第一章晶体的结构及其对称性

第一章晶体的结构及其对称性

绪论 • 凝聚态物质：液体、固体以及介于其间的软物质（如液晶、凝胶等），是原子、离子、分子的聚集体。 • 固体：在压强和温度一定，且无外力作用时，形状不变。根据组成粒子在空间排列的有序度和对称性可分为晶体、准晶体和非晶体。 • 晶体：组成粒子在空间周期性排列，长程有序；无任意的平移和旋转对称性，对称性破缺。 • 非晶体：组成粒子在空间的分布是完全无序或仅仅具有短程有序；高度对称性，物理性质各向同性。 • 准晶体：介于晶体与非晶体之间，组成粒子分布完全有序，但不具有周期性，仅仅具有长程取向序；可具有晶体不允许的旋转对称性。

1.1 晶格及其平移对称性 一、晶体结构及基元 1.晶体结构 • 晶格(Lattice)：晶体中原子的规则排列 • 晶体结构(Crystal Structure)：晶体中原子的具体排列形式关于常见晶体结构的一些定义： • 配位数：每个原子周围的最近邻原子数 • 堆积密度：原子球的体积与其所占据的有效空间体积之比

（1）简单立方(sc)晶体结构 配位数：6 原子半径：原子数：堆积密度： Simple cubic lattice

（2）体心立方(bcc)晶体结构 配位数：原子半径：原子数：堆积密度：具有此结构的金属原子：碱金属Li、Na、K、Rb、Cs；难熔金属W、Mo、Nb、Ta等。 Body centered cubic lattice

（2）体心立方(bcc)晶体结构 配位数：8 原子半径：原子数：堆积密度：具有此结构的金属原子：碱金属Li、Na、K、Rb、Cs；难熔金属W、Mo、Nb、Ta等。 Body centered cubic lattice

（3）密堆晶体结构 面心(fcc)立方晶体结构（…ABCABC…堆积）密排六方(hcp)晶体结构（…ABABAB…堆积）

面心立方(fcc)晶体结构 配位数：原子半径：原子数：堆积密度：具有此结构的金属原子：Cu、Ag、Au、Al、Ni等 Face centered cubic lattice

面心立方(fcc)晶体结构 配位数：12 原子半径：原子数：堆积密度：具有此结构的金属原子：Cu、Ag、Au、Al、Ni等 Face centered cubic lattice

六角密堆(hcp)晶体结构 配位数：12 原子半径：原子数：堆积密度：具有此类结构的原子：Be、Mg、Zn、Cd、Ti等请列出推导过程 Hexagonal close-packed lattice

（4）金刚石结构 配位数：4 作业：请求出金刚石结构的堆积密度上述几种属于同一种原子组成的晶体，即元素晶体。

（5）NaCl结构 将钠离子和氯离子交替排放在一个简单立方晶格上配位数：6 例：LiF、KCl、LiI （6）氯化铯(CsCl)晶体结构配位数：8 例：TlBr、TlI、Cl

（7）闪锌矿结构 每种离子位于异类离子构成的正四面体中心配位数：4 例： ZnS、CuF、CuCl、AgI、ZnSe （8）钙钛矿（）结构立方体结构中，顶角位置：A，体心位置：B，面心位置：O 例：铁电晶体、，高温超导体的稀土铜氧化物等。上述几种为化合物晶体。

2、简单晶格和复式晶格 (1)、简单晶格（布拉维格子） • 在这一类晶体结构中，所有原子是完全等价的。作为一个原子到另一个任意原子的平移，晶格完全复原。例：sc、bcc和fcc结构形成的晶格。 (2)、复式晶格 • 从一个原子或离子到任意一个不等价的原子或离子作平移，晶格不能复原。 • 一个复式晶格可以看作两个或两个以上布拉维格子套构而成。 • 例：金刚石结构，可看成沿体对角线相互错开1/4长度的两个面心立方布拉维格子套构而成；NaCl晶格由两个面心立方布拉维格子套构而成；CsCl由两个sc套构而成；由五个sc套构而成。

3、基元 • 在理想情况下，晶体是由全同最小原子团在空间无限重复排列而构成，这样的原子团称为基元，而这些点的集合称为晶格。 • 基元可以是一个原子（简单晶格），也可以是一个原子群（复式晶格）。原子群的原子可以相同，也可以不同。二、结点和点阵 • 忽略内部分布，用一个几何点代表一个基元，称为结点。 • 晶格被抽象成这些结点的几何结构，称为点阵。点阵完全反映了晶格的平移对称性。 • 基元按点阵排布得到晶体结构： <点阵>+<基元>=<晶体结构>

=++= 三、基矢和元胞对于一个给定的点阵，总可以选择三个不共面的基本平移矢量（称为点阵的基矢），使任意一个结点（：取正负整数包括零）空间密度函数：那么如果平移应是的周期函数。注意: 对一个给定的点阵，基矢的选择非唯一，但是每种选择必须满足所构成的平行六面体体积相等，其中只包含一个结点。

2、元胞 对于一个点阵，通常定义三种元胞：初基元胞、单胞和维格纳-塞茨(Wigner-Seitz)元胞。（1）初基元胞 • 最小空间体积元，只包含一个结点 • NΩ=1，N为单位体积结点数目，Ω为初基元胞的体积。 • 初基元胞与基矢的选择有关，基矢非唯一，初基元胞也不唯一。 • 对于每一种点阵，通常约定一种公认的基矢和元胞的选择方式。

简单立方点阵 a为立方胞边长，为直角坐标系中的单位矢量初基元胞的体积为 • 体心立方点阵

面心立方点阵 初基元胞的体积为 • 基矢往往不构成正交系 • 初基元胞不能直观反映点阵的宏观对称性，但完全反映点阵的平移对称性

（2）单胞 为了能直观地反映点阵的宏观对称性，往往选择一个非初基的元胞，称为单胞。单胞的三条棱，记为a、b、c，称为晶轴，通常选择c为主要对称轴方向。 • 单胞是一个扩大了的元胞，只能通过点阵平移矢量的一个子集做平移，不能完全反映点阵的平移对称性。 • 单胞可包含多个结点： sc点阵个结点，初基元胞和单胞一致 bcc点阵2个结点，单胞体积为初基元胞体积的两倍，是非初基的 fcc个结点，单胞体积为初基元胞体积的四倍，是非初基的 • 单胞虽然不是初基的，但可以充分反映点阵的宏观对称性，在结晶学中常常采用。

（3）维格纳-塞茨（W-S）元胞 • 既反映点阵平移对称性，又反映点阵宏观对称性的点阵结构单元。 • W-S元胞点阵的结点处于元胞的中心，一个W-S元胞只包含一个结点，它是初基的。 • 适用：固体物理学的理论研究。

1.2晶列和晶面 一、晶列及其晶向标志 • 晶列：点阵的结点可以看成分布在一系列相互平行的直线上，称这些直线为一族晶列。（一族晶列应包含点阵中所有结点。）点阵中应有无穷多族晶列。 • 晶向：每一族晶列定义了一个方向，称为晶向。 • 从一个结点沿某晶列方向到最近邻结点的最短平移矢量为那么就是晶向指数。 • 用表示点阵中一组对称的晶向。 =++

在sc点阵中， 二、晶面及有理指数定律 • 点阵的结点也可以看成分布在一系列平行且等间距的平面上，这些平面称为一族晶面（包括所有结点）。同一点阵有无限多方向不同的晶面族。 • 如何建立一个平面的方位：

晶面上任意一点的位矢为，从原点算起第个晶面到原点的距离为d，晶面方程为设该晶面与三个坐标轴交点的截距为，，取天然长度单位，则有可以得到可见，三个方向余弦和三个截距倒数等价。 • 通常用三个截距的倒数来标志该晶面。

证明：、必为有理数 因为在该族晶面中必有三个或小于三个晶面过的端点所对应的结点，那么对应为，取天然长度单位，则第个晶面的截距为又、均为整数，故整数之比为有理数。 • 晶面有理指数定律：晶体中任一晶面，在基矢天然坐标系中的截距为有理数。它是点阵周期性的必然结果。 • 从原点算起的第一个晶面的截距的倒数去标志这一族晶面，记为，称为该族晶面的晶面指数。

证明：、、必为互质的整数 在中取=1，得到第一晶面满足的方程组：在该晶面上的某结点位矢为，为整数。则有消去方向余弦，得如果不互质，有公因子m，m为大于1的整数，可令=m，=m=m，、为互质整数。代入得因括号中整数求和为非零整数，则上式不成立。所以、、必为互质的整数 =++

一组方位不同的对称晶面用花括号表示为{}. • 以下为简单立方点阵中的主要晶面：

三、晶面指数和密勒指数 • 晶面指数：以基矢为坐标系决定的指数，记为（） • 密勒指数：以单胞的三条棱为坐标系决定的指数，记为（h k l） • 如右图，fcc点阵中同一族晶面（阴影所示）的晶面指数为（0 1 1），而密勒指数为（1 0 0）

第一章 晶体的结构及其对称性