СКАЛЯРНОЕ ПОЛЕ. ГРАДИЕНТ.

2. СКАЛЯРНОЕ ПОЛЕ. ГРАДИЕНТ.

3. Скалярное поле и его геометрическое изображение. Опр-е: Скалярным полем называется часть пространства (или все пр-во), каждой точке Р которой соответствует численное значение некоторой скалярной величины U. Пр-ры: неоднородное тело, каждой точке которого соответствует определенное значение плотности, поле распределения температуры в данном теле; поле распределения электрического потенциала и т.д. Скалярная величина U не зависит от времени, а зависит от положения точки Р в пространстве.Величина U рассматривается как функция точки Р: u=F(P). Эта функция называется функцией поля. U=F(P)=F(x,y,z) Всякая функция трех переменных U=(x,y,z) задает некоторое скалярное поле. Скалярные поля изображаются геометрически с помощью поверхностей уровня.

4. Опре-е:Поверхностью уровня(или эквипотенциальной поверхностью) скалярного поля называется геометрическое место точек пространства, в которых функция поля U=F(x,y,z) имеет одно и то же значение С. Ур-е поверхности уровня имеет вид: F(x,y,z)=C Пр-р:1) U=x2+y2+z2 поверхности уровня сферы : x2+y2+z2=С. 2) если скалярным полем является поле распределения температуры в некоторой части пространства, то поверхностями уровня этого поля будут так называемые изотермические поверхности, т.е. поверхности, на каждой из которых температура постоянна.

5. Производная по направлению. Пусть задана дифференцируемая функция скалярного поля U=F(x,y,z). Рассмотрим точку Р(x,y,z)этого поля и луч , выходящий из точки Р в направлении единичного вектора. где - углы вектора c осями координат. Опр-е: Производной функции U=F(x,y,z) по направлению называется предел . Обозначение: . Производная по направлению дает скорость изменения функции U в этом направлении.

6. Формула для: (*) Следствие:если вектор совпадает с одним из векторов , то производная U по направлению совпадает c соответствующей частной производной этой функции. Пр-р:Найти производную функции u=x2-2xz+y2в точке Р1(1;2;-1) по направлению, идущему от точки Р1 к точке Р2 (2;4;-3). Решение: соответствующий ему единичный вектор

7. Найдем частные производные функции: u=x2-2xz+y2 Их значения в точке Р1 (1;2;-1); Подставляем в формулу (*) найденные значения, получим искомую производную:

8. Градиент. • Градие́нт (от лат.gradiens, род. падеж gradientis — шагающий, растущий) — вектор, показывающий направление наискорейшего возрастания некоторой величины , значение которой меняется от одной точки пространства к другой (скалярного поля). Например, если взять в качестве высоту поверхности Земли над уровнем моря, то её градиент в каждой точке поверхности будет показывать «направление самого крутого подъёма». Величина (модуль) вектора градиента равна скорости роста в этом направлении. • Термин впервые появился в метеорологии, а в математику был введен Максвеллом в 1873 г. Обозначение grad тоже предложил Максвелл.

9. В различных отраслях физики используется понятие градиента различных физических полей. • Например, градиент концентрации — нарастание или уменьшение по какому-либо направлению концентрации растворённого вещества, градиент температуры — увеличение или уменьшение по направлению температуры среды и т. д. Градиент может быть вызван различными причинами, например, механическим препятствием, действием электромагнитных, гравитационных или других полей или различием в растворяющей способности граничащих фаз, например, октанол/вода.

10. При изучении скалярных полей наряду с функциейполя U=F(x,y,z) рассматривается некоторый вектор, тесно связанный с этой функцией – градиент скалярного поля. Опр-е: Градиентом в точке Р(x,y,z)скалярного поля, заданного дифференцируемой функцией U=F(x,y,z), называется вектор, равный: Связь между градиентом функции U=F(x,y,z) в данной точке и производной по направлению в этой же точке. Теорема: Проекция вектора grad u на единичный вектор равна производной ф-ииU по направлению

11. !Проекция grad u на вектор равна скорости изменения поля U=F(x,y,z) в направлении вектора . Пусть угол между и gradu. Тогда если , то имеет наибольшее значение , равное . Вывод:gradu есть вектор, указывающий направление наибольшего возрастания поля в данной точке и имеющий модуль, равный скорости этого возрастания.

12. Наибольшая скорость изменения функции U в точке М равна: В этом состоит физический смысл градиента. Пример:Найти наибольшую скорость возрастания функции в точке А(-1;1;-1) Решение:

13. Наибольшая скорость возрастания функции равна: Отметим,что функция U будет убывать с наибольшей скоростью( ),если точка А движется в направлении - (антиградиентное направление).

14. Пример:Вычислить производную функции в точке в направлении вектора и градиент. Решение. Найдем значение частных производных в точке . Вычислим направляющие косинусы

15. Тогда:1) 2)

16. Пример. Вычислить производную функции z = x2 + y2x в точке А(1, 2) по направлению вектора .. В (3, 0). • Решение. Прежде всего необходимо определить координаты вектора   • =(3-1; 0-2) = (2; -2) = 2. • Далее определяем модуль этого вектора:

17. Находим частные производные функции z в общем виде: • Значения этих величин в точке А :

18. Для нахождения направляющих косинусов вектора производим следующие преобразования: • За величину принимается произвольный вектор, направленный вдоль заданного вектора, т.е. определяющего направление дифференцирования. • :

19. Отсюда получаем значения направляющих косинусов вектора • Окончательно получаем: • - значение производной заданной функции по направлению вектора .