Diskreetit todennäköisyysjakaumat

1. Diskreetit todennäköisyysjakaumat Kertymäfunktio Odotusarvo Binomijakauma Poisson-jakauma

2. Satunnaismuuttuja • Satunnaisilmiö on ilmiö, jonka lopputulokseen sattuma vaikuttaa • Satunnaismuuttuja on muuttuja, joka liittyy satunnaisilmiöön • Satunnaismuuttujan arvo selviää, kun satunnaisilmiö on tapahtunut Aki Taanila 21.5.2007

3. Diskreetti - Jatkuva • Satunnaismuuttuja on diskreetti eli epäjatkuva, jos se voi saada vain tiettyjä arvoja (valmistuserän viallisten tuotteiden lukumäärä, tuotteen päivämyynnin kappalemäärä jne.) • Satunnaismuuttuja on jatkuva, jos se voi tietyllä välillä saada minkä tahansa arvon (pörssiosakkeen hinta, sähkölampun kestoikä jne.) Aki Taanila 21.5.2007

4. Diskreetti todennäköisyysjakauma Diskreetin satunnaismuuttujan mahdolliset arvot ja niiden todennäköisyydet Aki Taanila 21.5.2007

5. Onnenpyörä Jos onnenpyörän voiton todennäköisyys on 15%, niin viiden pyörityksen voittojen todennäköisyysjakauma on oheisen taulukon mukainen Aki Taanila 21.5.2007

6. Kahden nopan heitto Silmälukujen summan todennäköisyysjakauma Aki Taanila 21.5.2007

7. x F(x) 2 1/36 3 3/36 4 6/36 5 10/36 6 15/36 7 21/36 8 26/36 9 30/36 10 33/36 11 35/36 12 36/36 Kertymäfunktio Kertymäfunktio F(x) on todennäköisyys, että satunnaismuuttajan arvo on korkeintaan x Kertymäfunktion avulla voidaan nopeasti laskea todennäköisyyksiä: P(X<7) = 15/36  0,42 P(X>9) = 1 – 30/36 = 6/36  0,17 P(4<X<9) = 26/36 – 6/36 = 20/36  0,56 Aki Taanila 21.5.2007

8. Odotusarvo • Empiirisen jakauman keskiarvoa vastaava käsite todennäköisyysjakaumilla on odotusarvo. Esimerkkejä: • nopan heitossa silmäluvun odotusarvo on 3,5 • vakuutusyhtiö on kiinnostunut tulevan vuoden vakuutuskorvausten odotusarvosta • sijoittaja on kiinnostunut tietyn arvopaperisalkun tuoton odotusarvosta Aki Taanila 21.5.2007

9. Odotusarvon laskeminen Jos todennäköisyysjakauma tunnetaan, niin odotusarvo on satunnaismuuttujan arvojen todennäköisyyksillä painotettu summa. Aki Taanila 21.5.2007

10. Binomijakauma • Punaisten lukumäärä 15 ruletin pyörityksessä • Viallisten lukumäärä viiden tuotteen erässä • Ydinvoiman kannattajien määrä 1000 henkilön otoksessa • Ostavien asiakkaiden määrä sisään saapuneista 100 asiakkaasta Aki Taanila 21.5.2007

11. Binomijakauma Bin(n,p) • Oletetaan, että satunnaisilmiöllä on täsmälleen kaksi tulosvaihtoehtoa A (todennäköisyys p) ja B (todennäköisyys 1-p), joiden todennäköisyydet säilyvät vakioina • Todennäköisyys, että satunnaisilmiötä n kertaa toistettaessa saadaan A sattumaan k kertaa voidaan laskea binomijakauman avulla Aki Taanila 21.5.2007

12. Binomijakauma ja Excel Todennäköisyys =BINOMDIST(k;n;p;0) Kertymäfunktio =BINOMDIST(k;n;p;1) k = onnistumisten lukumäärä n = toistojen lukumäärä p = onnistumisen todennäköisyys Aki Taanila 21.5.2007

13. Poisson-jakauma • 20 minuutissa liikkeeseen saapuvien asiakkaiden määrä • Tuote-erässä esiintyvien viallisten määrä • Autoliikkeen viikossa myymien autojen lukumäärä • Risteyksessä vuoden aikana sattuvien onnettomuuksien määrä Aki Taanila 21.5.2007

14. Poisson jakauma • Tietyssä aikavälissä (tai pinta-alassa, tilavuudessa jne.) sattuvien harvinaisten tapahtumien lukumäärä noudattaa useimmissa käytännön tilanteissa likimain Poisson jakaumaa. • Poisson jakaumaa voidaan käyttää binomijakauman approksimaationa, kun n on suuri ja p on pieni (harvinainen tapahtuma) Aki Taanila 21.5.2007

15. Poisson jakauma • Poisson jakaumaa käyttäen voidaan laskea todennäköisyys sille, että tietyssä aikavälissä (pinta-alassa, tilavuudessa jne.) tapahtuma tapahtuu k kertaa. • Laskenta onnistuu, kunhan keskimääräinen tapahtumisten lukumäärä  on tiedossa. Aki Taanila 21.5.2007

16. Poisson-jakauma ja Excel Todennäköisyys =POISSON(k;;0) Kertymäfunktio =POISSON(k;;1) k = onnistumisten lukumäärä  = onnistumisten lukumäärän odotusarvo Aki Taanila 21.5.2007

17. Jatkuvat todennäköisyysjakaumat Tiheysfunktio Kertymäfunktio Normaalijakauma

18. Normaalijakauma • Monet jatkuvat satunnaismuuttujat noudattavat normaalijakaumaa • Yleisesti voidaan sanoa, että muuttujat joiden arvo määräytyy monen eri tekijän vaikutuksesta noudattavat normaalijakaumaa • Esimerkkejä: mittausvirheet, teollisesti valmistettujen tuotteiden ominaisuudet, ihmisten fyysiset ominaisuudet, sijoitusten tuotot jne. Aki Taanila 21.5.2007

19. Tiheysfunktio Normaalijakauma määritellään tiheysfunktion avulla: tiheysfunktion alle jäävä pinta-ala = 1; pinta-ala edustaa todennäköisyyttä odotusarvo Aki Taanila 21.5.2007

20. Kertymäfunktio Kertymäfunktio kohdassa x = Kohdan x vasemmalle puolelle jäävä pinta-ala = Todennäköisyys korkeintaan x:n suuruiselle arvolle: x Aki Taanila 21.5.2007

21. Normitettu jakauma N(0,1) • Kertymäfunktion arvoja on taulukoitu normaalijakaumalle, jonka odotusarvo on 0 ja keskihajonta 1 • Jakaumaa kutsutaan normitetuksi normaalijakaumaksi ja merkitään N(0,1) 0 Aki Taanila 21.5.2007

22. Normitettu jakauma ja Excel Kertymäfunktio =NORMSDIST(z) Satunnaismuuttuja =NORMSINV(kertymäfunktio) z = normitetun jakauman satunnaismuuttujan arvo Aki Taanila 21.5.2007

23. Jakauman normittaminen Minkä tahansa normaalijakauman N(,) satunnaismuuttuja voidaan muuntaa normitetun jakauman N(0,1) satunnaismuuttujaksi: SAMA PINTA-ALA! x  z 0 Aki Taanila 21.5.2007

24. Normaalijakauma N(,) ja Excel Kertymäfunktio =NORMDIST(x;;;1) Satunnaismuuttujan arvo =NORMINV(kertymäfunktio;;) x = satunnaismuuttujan arvo • = normaalijakuaman odotusarvo  = normaalijakauman keskihajonta Aki Taanila 21.5.2007

25. Binomi - Normaali Jos binomijakaumassa on suuri toistojen määrä, niin jakaumaa voidaan approksimoida normaalijakauman avulla: Approksimaation tarkkuus paranee toistojen määrän kasvaessa. Approksimaatiota tarvitaan, koska binomijakauma on suurilla toistojen määrillä laskennallisesti vaikea (tosin nykyiset Excelin versiot osaavat binomijakauman melko isoillakin toistojen määrillä) Aki Taanila 21.5.2007