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高等代数课件

高等代数课件. 陇南师范高等专科学校数学系 2008 年制作. 第三章 矩 阵的进一步讨论. 3.1 矩阵的秩 3.2 特征根 3.3 对称矩阵 3.4 矩阵的合同 3.5 二次型 3.6 正定矩阵. §3.1 矩阵的秩 定义 1 在一个 m 行 n 列矩阵 A 中，任取 k 个行， k 个列（ k  m 且 k  n ），位于这些行、列交点处的元素按照原来的位置构成的 k 阶行列式叫做矩阵 A 的一个 k 阶子式 .

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  1. 高等代数课件 陇南师范高等专科学校数学系 2008年制作

  2. 第三章 矩 阵的进一步讨论 • 3.1 矩阵的秩 • 3.2 特征根 • 3.3 对称矩阵 • 3.4 矩阵的合同 • 3.5 二次型 • 3.6 正定矩阵

  3. §3.1 矩阵的秩 定义1 在一个m行n列矩阵A中，任取k个行，k个列（km且kn），位于这些行、列交点处的元素按照原来的位置构成的k阶行列式叫做矩阵A的一个k阶子式. 定义2 一个矩阵中不等于零的子式的最大阶数叫做这个矩阵的秩. 若一个矩阵中没有不等于零的子式，就认为这个矩阵的秩是零. 矩阵A的秩记为秩A. 看一个求矩阵的秩的例子. 设 ， A= 我们知道，矩阵的秩是不为零的子式的最大阶数，所以求A的秩时，应先计算5阶子式. 但经计算知这个5阶子式为零，于是要计算4阶子式. 这里共有25个4阶子式，经计算知，它们都是零. 又知A中有一个3阶子式

  4. 所以，秩A＝3. 定理3.1.1设A经过初等变换化为B. 则A有不等于0的k阶子式当且仅当B有不等于0的k阶子式.推论3.1.2初等变换不改变矩阵的秩. 推论3.1.3设A是m×n矩阵，它的等价标准形是 则秩A＝r. 推论3.1.4若mn矩阵A的秩为r，则存在m阶可逆矩阵S和n阶可逆矩阵T，使得 D＝ D=

  5. 例2 求矩阵A的秩，其中 A＝ 对A进行初等变换： A     . 因此，秩A＝2. 一般地，当把矩阵A用初等变换化为如下形式 即可看出秩A＝r.

  6. 利用矩阵秩的概念也可以给出矩阵可逆的等价条件.利用矩阵秩的概念也可以给出矩阵可逆的等价条件. 定理3.1.5 n阶方阵A是可逆矩阵的充分且必要条件是A的秩等于n. 定理3.1.6 设A是mn矩阵，其秩小于n. 则存在n阶非零矩阵C，使得AC＝0. 由此即可得到如下的推论. 推论3.1.7 设A是mn矩阵，其秩小于n. 则含有n个未知量且由m个方程构成的齐次线性方程组AX＝0有非零解. 推论3.1.8 n阶方阵A的秩小于n的充分必要条件是存在n阶非零矩阵C使得AC＝0. 关于矩阵乘积的秩，我们有如下的结论. 定理3.1.9 两个矩阵乘积的秩不大于每一个因子的秩. 特别地，当有一个因子是可逆矩阵时，乘积的秩等于另一因子的秩. 作 业：教材P154第2、3、4、5、6、7、9题

  7. §3.2 特征根定义1 设A是数域F上的n阶方阵，是一个复数. 如果存在复数域上的n维非零列向量，使得A＝，那么就称为A的特征根，非零向量称为矩阵A的属于特征根的特征向量.定理3.2.1 设A是数域F上的一个n阶方阵，是一个复数. 则是A的特征根当且仅当满足等式det(IA)＝0.定义2 设A＝(Aij)是数域F上的一个n阶方阵. 把n阶行列式 叫做矩阵A的特征多项式. 定理3.2.1表明，一个复数是矩阵A的特征根当且仅当是A特征多项式fA(x)＝det(xIA)的根. fA(x)＝det(xIA)＝

  8. 例1 已知 求A的特征根.先写出A的特征多项式 A＝ 所以A的特征根共有三个,就是4, 2i, 2i. 其中第一个是实特征根,后两个是非实的复特征根. fA(x)＝ ＝x34x2+4x16＝(x4)(x2+4). ，

  9. 矩阵的 相似及其性质 定义3 设A、B都是数域F上的n阶方阵.如果存在数域F上的n阶可逆矩阵P使得 B＝P1AP， 则称矩阵A和B相似，记为A~B. 矩阵的相似关系满足以下三条性质： 1．自反性：每一个n阶矩阵A都和它自己相似，即A~A； 这是因为A＝I－1AI. 2．对称性：如果A~B，那么B~A； 这是因为,由B＝P1AP可得A＝PBP1＝(P1) 1BP1. 3．传递性：如果A~B，B~C，那么A~C. 事实上，由B＝P1AP，C＝Q1BQ可得 C＝Q1BQ＝Q1P1APQ＝(PQ) 1A(PQ). 关于相似矩阵的特征多项式有以下的结论. 定理3.2.2 相似矩阵有相同的特征多项式. 推论3.2.3 相似矩阵有相同的特征根. 推论3.2.4 相似矩阵的行列式相同，迹也相同. 定理3.2.5 相似矩阵有相同的秩.

  10. §3.3 对称矩阵设A是mn矩阵： A＝ 构造如下的nm矩阵： AT＝ ， 我们把AT叫做A的转置矩阵，有时把A的转置矩阵也记为AT. 下面是转置矩阵的基本性质. 定理3.3.1 设A，B是数域F上的mn矩阵，C是数域F上的np矩阵，A是F中的数，则以下等式成立： (1) (AT)T＝A； (2) (A+B)T＝AT+BT；

  11. (3) (aA)T＝aAT；(4) (AC)T＝CTAT；(5) 如果A是n阶可逆矩阵，则AT也是可逆矩阵，且(AT)1＝(A1)T. 关于矩阵的秩,我们有： 定理3.3.2 数域F上的任意矩阵A和它的转置矩阵AT有相同的秩. 关于特征多项式及特征根有： 定理3.3.3 数域F上的n阶方阵A与它的转置矩阵AT有相同的特征多项式，因而有相同的特征根. 定义1 如果矩阵A和它的转置矩阵AT相等，那么就称A为对称矩阵. A为对称矩阵的充要条件是 Aij＝Aji , 1in, 1jn.

  12. 对称矩阵是一类比较特殊的矩阵，因此它有许多重要的特性. 定理3.3.4 实对称矩阵的特征根都是实数. 定理3.3.5 设A＝(Aij)是数域F上的一个n阶对称矩阵，则存在数域F上的n阶可逆矩阵P，使得 PTAP＝

  13. §3.4 矩阵的合同 定义1 设A, B都是数域F上的n阶矩阵，如果存在数域F上的一个n阶可逆矩阵P，使得PTAP＝B，那么就说, 在数域F上B与A合同.例如, 令 则B与A合同. 这是因为若取 A＝ B＝ ， . P＝ 则有B＝PTAP. 矩阵的合同关系具有下列性质： 1．自反性：每一个n阶矩阵A都和它自己合同； 2．对称性：如果B与A合同，那么A也与B合同； 3．传递性：如果B与A合同，而C又与B合同，那么C与A合同.

  14. 显然，合同的矩阵有相同的秩.如果A是一个对称矩阵，而B与A合同，即B＝PTAP，那么BT＝(PTAP) T＝PTAT(PT)T＝PTAP＝B，所以B也是对称矩阵. 由定理3.3.5即得 定理3.4.1 设A是数域F上的n阶对称矩阵，则在F上A与一个对角形矩阵合同. 对于n阶对称矩阵A，如何求出一个可逆矩阵P，使得PTAP为对角形矩阵，这是一个很重要的问题. 由定理3.3.5知，存在一些n阶初等矩阵P1，P2，…Ps，使 PTs…PT2PT1A P2P1…Ps＝ ＝.(1) 令 A P2P1…Ps＝P. (2) 由(1)，(2)知，即在对A施行一对列初等变换和行初等变换的同时，仅对n阶单位矩阵I施行同样的列初等变换，那么当A化为对角形矩阵时，I就化为P，并且PTAP＝.

  15. 3.5 二次型 一、二次型及其矩阵表示 二、二次型的化简 三、复数域与实数域上的二次型

  16. 一、二次型及其矩阵表示 F上n个文字x1, x2,…, xn的二次齐次多项式 q(x1, x2, …, xn) 叫做F上n个文字的二次型, 或n元二次型. 这个多项式可以写为: 其中, aij=aji, A是一个对称矩阵. 称A是二次型的矩阵. 二次型的矩阵的秩也叫做二次型的秩. 　　从上一页中可以看出向量空间上的二次函数与二次型的关系.

  17. 二、二次型的化简 定理 3.5.1设 于数域F上的一个n元二次型. 总可以通过变量替换 把它化为二次型: 其中P是一个对角矩阵. 　　具体方法是: 写出二次型的矩阵A, 求使P'AP是一个对角矩阵的矩阵阵P, 则P就是定理中要求的P, P'AP的对角线元素就是定理中的c1, c2, …, cn.

  18. 三、复数域与实数域上的二次型 定理 3.5.2复数域上两个n阶对称矩阵合同的充要条件是它们有相同的秩. 两个复二次型等价的充要条件是它们有相同的秩. 定理 3.5.3实数域上每一个n阶对称矩阵A都合同于一个形如 的矩阵, 其中r是矩阵A的秩. 定理 3.5.4实数域上每一个n元二次型都与一个形如 的二次型等价, 其中r是所给二次型的秩.

  19. 　　定理9.2.3中给出的二次型的叫做实二次型的典范形式.　　定理9.2.3中给出的二次型的叫做实二次型的典范形式. 定理 3.5.5(惯性定律)设实数域上一个n元二次型等价于两个典范形式: 那么 p=p'. 　　在一个实二次型的典范形式中正平方项的个数叫做这个二次型的惯性指标, 正项个数与负项个的差叫做该二次型的符号差. 定理 3.5.6实数域上两个n元二次型等价的充要条件是它们有相同的秩和符号差. 定理 3.5.7实数域上一切n元二次型可以分成 类. 同一类中的二次型彼此等价, 不同类中二次型互不等价.

  20. 3.6 正定矩阵 　　实数域上的n元二次型q(x1, x2, …, xn)可以看成是实数域上的n元实函数．　如果对于变量x1, x2, …, xn的每一组不全为零的取值函数值q(x1, x2, …, xn)都是正数, 则称q(x1, x2, …, xn)为一个正定二次型. 定理 3.6.1实数域上二次型q(x1, x2, …, xn)是一个正定二次型的充要条件是它的秩和符号差都等于n. 　　设A是一个n阶实对称矩阵. 位于A的前k行和前k列的子式叫做A的k阶主子式. 一个二次型的k阶主子式是指它的矩阵的的k阶主子式. 定理 3.6.2实数域上二次型 是正定的当且仅当它的一切主子式都大于零.

  21. 定理 3.6.3设 是实数域上的一个二次型. 那么总可以经过坐标的正交变换 化为　　　　　　　　　　, 其中U是一个正交矩阵, 而1, 2,…, n就是二次型的矩阵A=(aij)的全部特征根.

  22. 推论 3.6.4设 是实数域上的一个二次型, A=(aij)是它的矩阵. 那么 (i) 二次型q(x1, x2, …, xn)的秩等于矩阵A的不等于零的特征根的个数, 而符号差等于A的正特征根的个数与负特征根的个数的差. (ii) 二次型 q(x1, x2, …, xn) 是正定的当且仅当 A 的特征根都是正数.

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