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C. 磁性物理的基础

C. 磁性物理的基础. 磁有序的基本相互作用 2007.5. 磁有序的各种相互作用. 1 、经典偶极子相互作用 2 、交换相互作用 3 、超交换相互作用 4 、 RKKY 相互作用 5 、双交换相互作用 6 、库仑相互作用 7 、电子能带理论. +q. . l 1. . . r. d. P. l 2. . -q. 一、经典偶极子相互作用.

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  1. C.磁性物理的基础 磁有序的基本相互作用 2007.5

  2. 磁有序的各种相互作用 1、经典偶极子相互作用 2、交换相互作用 3、超交换相互作用 4、RKKY相互作用 5、双交换相互作用 6、库仑相互作用 7、电子能带理论

  3. +q  l1   r d P l2  -q 一、经典偶极子相互作用 磁偶极子也可称为磁双极子，一个磁偶极子m=qd, 当d非常小时可以看成是一个点，例如一个原子的磁矩。首先看一个磁偶极子在r 处产生的磁场。设r 为偶极子中距p 点的距离，p 点距+q和-q的距离为l1 , l2 。偶极子轴与r的夹角为,引入标量势 m 简单计算用r 和dcos表示l1和l2,得到 qd=m 用矢量表示

  4. 如果在p点由另一个偶极子m2占据 ,则m1和m2的相互作用势 右图中六种情况下，二个偶极子间的相互作用： ( 1 )m1和m2在一条直线上 ( 2 )m1和m2同向并列平行 ( 3 )m1和m2反平行并列

  5. ( 4 )m1=m2,偶极子轴向与r成角或-角。 ( 5 )m1m2 , 在任意座标系中的方向余弦为i ,i ,ri 则 相互作用能为 用第二种情况，估计原子间的自旋相互作用 尔格/原子 经典的偶极子相互作用表达式

  6. 二、交换相互作用 氢分子交换模型 和海森伯交换模型

  7. a(1)是a原子中的电子1的波函数 a(2)是b原子中的电子2在a原子的波函数 b(2)是b原子中的电子2的波函数 b(1)是a原子中的电子1在b原子的波函数 在一个氢分子体系中，由a，b两个氢原子组成，a和b为两个氢原子的核，如果它们距离R很大，可以近似地认为是两个弧立的无相互作用的原子，体系的能量为2E0 。如果两个氢原子距离有限，使原子间存在一定的相互作用，这时体系的能量就要发生变化。产生相互作用使体系能量降低，则体系稳定。 两个氢原子组成氢分子后，体系要增加核之间的相互作用项e2/R，电子相互作用项e2/r,以及电子和另一个核之间的交叉作用项(-e2/ra2)和(-e2/rb1).氢分子体系的哈密顿量可写成下到形式： 氢分子的电子位置,a,b原子核; 1，2电子 其中前四项是两个弧立氢原子的电子动能和势能，后四项是相互作用能。 令：

  8.  这一体系的波函数无法直接得到，仍用单电子波函数的线性组合 两个孤立原子的电子波函数组合 两个原子交叉电子波函数的组合 由这个线性组合，可得到对称( S )和反对称( A )的波函数 Sab表式重迭积分 自旋函数为   s s (1)表示电子1自旋为+1/2 (2)表示电子2自旋为+1/2 (1)表示电子1自旋为-1/2 s (2)表示电子2自旋为-1/2 s

  9.    A S 和分别表示自旋在z方向的分量，Sz=1/2和Sz=-1/2,也就是向上和向下的自旋状态。由于电子是费密米粒子，含有轨道和自旋的整个体系是反对称的。因此可得到 这里,因为S1+S2=0所以是单重项 ,因为 S1+S2=1 , ms=1, 0, -1 所以是三重项 体系的哈密顿量为 e2/Rab与电子坐标无关，与Sab有关。可求得两种状态的能量固有值

  10. 求解得到 EH是孤立氢原子的能量。两个电子轨道重迭的势能为 由于1/ra1和1/rb2都是a和b弧立原子的，只考虑交换相，则 求解U和J 得到 U是库仑能，J 是交换能，通常U和J 都是正值。

  11. U的物理意义： 与经典的概念相对应，因-e|ψa(1)|2是a原子的电子云密度 a1, -e|ψb(2)|2是b原子的电子云密度b2, 所以积分U的第一项[e2/r12]是这两团电子云相互排斥库仑势能(>0)。 第三项：[e2/rb1]表示原子核b(电荷为e)对a原子电子云的吸引作用的库仑势能，因为rb1是核b到a中电子云的距离。 同样，U的第二项[e2/ra2]表示原子核a对b原子电子云的吸引作用的库仑势能。这些都在零级近似计算中略去，在一级近似中不为零。

  12. J 的物理意义： J 没有经典概念对应，完全是量子力学效应，来源于量子力学全同粒子系的特性，即耒源于电子1和2的交换。 可以把-eab看做一种交换电子云密度ab。这种交换电子云只出现在电子云a和电子云b相重叠的地方，因为只有在相重叠的地方，a和b才都不为零。 积分A的第一项[e2/r]是两团交换电子云的相互排斥作用势能。 第二项[e2/ra2]中的e2此时用ab代之，表示核a对交换电子云的作用能乘上重叠积分S。 第三项[e2/rb1]与第二项一样，表示核b对交换电子云的作用能乘上重叠积分S。

  13. EA和ES两种状态的能量差ex仅与 J 有关。J 是电子之间、电子和原子核之间静电作用的一种形式,ex通常称为交换能，称 J为交换积分，它是由于电子云交叠而引起的附加能量。 对于含有几个未成对电子组成的原子的合成自旋为Si和Sj , 则

  14. ES<EA, ex>0, 则J<0 反平行 EA<ES ,ex<0 则J>0 平行 图中给出单重项和三重项的波函数ψS(1.2) ,ψA(1,2) 以及能量ES和EA作为Rab的函数。讨论计算的结果： 对于氢分子ES<EA,自旋反平行的单重项(S=0)是稳定态,并由极小值给出稳定的原子间距R0和解离能 -D(R0)|。 用EA和ES的差，耒判断具有两个电子的分子是怎样组成的。 当两个原子的波函数相互正交的情况时，即Sab2=0时 (氢分子情况) ex= EA-ES = -2J (判别式) ex=-2J<0，即EA<ES，平行自旋的状态是稳定的。如果在正交的波函数间(例如a和b像s和dxy电子那样)交换积分 J >0，相互结合是铁磁性的。

  15. 讨论铁磁性形成的条件，即J>0 (J=Aij)的条件 ( 1 )两个近邻原子的电子波函数在中间区域有较多的重叠；而且数值较大,e2/rij的贡献大，可得 J 为正值； ( 2 )只有近邻原子间距a大于轨道半径 r 的情况下才有利于滿足条件(1)，角量子数 l比较大的轨道态(如3d和4f )波函数满足这两个条件可能性较大。

  16. 奈耳根据上述两个条件，总结了不同3d和4f以及4f等元素及合金的交换积分J与(a-2r)的关系。从图中给出的J>0和J<0的情况相对应的元素和合金与实际情况是一致的。奈耳根据上述两个条件，总结了不同3d和4f以及4f等元素及合金的交换积分J与(a-2r)的关系。从图中给出的J>0和J<0的情况相对应的元素和合金与实际情况是一致的。 晶格常数 :Fe: 2.8662; Co: a-2.507, c-4.069; Ni: 3.5238 离子半径：Fe2+ 0.75;Fe3+ 0.60; Co2+ 0.72; Ni2+ 0.70 斯图阿特和如弗里曼分别计算了铁的交换积分J 值，发現J 值比相对于保证3d金属出现铁磁性所要求的数值小得多。说明海森伯交换作用模型只能给出定性结果。

  17. 1.82 1.63 1.97 1.52 1.47

  18. (1) a(1) a b (2) b(2) rab a b b a a b 铁磁性的起源----直接交换相互作用 原子间距离太远，表现孤立原子特性 a.b原子核外电子因库仑相互作用相互排斥，在原子中间电子密度减少。 原子间距离适当时，a原子核将吸引b原子的外囲电子，同样b原子核将吸引b原子的外囲电子。原子间电子密度增加。电子间产生交换作用，或者说a、b原子的电子进行交换是等同的，自旋平行时能量最小。铁磁耦合 原子间距离再近，这种交换作用使自旋反平行，a、b原子的电子共用一个电子轨道，抅成反铁磁耦合

  19. 附录 原子轨道： 从量子力学角度，原子核外电子不能给出精确的轨道，而是用轨道函数，即电子的分布，代替精确轨道。原子轨道是该电子坐标的函数( r )，其物理图像是：在r 处无穷小体积元内发现电子的几率为*(r)(r)d。因此知道原子轨道的形式，就可以指出原子中任一点的电子密度。 例如：一个处于氢原子基态的电子，分布在形式为原子轨道(1轨道)上，其中a0是常数，即Bohr半径(5.29x10-11m),意味此轨道是球形(因为函数仅与r有关，与和无关)。

  20. 反对称函数： 若f(-x)等于-f(x)，则函数f(x)是反对称。在一个由N个不可区分的粒子组成的体系(如氢分子)的波函数，对于粒子交换是反对称的，即交换任何一对粒子坐标时，波函数变号，(r1,r2)= -(r2,r1)。对于氢分子a(1)b(2)-a(2)b(1),因为电子交换了坐标，等价于交换粒子，结果波函数改变符号。当两个氢原子靠近时，在重叠区由于波函数符号相反，在重叠区电子密度减少，使体系能量增大。因为如果电子密度加大有利于两原子核靠近。重叠区电子密度减少，使两原子核排斥增大距离。

  21. 如果实际计算出耒等于N。则波函数除以 即归一化，归一化函数为( 1/ 是归一化常数 ): 归一化函数： 根据波函数定义，如果对整个空间积分，即在整个空间的几率必然等于1。 举氢分子为例： 做归一化处理 1 其中 同样可得到 得到

  22. 正交函数： 如果积分 则称这两个函数1和2是正交的；若它们的重叠积分为零，它们就是正交的。例如，两个相距较远的氢原子上的1s轨道是正交的。 对称函数： 若f(-x)=f(x)称为对称函数。对氢分子a(1)b(2)+a(2)b(1)是对称函数。表示在两原子核中间电子密度增大，因为电子可以在a和b原子的轨道上。《这里波函数仅包括轨道函数，不包括自旋函数》。包括自旋函数的波函数，根据泡利原理只能是反对称的。

  23. 三、超交换相互作用 1934年克喇末首先提出超交换模型(间接交换)耒解释反铁磁性自发磁化的起因。例如MnO的反铁磁性,Mn离子中间有O 2-离子，因此离子间的距离大，直接交换作用非常弱。然而，Mn离子之间通过O 2-而有一个超交换作用。其机理是：O 2-离子的电子结构为(1s)2(2s)2(2p)6,其中p-轨道向近邻的Mn离子M1和M2伸展，一个p-可以转移到M1的Mn离子的3d轨道，由于Mn 2+离子已经有五个半满电子，按照洪德法则，氧的p-电子自旋只能与Mn 2+的五个电子自旋反平行。同时p –轨道上剩余的一个电子自旋必然是与转移出去的电子自旋反平行。它与M2之间的交换作用使它与另一个Mn离子M2的自旋反平行，结果M1和M2反平行。 P+ 激发 交换 P- Mn22+ O2- Mn12+ Mn2+有5个3d电子正好半满。 当M1-O-M2是180度，超交换作用最强。随角度变小超交换减弱，当90度夹角时，相互作用倾向变为正值。

  24. 1950年安德森Anderson发展上述理论，对超交换作用进行具体计算，应用到亜铁磁性上。其思路为：O2-外层电子为2p6,p电子的空间分布呈哑铃状，当氧离子与阳离子相近邻时，氧离子的p电子可以激发到d 状态，而与3d过渡族的阳离子的电子按洪德法则而相耦合，此时剩余的未成对的p电子则与另一近邻的阳离子产生交换作用，这种交换作用是以氧离子为媒介的，称为超交换作用或间接交换作用。 根据洪德法则，当阳离子M1的3d电子数小于5 时，处于 激发态的p电子自旋将平行于M1的3d电子自旋。反之，如M1的3d电子数大于或等于5时，则反平行。由于2p成对电子自旋是反平行的，剩下一个p电子将与M2上的d 电子产生负的交换作用。结论：阳离子未满壳层电子数等于或超过半数时，超交换作用有利于,阳离子间磁矩反平行排列。对多数铁氧体，相邻离子间自旋呈反平行排列，即超交换作用为负值。

  25. Jpd是O-的电子自旋S=1/2与Fe2+的S=2两个自旋间的直接交换作用。Jpd是O-的电子自旋S=1/2与Fe2+的S=2两个自旋间的直接交换作用。 M M Fe1+ 交换 Fe2+ 激发 Fe2+ Fe2+ M M 超交换相互作用过程磁性离子价态不变

  26. 1800相互作用的情况 900相互作用的情况

  27. 四、RKKY相互作用 1954年茹德曼Ruderman和基特尔Kitter在解释Ag110核磁共振吸收线增宽时，引入了核自旋与导电电子交换作用，导致核与核之间的交换作用，使共振吸收线增宽。1956和57年糟谷Kasuya和芳田Yosida在此模型基础上研究了Mn-Cu合金核磁共振超精细结构，提出Mn的d电子和导电电子交换作用，使电子极化而导致Mn原子中d电子与近邻d电子的间接交叉模型。

  28. RKKY模型更适合用于稀土金属的情况，其基本特点是，4f电子是局域的，6s电子是游动的，f电子与s电子发生交换作用，使s电子极化，这个极化了的s电子的自旋对f电子自旋取向有影响，结果形成以游动的s电子为媒介，使磁性原子(或离子)中局域的4f电子自旋与其近邻磁性原子的4f电子自旋产生交换作用，这是一种间接交换作用。若以si和sj表示两近邻磁性离子中4f局域电子自旋，交换作用可写为RKKY模型更适合用于稀土金属的情况，其基本特点是，4f电子是局域的，6s电子是游动的，f电子与s电子发生交换作用，使s电子极化，这个极化了的s电子的自旋对f电子自旋取向有影响，结果形成以游动的s电子为媒介，使磁性原子(或离子)中局域的4f电子自旋与其近邻磁性原子的4f电子自旋产生交换作用，这是一种间接交换作用。若以si和sj表示两近邻磁性离子中4f局域电子自旋，交换作用可写为 R12为离子间距离，J(R12)为交换积分

  29. 导电电子与4f电子自旋的交换相互作用引起导电电子的振荡极化，与局域自旋S相距为r处的导电电子的极化( r )可表示为 式中kF是费密面的波矢，或在k-空间费密球的半径。函数F(x)为 (x=2kFr ) 若两个稀土原子或离子间距离为Rmn, J(Rmn)为两个稀土原子中局域电子的交换积分， 其中 Ne为导电电子总数，x=2kfRmn. 函数F(R)是按R-3衰减，以(2kf) -1为振荡周期

  30. 图 重稀土元素中非共线磁结构示意图，同一元素在不同温度具有不同的磁结磁构： （a）铁磁性Gd,Tb,Dy （b）简单螺磁性Tb,Dy,Ho （c）铁磁螺磁性（锥面）Ho,Er (d) 反向锥面（复杂螺磁性）Er （e）正弦形纵向自旋玻璃Er, Tm (a) (b) (c) (d) (e) (f) （f）方波模（反向畴）Tm 稀土铁族合金的铁磁性 s-f 电子交换作用 在稀土金属中，对磁性有贡献的4f电子是局域的，距离原子核只有0.5 - 0.6埃。4f层以外有5p65d16s2等电子壳层对它起了屏蔽作用。因此，不同原子中的4f电子间不可能存在直接交换作用，但其自发磁化可用s-f电子交换作用模型来说明。

  31. N <7 µL µJ 3d µs 5d µJ µL µs 5d 3d 3d-4f 相互作用(过渡元素3d电子与稀土元素4f电子的相互作用) 在稀土过渡族金属间化合物中，4f电子是局域的，而3d电子是巡游的。而实验得出轻稀土(n<7)与过渡金属的化合物中，稀土磁矩与过渡族磁矩是平行耦合;重稀土(n>7)与过渡金属的化合物中，稀土磁矩与过渡金属磁矩是反平行耦合。怎样解释？ 在体系中，4f电子自旋通过RKKY相互作用使近邻的5d电子平行耦合，而5d电子自旋与3d电子自旋之间是反平行耦合。 在n<7时，稀土元素的总磁矩与自旋磁矩是反平行的，结果稀土离子的磁矩与3d电子磁矩平行耦合。 n7时，稀土元素的总磁矩与自旋磁矩是平行的，结果稀土磁矩与3d电子磁矩成反平行耦合。 N 7

  32. 五、双交换相互作用 以氧原子作为中间媒介，两个不同价态的过渡族离子间的交换相互作用。例如LaCaMnO3中Mn离子有二个价态Mn3+和Mn4+。此时与超交换作用不同，氧原子的一个p电子进入Mn4+中，该Mn4+离子变为Mn3+,而氧原子另外一边的Mn3+离子中的一个电子交换到氧原子的p电子轨道，这样Mn3+离子变为Mn4+。由于Mn4+离子中的电子是未半满(n<5),跳入到Mn4+的电子自旋与Mn4+离子的电子自旋平行耦合。而从Mn3+(电子填充也是未半满)离子跳入氧原子p轨道电子自旋与跳到Mn4+离子的电子自旋方向必然是相同的。

  33. 2p  因此Mn3+离子的电子通过氧原子作为中间媒介跳入到Mn4+离子，使Mn3+离子与Mn4+离子间呈铁磁性耦合。称为双交换相互作用。 2p 2p  Mn3+ O2- Mn4+ O2- Mn3+ O- Mn4+→Mn3+ Mn3+ →Mn4+ 双交换相互作用过程磁性离子价态改变

  34. 双交换相互作用的理论处理思路： 具有自旋S1和S2的二个离子间有一个电子s从离子1飞到离子2 。从一个离子的dn为n4或n5的S1中，跳跃出来的电子s(s=1/2)的取向与S1平行的自旋函数为或反平行为 。s 与S1之间在原子内的交换相互作用为JI ,其交换相互作用能为-2JIS1·s ( n4 时,JI>0; n5时,JI<0 ) 对于s的自旋函数分别为和时，结合能分别为 上式|S1|=S。对离子2同样，由S2飞出的电子自旋的自旋函数为’和‘

  35. 当S1和S2方向之间的夹角为时，自旋函数,和‘,’之间的关系为当S1和S2方向之间的夹角为时，自旋函数,和‘,’之间的关系为 通过复杂的计算，可得到在离子1和2之间电子转移积分b，用量子力学方法求得哈密顿函数的固有值。 [ ] 前的符号为负时能量最低，b » JI时，E= -b

  36. 顺磁性 反铁磁性 铁磁性 倾角铁磁性 磁相图 当 JI» b时，通常称为双交换相互作用的表达式为 其中 当S1和S2反平行时，上式分子为1;平行时为2S+1,因此cos(/2)取(2S+1)-1到1的值。

  37. La1-xCaxMnO3饱和磁化强度与组分的关系 A型 FM G型

  38. 六、库仑相互作用 电子间的库仑相互作用 电子间距离 r~1x10-10( m )=1Å (玻尔半径：5.3x10-9cm=0.53Å) 电子电荷=1.6x10-19 40=107/c2=107/(3x108)2=(1/9)x10-9 《两个电子库仑排斥势的数量级~1.0x105cm-1》  Zne 电子与周围离子实之间的库仑相互作用 Rn r-Rn   r -e n周围近邻离子数,Zn是第n个离子实的核电荷数,r电子与所在原子核的距离，Rn电子所在原子与第n近邻原子间距离。

  39. 电子的交换相互作用与库仑相互作用： 假定有两个具有不成对电子的原子相互靠近，如果这两个电子的自旋相互反平行，根据泡利不相容原理，它们将分亨一个共同的轨道,这样就增加了静电库它能。如果这两个电子的自旋平行，因为泡利不相容原理它们不能占据共同轨道，因而它们形成分开的轨道，这样就减少了静电库仑相互作用能。库仑能有多大？可以估计其数量级 这里 r 是两个电子间的平均距离，假定为1Ǻ。这样估计的值比磁偶极子相互作用的值大105倍。 交换相互作用能 为1x103K，比库仑相互作用小102-103倍。 偶极子相互作用能 M1=M2=1.2x10-29单电子自旋矩，r = 1Å.偶极子相互作用

  40. 能级 波函数相对标度 =2/3L 3 9 量子数 n =L 能量，单位为 4 2 =2L 1 1 L x 0 七、电子能带理论 (1)一维情况下的能级: 假定电子被限制在宽度为L的无限深势阱中，其边界条件为n(0)=0,n(L)=0。如果波函数为正弦形式，并且从0到L的宽度是半波长的整数n倍，则边界条件得到满足 ； ； ； ； 假定势阱中有N个电子，电子从最低能级n=1开始填充，由于每个能级可以有正和负两个自旋电子，填充满的能级为nf，则2nf=N。 一维情况下得到费米能的表达式为

  41. (2)三维情况下的能级: 三维情况下自由粒子的薛足谔方程为 如果这些电子被限制在边长为L的立方体内，则波函数为驻波 其中nx、ny、 nz是正整数，原点选在立方体的一个角点。 为了满足周期性边界条件，要求波函数是x、y、z的周期函数，其周期为L。 同时满足自由粒子薛定谔方程和周期性条件的波函数应是具有平面行波形式的函数 注意：驻波的波长是n(n/2)=L 波矢k的分量必须满足 对于ky和kz也存在同样条件。k的任一分量都具有2n/L的形式，n是一个正的或负的整数。

  42. kz kr ky kx 当N个自由电子的系统处于基态时，被占据轨道可以表示为k空间中一个球内的点。这个球面上的能量就是费米能，费米面上的波矢大小用kf表示，于是 k空间中的每一个体积元(2/L)3内存在一个允许波矢。这样在体积为4kf3/3的球内，其轨道总数为 其中左端的因子2相应于每个允许波矢k值将允许两个电子占据。 能量为Ef的费米球面

  43. 常数 推导单位能量间隔内轨道数目D(E)态密度的表达式。 由费米能Ef公式可推得能量E的轨道总数为 因此态密度为 用简捷的方法推导态密度： ； 得到 费米能附近单位能量间隔内的轨道数目恰好等于传导电子总数除以费米能，上下最多相差一个数量级为1的因子。

  44. f(E) T=0 T=T E Ef 温度高于绝对零度的情况 T>0时，电子被激发到费米能级以上的能态。( E> Ef ) 费米-狄拉克分布函数 温度不为零时 g( E )称态密度函数

  45. E E 第二允许能带 k B B Eg 禁带 ( a ) 第一允许能带 A A k /a -/a ( b ) 晶体的能带结构--近自由电子模型 在这种模型中能带电子看作是仅仅受到离子实周期势场的微扰。 当晶体中电子波长接近晶格常数时，将产生布拉格反射。由于布拉格反射，将不存在薛定格方程的类波解，从而在能量与波矢的关系曲线上产生能隙。第一级布拉格反射和第一个能隙出现在k=±/a处。在k空间，-/a与+/a之间的区域就是晶格的第一布里渊区。其余的能隙则出现在整数n取其它值( ±n/a )。 ( a )自由电子的能量E对波矢k的关系曲线；( b )晶格常数为a的单原子线型晶格中能量对波矢关系曲线。 能隙Eg与波矢k =/a的笫一级布拉格反射的相互关系。

  46. 势能U 离子实 a      x ( a ) 能隙产生的机理： 当电子运动的波矢k满足布拉格反射条件k=±/a时，一个向右行进的波受到布拉格反射后将变成向左行进的波(反射波的相角改变1800，使得驻波模式从coskx变为sinkx )。每次相继的布拉格反射使行进方向重新逆转一次。形成即不向左，也不向右的驻波。它由以下两个行波 构成两个不同的驻波 两个驻波和使电子聚集在不同区域内，因此这两个波在晶格离子场中具有不同的势能值。对于(+)波，其电荷密度为 图(a)表示正离子实电场中的静电势能的变化。离子实带有正电荷，电子在正离子场中势能是负的，吸引电子。

  47. 几率密度 行波      x a ( b ) 对于另一个驻波 它倾向于使电子分布偏离离子实。如图(b)所示。( + )的势能低于行波势能，而( - )的势场高于行波势能。如果+ )和( - )的能量相差Eg，那末能隙的宽度为Eg。

  48. U(x) U0 a+b x a -(a+b) 0 -b 能隙有多大 在布里渊区边界K=/a处，其波函数对原子线单位长度归一化之 后便是： 和 如果晶体电子的势能写作 则两个驻波态之间能量差的一级近似为 可以看出，这个能隙等于晶体势的傅里叶分量。 简单周期势场-方型势阱 电子的波动方程为

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