，每一件产品可能是一级品也可能不是一级品，各个产品是否为一级品是相互独立的．有．例14一条自动生产线上产品的一级品率为，现检查了件，求至少有两件一级品的概率．

“ ”表示正面向上，其出现的概率为； “ ”表示反面向上，其出现的概率为．则就是个随机变量． §13.2 随机变量及其分布一、随机变量例抛掷一枚硬币，结果有两种：“正面向上”和“反面向上”．为了将随机试验的结果量化表示，可令上面例子中的具有下列特征：（1）取值是随机的，事前并不知道取到哪一个值；（2）所取的每一个值，都对应于某一随机现象：

（3）所取的每个值的概率是确定的． 一般地，如果一个变量的取值随着试验结果的不同而变化，随着试验结果的确定而确定，则称此变量为随机变量．通常可用希腊字母等表示．随机变量的取值由随机试验的结果而定，因此随机变量不是自变量，而是函数，其自变量是随机事件．按随机变量取值情况可将其分为两类：（1）离散型随机变量只可能取有限个或无限可列个值; （2）连续型随机变量可以在整个数轴上取值，或至少有一部分取值取某实数区间的全部值．

定义13.7若随机变量可在无穷可列个点 上取值，取这些值的概率依为则称为可列点分布．即上式为离散型随机变量的概率分布，简称分布列．及其分布列也可用表格形式表示：二、离散型随机变量及其分布 1．分布列

性质1 性质2 ．满足如下性质：

例产品有一、二、三等品及废品4种，其一、二三等品率和废品率分别为 60%、10%、20%、10%，任取一个产品检验其质量，用随机变量描述结果．解令“ ”与产品为“ 等品”（）相对应，“ ”与产品“废品”相对应．是一个随机变量，它可以取0、1、2、3这4个可能值．其概率分布表为：

解令 表示掷一颗骰子出现的点数，则的分布列为：例用随机变量去描述掷一颗骰子的试验情况．概率分布表为：

（1）两点分布 设随机变量只可能取两个值，它的概率分布是则称服从两点分布，或称具有两点分布．（2）二项分布设随机变量的概率分布　，　　　　　　　　　　　　　　　其中　　　，则称随机变量　服从参数为　　的二项分布，记为　　　　． 2．几种常见的离散型分布

二项分布的实际背景是，对只有两个试验结果的试验　：　　　　　　　　　，独立重复进行　次，事件　发生的次数　服从二项分布　　　（贝努里概型）．例已知某地区人群患某种病的概率是，研制某种新药对该病有防治作用，现有个人服用该药，结果都没有得该病，从这个结果我们对该药的效果会得到什么结论？

解个人服用该药，可看作是独立地进行 次试验，若药无效，则每人得病的概率是，这时人的病的人数应服从参数为的二项分布，所以“ 人都不得病”的概率是：（3）泊松分布　设随机变量　取值为其相应的概率分布为　　　

其中为参数（），则称 服从泊松分布，记作　　　．例电话交换台每分钟接到的呼唤次数　为随机变量，设　～　　，求在一分钟内呼唤次数不超过1次的概率．解在这里　　　，故

可以证明，当　很大，　很小时，有 其中实际计算中，当　　　　　　　时，就可以用上述近似公式．

定义13.8 设随机变量　，如果存在非负可积函数　　　　　　　　使得对任意实数　　　，有　　　　　　　　　　，则称　为连续型随机变量，称　　为　的概率密度函数，简称概率密度或分布密度．三、连续型随机变量及其分布 1．概率密度函数及其性质

性质1 （因为概率不能小于）． 性质2 由微积分知识可知，对任意实数 ,有即连续型随机变量在任意一点处的概率都是，所以概率密度有下列性质：

例某型号电子管的寿命（单位：小时）为随机变量，其密度函数为现有一电子仪器上装有三个这种电子管，问这仪器在使用中的前小时内不需更换这种电子管的概率？（假定各电子管在这段时间内更换的事件是相互独立的．）

解设表示“第 个电子管在使用中的前小时内不需更换” ，设表示“三个电子管在这段时间内都不需更换”．则

则称服从 上的均匀分布，也称等概率分布．记作 2．常见的连续型分布（1）均匀分布如果随机变量的概率密度是

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