ตรรกศาสตร์ 2

1. ตรรกศาสตร์ 2 887110 โครงสร้างดิสครีตเบื้องต้น

2. ภาพรวมของเนื้อหา การสมมูล สัจนิรันดร์ การขัดแย้ง ประโยคเปิด (Open Sentence) ตรรกศาสตร์ 2 การให้เหตุผล (Argument)

3. การสมมูล (Equivalence), สัจนิรันดร์ (Tautologies),การขัดแย้ง (Contradictions)

4. การสมมูล (Equivalence) • ประพจน์ที่เขียนต่างกัน แต่มีค่าความจริงเหมือนกันทุกกรณี เราจะถือว่า ประพจน์ทั้งสอง “สมมูล” กัน • ประพจน์ที่สมมูลกันสามารถนำไปใช้แทนกันได้ • พิจารณาตารางค่าความจริงของ 2 ประพจน์นี้ p -> q กับ ~p v q • ดังนั้น ประพจน์ p->q สมมูลกับ ~p v q • รูปแบบการสมมูลเขียนเป็นสัญลักษณ์ได้ดังนี้ p  q หรือ p  q

5. กฎการสมมูล (Equivalence Laws)

6. กฎการสมมูล (Equivalence Laws)

7. การพิสูจน์การสมมูล • การพิสูจน์การสมมูลสามารถทำได้ 2 วิธี • การสร้างตารางค่าความจริง เพื่อตรวจสอบว่าค่าความจริงของประพจน์ที่พิจารณาเหมือนกันในทุกๆกรณีหรือไม่ • ใช้กฎในการพิสูจน์

8. ตัวอย่างการพิสูจน์การสมมูลโดยใช้ตารางค่าความจริงตัวอย่างการพิสูจน์การสมมูลโดยใช้ตารางค่าความจริง • จงพิสูจน์ว่า P -> ~Q  Q->~P หรือไม่ • ค่าความจริงของประพจน์ P-> ~Q กับ ประพจน์ Q -> ~P มีค่าเหมือนกันในทุกๆแถว • ดังนั้น P -> ~Q สมมูลกับ Q->~P

9. ตัวอย่างการพิสูจน์การสมมูลโดยใช้กฎการสมมูลตัวอย่างการพิสูจน์การสมมูลโดยใช้กฎการสมมูล • จงพิสูจน์ว่า P -> ~Q  Q->~P หรือไม่ P -> ~Q  ~P v ~Q กฎ Implies  ~Q v ~P สลับที่  Q -> ~P กฎ Implies ดังนั้น P -> ~Q  Q->~P

10. กิจกรรมที่ 1 • จากรูปแบบประพจน์ที่กำหนดให้ จงพิศูจน์โดยใช้กฎสมมูลว่าสมมูลกันหรือไม่ • p-> (q -> r)  (p ^ q) -> r

11. การพิจารณาสัจนิรันดร์ (Tautology) • เป็นรูปแบบของประพจน์ที่มีค่าความจริงเป็นจริงทุกกรณี • เทคนิคการตรวจสอบการเป็นสัจนิรันดร์ของประพจน์ ทำได้โดย • ใช้ตาราง • ใช้กฎการสมมูล • การสมมุติค่าความจริงแล้วดูการขัดแย้ง

12. เทคนิคที่ 1 การใช้ตาราง • จงตรวจสอบว่าประพจน์นี้เป็นสัจนิรันดร์หรือไม่ (P->Q) <-> (~P v Q) • รูปแบบประพจน์ (p -> q) <-> (~p v q) มีค่าความจริงทุกกรณี • ดังนั้น รูปแบบประพจน์นี้ เป็นสัจนิรันดร์

13. เทคนิคที่ 2 การใช้กฎการสมมูลมาช่วยพิจารณา • จงตรวจสอบว่าประพจน์นี้เป็นสัจนิรันดร์หรือไม่ P -> (P v Q) P -> (P v Q)  ~P v (P v Q) กฎ Implies  (~P v P) v Q จัดกลุ่มใหม่  T v Q สัจนิรันดร์ (~P v P)  T  T ดังนั้น P -> (P v Q) เป็นสัจนิรันดร์

14. กิจกรรมที่ 2 • จงพิจารณาว่า ประพจน์ต่อไปนี้เป็นสัจนิรันดร์หรือไม่ โดยใช้กฎ [(~P v P) ^ Q] -> [(~S ^ S) v Q]

15. เทคนิคที่ 3 การสมมุติค่าความจริงแล้วดูการขัดแย้ง • หลักการ ตรวจสอบว่าประพจน์มีโอกาสเป็น เท็จ ได้หรือไม่ ถ้าเป็นได้ แสดงว่าประพจน์นั้นไม่เป็นสัจนิรันดร์ • วิธีการ สมมุติให้ประพจน์ผสมเป็น เท็จ จากนั้นดูค่าความจริงของประพจน์ย่อย ดังนี้ • ถ้าประพจน์ย่อยมีค่าความจริง ขัดกัน แสดงว่าไม่มีทางเป็นเท็จได้ จะสรุปว่าประพจน์นั้น เป็นสัจนิรันดร์ • ถ้าประพจน์ย่อยมีค่าความจริง สอดคล้องกัน แสดงว่ามีทางเป็น เท็จได้ จะสรุปว่าประพจน์นั้น ไม่เป็นสัจนิรันดร์

16. เทคนิคที่ 3 การสมมุติค่าความจริงแล้วดูการขัดแย้ง • ตัวอย่าง ประพจน์ต่อไปนี้เป็นสัจนิรันดร์หรือไม่ (P ^ Q) -> P พิจารณาลำดับการหาค่าความจริง (P ^ Q) -> P F สมมุติให้ประพจน์เป็นเท็จ TFพิจารณาค่าความจริงของ TT ประพจน์ย่อย ประพจน์ย่อย P มีความขัดแย้งกัน ดังนั้น ประพจน์นี้เป็น สัจนิรันดร์ 2 1 3

17. กิจกรรมที่ 3 • จงพิจารณาว่าประพจน์ต่อไปนี้เป็นสัจนิรันดร์หรือไม่ โดยการสมมุติค่าความจริงแล้วดูการขัดแย้ง • (P ^ Q) -> (P ->Q) • (P v Q) -> P

18. ประโยคเปิด(Open Sentence)

19. ประโยคเปิด(Open Sentence) • คือ ข้อความที่ติดค่าตัวแปรที่ยังไม่รู้ว่าเป็น จริง หรือ เท็จ โดยตัวแปรนั้นเป็นสมาชิกของเอกภพสัมพัทธ์ที่กำหนด • ยังไม่ใช่ประพจน์จนกว่าจะมีการระบุค่าของตัวแปร • เช่น ประโยคเปิด P(x) นิยามโดย x – 3 > 5 • ค่าความจริงของ P(2) เป็นเท็จ • ค่าความจริงของ P(8) เป็นเท็จ • สังเกตว่าเมื่อ x ถูกระบุค่า P(x) จะกลายเป็นประพจน์ที่มีค่าความจริงชัดเจน • เรียก P ว่า Predicate และ x ว่าตัวแปร (variable)

20. การทำให้ประโยคเปิดเป็นประพจน์การทำให้ประโยคเปิดเป็นประพจน์ • สามารถดำเนินการได้ 2 วิธี ดังนี้ • นำสมาชิกในเอกภพสัมพัทธ์ไปแทนค่าในตัวแปร ตัวอย่าง ถ้ากำหนดเอกภพสัมพัทธ์เป็น R และประโยคเปิด x > 3 เราจะยังไม่สามารถบอกได้ว่าข้อความนี้เป็นจริงหรือเท็จ จนกว่าจะลองแทนค่า x ดังนี้ เมื่อแทน x เป็น 2 จะได้ 2 > 3 ประพจน์นี้มีค่าความจริงเป็น F 5 จะได้ 5 > 3 ประพจน์นี้มีค่าความจริงเป็น T

21. การทำให้ประโยคเปิดเป็นประพจน์ (ต่อ) • เติมวลีบ่งปริมาณ (Quantifier) มี 2 ชนิด คือ • x  U หมายถึง สำหรับ x ทุกตัวใน U • x  U หมายถึง มี x บางตัวใน U ตัวอย่าง กำหนด U = R และประโยคเปิด x < 2 x  R [x < 2] หมายถึง สำหรับ x ทุกตัวใน R ทำให้ x < 2 เป็นจริง ซึ่งค่าความจริงของประพจน์นี้จะเป็น F เพราะ มี x บางตัว เช่น x = 3 ทำให้เป็นเท็จ x  R [x <2] หมายถึง x บางตัวใน R ทำให้ x < 2 เป็นจริง ซึ่งค่าความจริงของประพจน์นี้เป็น T เพราะมี x บางตัวแน่ๆ ที่ทำให้ x < 2 เช่น 1

22. ค่าความจริงของ x[P(x)] กับ x[P(x)]

23. กิจกรรมที่ 4 • จงหาค่าความจริงของข้อความต่อไปนี้ ถ้ากำหนด U เป็น R • x [x + x = x2] • x [x + x = x2 ] • x [x2 > x] • x [x2 > x] • x [|x| ≥ x]

24. กิจกรรมที่ 5 • กำหนด U = {-1,0 } จงหาค่าความจริงของ • x [x2 – 2x = 3] • x [x2 – 2x = 3] • x [2 - x > x + 2] • x [ 2 – x > x + 2]

25. ค่าความจริงของประพจน์ที่มี 2 ตัวแปร 2 วลีบ่งปริมาณ

26. การสลับลำดับของวลีบ่งปริมาณการสลับลำดับของวลีบ่งปริมาณ • xy[P(x,y)]  yx[P(x,y] • xy[P(x,y)] เป็น จริง เมื่อมี x อย่างน้อย 1 ตัว ที่จับคู่กับ y ทุกตัว แล้วทำให้ P(x,y) เป็นจริง • yx[P(x,y] เป็นจริง เมื่อทุก y มี x รองรับ เพื่อทำให้ P(x,y) เป็นจริง • xy[P(x,y)]  yx[P(x,y)] • xy[P(x,y)]  yx[P(x,y)]

27. กิจกรรมที่ 6 • กำหนด U = {1,2,3} จงหาค่าความจริงของ • xy[x2 < y + 2] • xy[x2 + y2 < 12] • xy[x2 + y2 < 12]

28. นิเสธของประพจน์ที่มีวลีบ่งปริมาณนิเสธของประพจน์ที่มีวลีบ่งปริมาณ • เนื่องจาก x [P(x)] กับ x [P(x)] เป็นประพจน์ ดังนั้น จึงมีนิเสธ ดังนี้ • นิเสธของ x [P(x)] เขียนแทนด้วย ~[x [P(x)]] x [~P(x)] • นิเสธของ x [P(x)] เขียนแทนด้วย ~[x [P(x)]] x [~P(x)]

29. นิเสธของประพจน์ที่มีวลีบ่งปริมาณ (ต่อ) • นอกจากนี้ • ~[xy[P(x,y]]  xy[~P(x,y]] • ~[xy[P(x,y]]  xy[~P(x,y]] • ~[xy[P(x,y)]]  xy[~P(x,y)]] • ~[xy[P(x,y)]]  xy[~P(x,y)]]

30. กิจกรรมที่ 7 • จงหานิเสธของ x[x2 = x] • จงหานิเสธของประพจน์ต่อไปนี้

31. เพิ่มเติม : ประพจน์ที่มีวลีบอกปริมาณ

32. การให้เหตุผล (Argument) • การให้เหตุผล ประกอบด้วย • เหตุ (premises) คือ สิ่งที่กำหนดให้ ประกอบด้วยประพจน์ย่อยๆ s1,s2,…sn • ผลสรุป (conclusion) เป็น ผลจากเหตุแทนด้วย Q

33. การให้เหตุผล (ต่อ) • การให้เหตุผล สามารถเขียนได้ 2 รูปแบบ • แบบที่ 1 เขียนได้เป็น s1,s2,…sn|-- Q • แบบที่ 2 เขียนได้เป็น s1 s2 … sn Q

34. การตัดสินว่าการอ้างเหตุผลสมเหตุสมผลหรือไม่การตัดสินว่าการอ้างเหตุผลสมเหตุสมผลหรือไม่ • ถ้า (S1 ^ S2 ^ S3 ^ … ^ Sn) -> Q เป็น สัจนิรันดร์ (Tautology) เราจะสรุปได้เลยว่าการอ้างนี้ สมเหตุสมผล • ถ้า (S1 ^ S2 ^ S3 ^ … ^ Sn) -> Qไม่เป็น สัจนิรันดร์ เราจะสรุปว่าการอ้างนี้ ไม่สมเหตุสมผล

35. กฎการให้เหตุผล(Rule of Inference)

36. กฎการให้เหตุผล (ต่อ)

37. การพิสูจน์ว่า การอ้างเหตุผลสมเหตุสมผลหรือไม่ • เอาเหตุที่กำหนดให้ทั้งหมดมาเชื่อมกันด้วย “และ” ดังนี้ (S1 ^ S2 ^ S3 ^ … ^ Sn) • จากนั้น นำเหตุทั้งหมดในข้อ 1 มาเชื่อมด้วย “->” ดังนี้ (S1 ^ S2 ^ S3 ^ … ^ Sn) -> Q • พิจารณาว่า (S1 ^ S2 ^ S3 ^ … ^ Sn) -> Q เป็น สัจนิรันดร์ หรือไม่ • ถ้า เป็น เราจะอ้างเลยว่า สมเหตุสมผล • ถ้า ไม่เป็น เราจะอ้างเลยว่า ไม่สมเหตุสมผล

38. เทคนิคการพิจารณาว่า (S1 ^ S2 ^ … ^ Sn)-> Q เป็นสัจนิรันดร์ • การใช้กฎการให้เหตุผล (Rule of Inference) • การใช้กฎการสมมูลมาช่วยจัดรูปแบบ • การสมมุติค่าความจริงแล้วดูการขัดแย้ง

39. เทคนิคที่ 1 การใช้กฎการให้เหตุผล • ตัวอย่างที่ 1 การอ้างเหตุผลนี้ สมเหตุสมผลหรือไม่ เหตุ 1. ถ้าเรวดีเป็นจำรวจแล้ว นุชจรีเป็นผู้ตรวจสอบบัญชี 2. เรวดีเป็นตำรวจ ผล นุชจรีเป็นผู้ตรวจสอบบัญชี • ตัวอย่างที่ 2 การอ้างเหตุผลต่อไปนี้ สมเหตุสมผลหรือไม่ เหตุ 1. อารีรัตน์ไม่เป็นนักเขียน หรือ สุจิตราเป็นครู 2. อารีรัตน์เป็นนักเขียน ผล สุจิตราเป็นครู

40. เทคนิคที่ 1 การใช้กฎการให้เหตุผล (ต่อ) • ข้อเสนอแนะของการใช้เทคนิคนี้ • เราต้องจำกฎต่างๆของการให้เหตุผลได้ • อาจต้องใช้ความจำมากและสับสนได้ • กรณีที่มีเหตุค่อนข้างเยอะ ใช้กฎแล้วอาจปวดหัวได้

41. เทคนิคที่ 2 การใช้กฎการสมมูล หลักการ • รวมเหตุและผลที่โจทย์ให้ในรูปแบบนี้ (S1 ^ S2 ^ … ^ Sn)-> Q • ใช้กฎการสมมูลต่างๆเพื่อตัดสินว่าประพจน์ในข้อ 1 เป็นสัจนิรันดร์หรือไม่ • ถ้าประพจน์ในข้อ 1 เป็นสัจนิรันดร์ จะสรุปว่า สมเหตุสมผล • ถ้าประพจน์ในข้อ 1 ไม่เป็นสัจนิรันดร์ จะสรุปว่า ไม่สมเหตสมผล

42. ตัวอย่างการใช้เทคนิคที่ 2 ในการพิจารณาการให้เหตุผล • ตัวอย่างที่ 1 การอ้างเหตุผลต่อไปนี้ สมเหตุสมผลหรือไม่ เหตุ 1. P -> Q 2. P ผลQ • ตัวอย่างที่ 2 การอ้างเหตุผลต่อไปนี้ สมเหตุสมผลหรือไม่ เหตุ 1. P ^ Q 2. P ผลP

43. ตัวอย่างการใช้เทคนิคที่ 2 ในการพิจารณาการให้เหตุผล (ต่อ) • ตัวอย่างที่ 3 การอ้างเหตุผลต่อไปนี้ สมเหตุสมผลหรือไม่ เหตุP ผลP v Q

44. ข้อเสนอแนะของการใช้เทคนิคที่ 2 • เทคนิคนี้ไม่ต้องจำมาก แต่ต้องใช้กฎการสมมูลคล่องๆหน่อย • ถ้ามีเหตุค่อนข้างมาก การใช้กฎอาจจะยากขึ้น

45. เทคนิคที่ 3 การสมมุติค่าความจริงแล้วดูการขัดแย้ง หลักการ • รวมเหตุกับผลเข้าด้วยกันแบบนี้ (S1 ^ S2 ^ … ^ Sn)-> Q • สมมุติให้ประพจน์ในข้อ1 มีค่าความจริงเป็น เท็จ • หาค่าความจริงของแต่ละประพจน์ย่อย • ถ้าประพจน์ย่อยมีค่าความจริง ขัดกัน แสดงว่ามันเป็นเท็จไม่ได้ ให้สรุปว่า สมเหตุสมผล • ถ้าประพจน์ย่อยมีค่าความจริง สอดคล้องกัน แสดงว่ามันเป็นเท็จได้ ให้สรุปว่า ไม่สมเหตุสมผล

46. ตัวอย่างการใช้เทคนิคที่ 3 ในการตรวจสอบการให้เหตุผล • ตัวอย่างที่ 1 จงพิจารณาว่าจากเหตุและผลที่กำหนดให้ สมเหตุสมผลหรือไม่ เหตุ 1. P v Q 2. ~P ผล Q

47. ตัวอย่างการใช้เทคนิคที่ 3 ในการตรวจสอบการให้เหตุผล • ตัวอย่างที่ 2 จงพิจารณาว่าจากเหตุผลที่กำหนดให้นี้สมเหตุสมผลหรือไม่ เหตุ 1. P -> Q 2. Q ผล P

48. คำถาม ???