自动控制原理

1. 自动控制原理 主讲教师： 唐艳 德州学院机电工程系 Mechanical and Electronic Engineering Department of Dezhou University

2. 第四章　 根轨迹 本章重点 • 根轨迹的定义、根轨迹方程、幅值条件和相角条件； • 常规根轨迹的绘制； • 增加开环零极点对根轨迹和系统性能的影响； • 利用根轨迹分析系统性能的方法。

3. 第四章　 根轨迹 本章难点 • 根据根轨迹定性分析系统性能随参数变化的规律； • 如何改变根轨迹达到系统期望的性能。

4. 引　言 　　系统的动态性能和闭环极点在S平面的位置有着密切 的关系。 1. 垂直线区域 衰减度，表示一种相对稳定性。 2. 扇形区域 闭环系统将具有一定的阻尼比。

5. 3. 圆形区域 　　在圆形区域里即可以保证阻尼比ζ的上界， 也可以保证一定的自然振荡频率ωn,以及阻尼振荡频率 ωd。 如果设定区域 则选择

6. §4－1　根轨迹的基本概念 • 　在分析系统的性能时，要知道闭环系统的确切的极点位置； • 　分析和设计时还要研究一个或几个参量在一定的范围内变化时对于系统的性能的影响。 依万斯(W.R.Evans)提出了求解系统特征方程式根的图解方法－根轨迹法。 已知开环的零极点绘控制闭环极点随参数变化的运动轨迹。

7. 以二阶系统为例 开环传递函数为： 有两个开环极点，0和-a. 系统的闭环传递函数为： 特征方程为： 根为： 在K1和a为正值时，上述二阶系统总是稳定的。 暂态性能却随特征方程的根而变化，因而随a和K1的值而变化。

8. 讨论a保持常数，特征方程的根随增益K1改变的情况。讨论a保持常数，特征方程的根随增益K1改变的情况。 • 当 时，s1和s2为互不相等的两个实根。 (2) ，则两根相等，即 ，两根成为共轭的复数根，其实数部分为 (3) 这时根轨迹与实轴垂直，并相交于 点。

9. K1从零变化到无穷大时的根轨迹 • 二阶系统的根轨迹有两条，K1=0时分别从p1=0和p1=-a出发； (2) 两个根都在负实轴上，系统处于过阻尼状态； (3) 当K1增加到a2/4时，两个特 征根相等会合于 (4) 当K1>a2/4时，对应欠阻尼状态， K1越大，振荡的频率也越高，由于两个根的负实部不变，系统的调节时间变化也不大。

10. 根轨迹：就是当系统的某一个或几个参数变化时，特征方程的根在S平面上运动的轨迹。根轨迹：就是当系统的某一个或几个参数变化时，特征方程的根在S平面上运动的轨迹。 §4-2　绘制根轨迹的基本条件和基本规则 闭环系统特征方程为： 1+G(s)H(s)=0　或　G(s)H(s)= -1 可以得到幅值条件和相角条件：

11. 　　在s平面上，凡能满足相角条件的点所构成的轨迹即为根轨迹。绘制根轨迹主要依据相角条件，而幅值条件用于确定根轨迹上某点s对应的系统参数值。 设系统的开环传递函数为： —开环零点 —开环极点

12. K1可以叫根迹增益或根轨迹放大倍数，K叫做系统的开环增益。K1可以叫根迹增益或根轨迹放大倍数，K叫做系统的开环增益。 　　将零极点形式用于绘制根轨迹比较方便。将其代到幅值条件和相角条件中可以得到 或 　　相角条件确定根轨迹上的点，用幅值条件确定根轨迹上 某一点对应的增益值。

13. 78.8o 92.49o 127.53o 2.61 66.27o -2 -1.5 0.5 -1 2.26×2.11×2.61 2.072 求模求角例题 模值条件与相角条件的应用 -0.825 ξ=0.466 ω n=2.34 -1.09+j2.07 2.26 2.072 2.11 s1=-0.825 s2,3= -1.09±j2.07 = 6.0068 K*= 92.49o- 66.27o- 78.8o- 127.53o= –180o

14. 二、根轨迹的基本性质和绘制规则 1　根轨迹的连续性 　　闭环特征方程的根是根轨迹增益K1（或其它参数）的连续函数。 2　根轨迹的对称性 特征方程的根为实数或共轭复数，根轨迹对称于实轴。 规则一 系统根轨迹的各条分支是连续的，而且对称于 　　　　实轴。 3　根轨迹的分支数 分支数等于系统的阶数。

15. 4　根轨迹的起点和终点 K1=0时，只有s=pi才能满足上式，故根轨迹各分支的起点即为各开环极点。 根据幅值条件 　　当K1→∞，只有s→zi或s→∞时才能满足上式的幅值条件。 　　因此当K1→∞时，根轨迹的m条分支趋向开环零点，另外n-m条分支趋向无穷远处。 规则二 当K1=0时，根轨迹的各条分支从开环极点出发；当K1→∞，有m条分支趋向于开环零点，另外有n-m条分支趋向无穷远处。

16. 5　实轴上的根轨迹 规则三 在s平面实轴的线段上存在根轨迹的条件是，　　　　在这些线段右边的开环零点和开环极点的数目之和为奇数。 6　根轨迹的渐近线 　　当K1→∞时，n-m条根轨迹分支沿着与正实轴正方向夹角为φa，截距为σa的一组渐近线趋向于无穷远处。 规则四 根轨迹中趋向于无穷远处的n-m条分支的渐近线的相角为

17. 规则五 伸向无穷远处的根轨迹的渐近线与实轴交于一点，交点的坐标为 7　分离点和汇合点 　　若实轴上两开环极点之间存在根轨迹，则一定存在分离点； z1 P2 P1 　　若实轴上相邻开环零点之间存在根轨迹，则一定存在汇合点； 　　若实轴上的根轨迹处在开环零点和开环极之间，可以既无分离点也无汇合点，也可能既有分离点也有汇合点。

18. 规则六　 复平面上根轨迹的分离点必须满足方程 上述条件只是确定分离点的必要条件，不是充分条件。 设 由 如果是重根，另有 可以得到同样的结果。 消去K1有

19. 分离角和会合角：分离点或会合点的切线与正实轴的夹角。 r为趋向或离开实轴的根轨迹分支数。 8　根轨迹与虚轴的交点 与虚轴的交点为临界稳定点，表明系统处于临界稳定状态。此处的增益称为临界根轨迹增益。 求法： 1　令s=jω 代入特征方程。求得临界稳定时的ω和增益K1。 2　利用劳斯判据，求交点坐标及临界稳定增益。

20. 9　根轨迹的出射角和入射角 出射角—指起始于开环极点的根轨迹在起点处的切线与正实轴的夹角。 入射角—指终止于开环零点的根轨迹在终点处的切线与正实轴的夹角。 规则七 在开环复数极点处根轨迹的出射角为 在开环零点处根轨迹的入射角为 φ为其它开环零、极点对该出射点或入射点提供的相角。

21. 10　闭环极点的和与积 开环极点之和 闭环特征方程为： 闭环极点之和为 若 闭环极点之积为

22. §4-3　控制系统根轨迹的绘制 一、单回路系统的根轨迹 (5) 根轨迹在极点p3处的出射角为 jω 例：已知开环系统的传递函数为： -71.6° （6）求根轨迹与虚轴的交点 　　绘制K1从0到无穷大变化时的根轨迹。 (4) 求根轨迹在实轴上的分离点 σ 0 将s=jω代入，令实、虚部都为零。 -3 -2.28 -1.25 （1）系统的开环极点为P1＝0、之p2=-3、p3,4=-1±j，n-m条根轨迹趋于无穷远处。 71.6° (2) 0～-3之间存在根轨迹。 解得： 解得分离点出现在-2.28处 (3)求渐近线截距σa和夹角φa

23. 根轨迹示例1 j j j j j j 0 0 0 0 0 0 j j j j j 0 0 0 0 0

24. 根轨迹示例2 j j j j j j 0 0 0 0 0 0 j j j j j 0 0 0 0 0 n=[1 2];d=conv([1 2 5],[[1 6 10]);rlocus(n,d) n=1;d=conv([1 2 0],[1 2 2]);rlocus(n,d) j 0

25. 极点的微小变化引起的根轨迹状态的改变 G=tf([1],[1 6 25 0]) G=tf([1],[1 4 5 0]) G=tf([1],[1 6 12 0]) rlocus(G) rlocus(G) rlocus(G)

26. 二、参量根轨迹 　以系统其它参量变化而绘出的根轨迹，就称为参量根轨迹或广义根轨迹。（如时间常数、测速机反馈系数等） • 　必须首先正确地求出等效单回路系统的开环传递函数。 • 　依照绘制K1变化时的根轨迹的法则，绘制出系统的参量根轨迹。 系统的开环传递函数： 特征方程：

27. 等效开环传递函数中有两个极点、一个零点。 根轨迹是一个圆弧，圆心在原点上。 分析τ的变化对系统开环特性的影响。　 随着τ值的增大，系统的阻尼也增大。适当选择τ可以改善系统的系统的动态性能。

28. 三、多回路根轨迹 　　分析局部闭环或其它参数对整个系统性能的影响。 方法： 1. 首先根据局部闭环子系统的开环传递函数绘制其根轨迹，确定局部小闭环系统的极点分布。 2. 由局部小闭环系统的零、极点和系统其它部分的零、极点所构成的整个多回路系统开环零、极点的布局，绘制出总系统的根轨迹。 通常所分析的变量不只一个，形成根轨迹族。 从内环入手，从里到外，从局部到整体，多次绘制。

29. 系统的开环传递函数为： 系统的特征方程为 求取开环极点 等价于求左面闭环系统根轨迹 可化为

30. 内环根轨迹 系统闭环根轨迹

31. 例：试绘制如图所示控制系统的根轨迹，其中K1、Kf均为可变参数。例：试绘制如图所示控制系统的根轨迹，其中K1、Kf均为可变参数。 局部小闭环的传递函数为 全系统的开环传函为 内环的特征方程为 可化为： 等效开环传函

32. 三个开环极点：0、-1、-2。 时 可以绘出以K1为参数的闭环系统根轨迹。 Kf=1.03时，K1无论为何值，系统总是稳定。但K1增大，阶跃响应振荡加剧。

33. 四、正反馈回路的根轨迹 　控制系统中可能有局部的正反馈。 　可能是控制对象本身的特性，也可能是为提高控制系统性能而附加进去的。 闭环传递函数为：

34. 系统的特征方程为： 根轨迹的方程： 幅值条件： 相角条件： 正反馈系统的相角条件是180°的偶数倍，所以叫零度根轨迹。 与负反馈系统的常规根轨迹不同，需要修改的规则： (1) 在s平面实轴的线段上存在根轨迹的条件是，　　　　在这些线段右边的开环零点和开环极点的数目之和为偶数。

35. (2) 根轨迹的渐近线 ①渐近线与实轴的交点σa与常规根轨迹相同。 ②渐近线与实轴的夹角改为 (3) 根轨迹的出射角和入射角 在开环复数极点处根轨迹的出射角为

36. 离开开环极点pa处的出射角为： φj为该极点到各个开环零点的相角之和。 θi为该极点到其它各个开环极点的相角之和。 进入开环零点zb处的入射角为： φj为该零点到其它各个开环零点的相角之和。 θi为该零点到各个开环极点的相角之和。

37. 例：设单位正反馈系统的开环传递函数为 绘制K1从0→∞变化时的根轨迹。 （1）两个开环极点：p1,2=-1±j。 　　一个开环零点：z1=-2。 (2)开环复数极点p1处的出射角 (3)根轨迹的汇合点 S1=-0.59 S2=-3.41（舍去） 根轨迹的汇合角为

38. 五、滞后系统的根轨迹 系统的闭环传递函数为 特征方程为 —超越方程，方程有无穷多个根。 上式可以化为 e-τs可以展开为幂级数

39. 设 幅值条件： 相角条件： 考虑到

40. 滞后系统根轨迹的绘制规则 规则一　滞后系统根轨迹是连续，并对称于实轴。 规则二K1=0时，根轨迹从开环极点pi和σ=-∞处出发，K1→∞时，根轨迹开环零点zj和σ=∞处。 规则三　滞后系统根轨迹在实轴上的线段存在的条件是，其右边开环零、极点数目之和为奇数。 规则四　滞后系统根轨迹的渐近线有无穷多条，且都平等于s平面的实轴。 规则五　滞后系统根轨迹的渐近线与虚轴的交点为

41. 规则六　滞后系统根轨迹的分离点必须满足 规则七　滞后系统根轨迹的出射角和入射角可根据相角条件确定。 规则六　滞后系统根轨迹与虚轴的交点，可用s=jω代入方程求解。 根轨迹上任一点的K1值可根据幅值条件确定

42. 例　系统的开环传递函数为 设τ=1，绘制K1从0→∞时的根轨迹。 解 τ=1时，系统的根轨迹方程为 令s=σ＋jω，则幅值条件为 相角条件为

43. （1）实轴上的根轨迹区段 实轴上ω＝0，确定（-∞，-1）之间存在根轨迹。 （2）实轴上的分离点 得到s=-2. （3）q=0时，相角方程变为

44. 根轨迹与虚轴的交点 解得 ω=2.03 K1p≈2.3 （4）根轨迹的渐近线

46. §4.4　利用根轨迹分析系统性能 由闭环系统的主导极点和零点估算系统的性能。 一、暂态响应性能分析 设Ⅰ型系统的闭环传递函数为 阶跃输入下的响应为

47. 可以用向量表示 设s1、s2为一对共轭复数主导极点

49. 求主导极点响应的峰值时间tp（对上式中的第二项求导）求主导极点响应的峰值时间tp（对上式中的第二项求导）

50. 若增加实轴上的零点φ1，增大，则峰值时间tp减小。若增加实轴上的零点φ1，增大，则峰值时间tp减小。 若增加实轴上的极点φ1，增大，则峰值时间tp增大。 求超调量 考虑到 －K为闭环传递函数的增益