1 / 49

a -8 ≤ x < 3 [ -8 , 3 › b 4 < x ≤ 4½ ‹ 4 , 4½ ] c 5,1 ≤ x ≤ 7,3

≤  [  ● <  ‹  ○. Intervallen. ●. ○. a -8 ≤ x < 3 [ -8 , 3 › b 4 < x ≤ 4½ ‹ 4 , 4½ ] c 5,1 ≤ x ≤ 7,3 [ 5,1 ; 7,3 ] d 3 < x ≤ π ‹ 3 , π ]. l. l. -8. 3. ○. ●. l. l. 4. 4 ½. ●. ●. l. l. 5,1. 7,3. ●. ○. l. l.

donoma
Download Presentation

a -8 ≤ x < 3 [ -8 , 3 › b 4 < x ≤ 4½ ‹ 4 , 4½ ] c 5,1 ≤ x ≤ 7,3

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. ≤  [  ● <  ‹  ○ Intervallen ● ○ a -8 ≤ x < 3 [ -8 , 3 › b 4 < x ≤ 4½ ‹ 4 , 4½ ] c 5,1 ≤ x ≤ 7,3 [ 5,1 ; 7,3 ] d 3 < x ≤ π ‹ 3 , π ] l l -8 3 ○ ● l l 4 4½ ● ● l l 5,1 7,3 ● ○ l l 3 π 7.1

  2. Oneindige intervallen a x ≤ 4½ ● l ‹  , 4½ ] 4½ b x > -8 ○ ‹ -8 , › l -8 7.1

  3. Stijgen en dalen constante stijging toenemende stijging afnemende stijging constante daling toenemende daling afnemende daling 7.1

  4. voorbeeld toenemend stijgend op < -4 , -2 > toenemend dalend op < 1 , 3 > afnemend dalend op < -6 , -4 > -6 -4 -2 5 toenemend stijgend op < 5 ,  > 1 3 afnemend dalend op < 3 , 5 > afnemend stijgend op < -2 , 1 >

  5. Toenamendiagram • De toenamen en afnamen van een grafiek kun je verwerken in een • toenamendiagram : • 1 kies een stapgrootte • 2 bereken voor elke stap de toename of afname • 3 teken de staafjes omhoog bij toename en omlaag bij afname • 4 teken het staafje bij de rechtergrens • 5 bv. toename van 3  4 teken je het staafje bij 4 7.1

  6. ∆x = 1 • [-1,0] • [0,1] • [1,2] • [2,3] • [3,4] • 4 • 2 • 0,5 • -0,5 • 2 • ∆y . voorbeeld . . ∆y 4 3 • 2 • 1 x -1 0 1 2 3 4 Je tekent de toenamen als verticale lijnstukjes bij de rechtergrens van het interval. -1

  7. opgave 11 constante daling afnemende stijging toenemende stijging toenemende daling

  8. . . . y . . voorbeeld . . . x 0

  9. opgave 12 ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● y y y y x x x x O O O O

  10. . . ∆y 3 voorbeeld 2 y = -x² + 2x + 4 . • x • y • ∆y 1 • -1 • 1 x 0 1 2 3 4 5 . • 0 • 4 • 3 -1 • 1 • 5 • 1 • 2 • 4 • -1 -2 . • 3 • 1 • -3 -3 • 4 • -4 • -5 • 5 • -11 • -7 -4 -5 -7

  11. opgave 18 a er zijn 4 hoogste punten t = 1 , t = 5 , t = 9 en t = 12 b 1 mei 2005  t = 4 1 okt 2005  t = 9 vanaf 1 mei 2005 geldt ∆N × 1000 is 5 – 10 – 15 – 20 + 5 = -35 op 1 okt minder dan op 1 mei  35000 c 1 aug 2005  t = 7 1 febr 2006  t = 13 vanaf 1 aug 2005 geldt ∆N × 1000 is -20 + 5 – 10 + 5 + 40 – 30 = -10 op 1 febr minder dan op 1 aug  10000

  12. opgave 18 d 1 jan 2005  t = 0 1 aug 2005  t = 7 vanaf 1 jan 2005 geldt ∆N × 1000 is 20 -5 – 15 – 10 + 5 – 10 – 15 = -30 op 1 jan 2005 waren er 475000 + 30000 = 505000 werkelozen e 1 aug 2005  t = 7 1 dec 2005  t = 11 vanaf 1 aug 2005 geldt ∆N × 1000 is - 20 + 5 – 10 + 5 = -20 op 1 dec 2005 waren er 20000 minder 20000/475000 × 100% ≈ 4,2% minder

  13. Gemiddelde veranderingen N • rechts • ∆t · • omhoog • ∆N N2 – N1 = ∆N N2 dusgemiddelde verandering per tijdseenheid = ∆N : ∆t ∆N · N1 ∆t 0 t1 t2 t t2 – t1 = ∆t 7.2

  14. . Het differentiequotiënt van y op het interval [xA,xB] is y . B f(b) yB ∆y ∆y A f(a) yA ∆x 0 x a xA ∆x b xB differentiequotiënt = ∆y : ∆x = gemiddelde verandering van y op [xA,xB] = r.c. = hellingsgetal van de lijn AB ∆y yB – yA f(b) – f(a) ∆x xB – xA b - a = = 7.2

  15. opgave 22 • a differentiequotiënt op [3,5] • ∆N = 7000 – 2500 = 4500 • ∆t = 5 – 3 = 2 • ∆N : ∆t = 4500 : 2 = 2250 • b gemiddelde verandering op [2,6] • ∆N = 8500 – 1000 = 7500 • ∆t = 6 – 2 = 4 • ∆N : ∆t = 7500 : 4 = 1875 • c op [3,4] is ∆N : ∆t het grootst de grafiek is daar het steilst dat is op de 4e dag 8500 7000 2500 1000 2 5 6 3

  16. In een tijd-afstandgrafiek is de afgelegde s uitgezet tegen de tijd t • Bij een tijd-afstandgrafiek geeft het differentiequotiënt op [a,b] de • gemiddelde snelheid op [a,b] • de gemiddelde snelheid is Gemiddelde snelheid ∆s ∆t 7.2

  17. ∆K K(b) – K(a) ∆P P(b) – P(a) = voorbeeld a gemiddelde snelheid op [-6,-4] is ∆K = 4 – 12 = -8 ∆P = -4 - -6 = 2 ∆K : ∆P = -8 : 2 = -4 gemiddelde snelheid op [-2,2] is ∆K = 6 – 6 = 0 ∆P = 2 - -2 = 4 ∆K : ∆P = 0 : 4 = 0 b differentiequotiënt op [-5,0] is ∆K = 0 – 4 = -4 ∆P = 0 - -5 = 5 ∆K : ∆P = -4/5 differentiequotiënt op [-5,2] is ∆K = 6 – 4 = 2 ∆P = 2 - -5 = 7 ∆K : ∆P = 2/7 12 6 6 6 4 4 0 -6 -5 -5 -4 -2 0 2 2

  18. opgave 27 a de gemiddelde snelheid op [2,4] ∆W = 50 – 20 = 30 ∆q = 4 – 2 = 2 ∆W : ∆q = 30 : 2 = 15 15 euro per stuk b de gemiddelde snelheid op [4,6] ∆W = 20 – 50 = -30 ∆q = 6 – 4 = 2 ∆W : ∆q = -30 : 2 = -15 -15 euro per stuk c teken de lijn door het punt (2,20) met een helling van 10 deze lijn snijdt de grafiek ook in het punt (5,50) dus 5 x 1000 = 5000 a = 5000 ∙ 50 50 20 20 4 5 6 2 4

  19. opgave 30 y a voer in y1 = x³ - 3x + 5 b gemiddelde toename op [1,3] ∆y = f(3) – f(1) ∆y = 23 – 3 = 20 ∆x = 3 – 1 = 2 ∆y : ∆x = 20 : 2 = 10 c differentieqoutiënt op [-2,4] ∆y = f(4) – f(-2) ∆y = 57 – 3 = 54 ∆x = 4 - -2 = 6 ∆y : ∆x = 54 : 6 = 9 d hellingsgetal op [-3,1] ∆y = f(1) – f(-3) ∆y = 3 - -13 = 16 ∆x = 1 - -3 = 4 r.c. = ∆y : ∆x = 16 : 4 = 4 f 5 x 0

  20. Snelheid bij een tijd-afstand grafiek • bij een tijd-afstand grafiek waarvan de formule bekend is, • benader je de snelheid op het moment t = a door het • differentiequotiënt te berekenen op een klein interval • [a , a + ∆t] met bijvoorbeeld ∆t = 0,001 7.3

  21. . . Hoe dichter Bn bij A komt te liggen ,hoe meer de lijn ABn op de lijn lijkt die de grafiek raakt. . . . Snelheid, raaklijn en helling s tijd-afstand grafiek v.b. : s = -t² + 10t Bereken de gemiddelde snelheid op [2,5],[2,4], [2,3] en [2,2½]. ∆s 25 – 16 ∆t 5 – 2 ∆s 24 – 16 ∆t 4 – 2 ∆s 21 – 16 ∆t 3 – 2 ∆s 18,75 – 16 ∆t 2,5 – 2 De lijn AB4 komt het dichtst bij de lijn die grafiek A raakt. 25 B2 B1 B3 20 B4 A = 3 m/s = 15 = 4 m/s = Bij een tijd-afstand grafiek is de snelheid op t = a gelijk aan de rc van de raaklijn van de grafiek in het bijbehorende punt. 10 k = 5 m/s = De lijn k is de raaklijn van de grafiek in A. 5 = 5,5 m/s = t 0 1 2 3 4 5 7.3

  22. dydx voor x is xA voor de rc. van de raaklijn in het punt A is er de notatie : [ ] y k dy dx de GR bezit een optie om dydx te berekenen x=xA A • rc. van de raaklijn van de grafiek in A • helling van de grafiek in A • snelheid waarmee y verandert voor x = xA x O xA 7.3

  23. 7.3

  24. opgave 40 • a voer in y1 = 37 + 45x/(x2+70) • 1 mei om 17.30 uur  t = 5,5 • de optie dy/dx geeft • de snelheid is 0,18°C per uur • b 2 mei om 8.00 uur  t = 20 • de optie dy/dx geeft • de snelheid is 0,07°C per uur c optie maximum x ≈ 8,37 en y ≈ 39,7 de maximale temperatuur is 39,7°C t = 8,37  1 mei om 20.22 uur dus de griep is op zijn hoogtepunt op 1 mei om 20.22 uur d voer in y2 = 39 optie intersect x ≈ 3,73 en y ≈ 18,77 18,77 – 3,73 = 15,04 dus de lichaamstemperatuur is iets meer dan15 uurboven 19°C. dy dx ≈ 0,18 x=5,5 dy dx ≈ -0,07 x=20

  25. Het opstellen van de formule van een raaklijn voer in y1 = x² + x – 2 stel k : y = ax + b met a = = -1 dus k : y = -x + b f(-1) = -2 dus A(-1, -2) -2 = - -1 + b -2 = 1 + b -3 = b k : y = -x - 3 [ ] dy dx x = -1

  26. opgave 44 a voer in y1 = -x2 – 2x + 8 = 2 dus de r.c. = 2 b B(0, 8)  xB = 0 = -2 l : y = -2x + b B(0, 8) l : y = -2x + 8 · B [ ] dy dx x=-2 [ ] dy dx x=0 8 = -2 · 0 + b b = 8

  27. · R ∆x = 6 opgave 44 c ∆x = 6 ∆y = -12 r.c. = ∆y : ∆x r.c. = -12 : 6 r.c. = -2 ∆y = -12 · T

  28. top v.d. grafiek  helling is 0 hellinggrafiek snijdt de x-as y Hellinggrafieken schetsen top Bij een gegeven functie kun je aan elke x de helling van de grafiek in het bijbehorende punt toevoegen. stijgend dalend stijgend x top O stijgend deel v.d. grafiek positieve hellingen  hellinggrafiek boven de x-as helling dalend deel v.d. grafiek negatieve hellingen  hellinggrafiek onder de x-as pos. pos. overgang van toenemende daling naar afnemende daling is de helling maximaal laagste punt x 0 O 0 laagste punt

  29. opgave 50 a x < -3 hellinggrafiek onder de x-as de grafiek is dalend op ‹  , -3 › b f heeft een top bij x = -3 omdat de hellinggrafiek daar de x-as snijdt dat is het laagste punt c f is stijgend op ‹ -3 , 0 › d hoogste punt e schets top y top x O top top

  30. Hellinggrafiek plotten • m.b.v. GR • TI MATH – MATH - menu • optie nDeriv • Casio  OPTN – CALC – menu • optie d/dx • vb. voer in y1 = 0,1x4 – x2 + x + 8 • en y2 = nDeriv(y1,x,x) (op de TI) • of y2 = d/dx(y1,x) (op de Casio)

  31. y O x voorbeeld a voer in y1 = (5x² - 38)/(x² + 4) en y2 = nDeriv(y1,x,x) (op de TI) of y2 = d/dx(y1,x) (op de Casio) kies Xmin = -5 , Xmax = 5 , Ymin = -10 , Ymax = 5 b voer in y3 = 3 optie intersect met y2 en y3 geeft x ≈ 0,458 en x ≈ 2,354 aflezen  helling > 3 voor 0,458 < x < 2,354 helling 3 O x 2,354 0,458

  32. De afgeleide functie • bij een functie hoort een hellingfunctie • i.p.v. hellingfunctie wordt meestal de naam afgeleide functie • of afgeleide gebruikt • notatie : f’ (f-accent) • regels voor de afgeleide : • f(x) = a geeft f’(x) = 0 • f(x) = ax geeft f’(x) = a • f(x) = ax² geeft f’(x) = 2ax 7.4

  33. opgave 58a opgave 58a eerst haakjes wegwerken • f(x) = (5x + 7)(4 - 3x) • f(x) = 20x - 15x² + 28 – 21x • f(x) = -15x² - x + 28 • f’(x) = 2 · -15x - 1 • f’(x) = -30x - 1 dezelfde termen optellen somregel van het differentiëren

  34. opgave 58d • k(x) = -3(x – 1)(5 – 9x) – 8(x – 7) • k(x) = -3(5x – 9x² - 5 + 9x) – 8x + 56 • k(x) = -15x + 27x² + 15 – 27x – 8x + 56 • k(x) = 27x² - 50x + 71 • k’(x) = 2 · 27x – 50 • k’(x) = 54x - 50

  35. de afgeleide van f(x) = axn • f(x) = ax3 • f’(x) = 3ax² • g(x) = ax4 • g’(x) = 4ax3 • h(x) = ax5 • h’(x) = 5ax4 • algemeen geldt : • k(x) = axn • k’(x) = n · axn-1 • somregel van het differentiëren • f(x) = g(x) + h(x) • f’(x) = g’(x) + h’(x) oude exponent ervoor zetten nieuwe exponent 1 minder (4 - 1 = 3) 7.4

  36. opgave 61a • f(x) = (3x – 1)(x2 + 5x) • f(x) = 3x3 + 15x2 - x2 – 5x • f(x) = 3x3 + 14x2 – 5x • f’(x) = 3 · 3x2 + 2 · 14x – 5 • f’(x) = 9x2 + 28x - 5

  37. Vergelijking van raaklijn met behulp van de afgeleide Je weet dat de afgeleide f’ aan elke x de helling in het bijbehorende punt van de grafiek van f toevoegt. of f’(x) is de rc van de raaklijn in het bijbehorende punt. algemeen: f’(a) is de rc van de raaklijn van de grafiek van f in het punt A(a,f(a)). y f k A x O xA yA = f(xA) rck = f’(xA) 7.4

  38. opgave 63 a f(x) = 0,5x3 – 2x2 + 2 f’(x) = 3 · 0,5x2 – 2 · 2x f’(x) = 1,5x2 – 4x stel k : y = ax + b xA = 4 a = f’(4) = 1,5 · 42 – 4 · 4 = 8 dit geeft k : y = 8x + b y = f(4) = 0,5 · 43 – 2 · 42 + 2 = 2 dus k : y = 8x - 30 2 = 8 · 4 + b 2 = 32 + b b = -30

  39. opgave 63 bstel m : y = ax + b xB = -2 a = f’(-2) = 1,5 · (-2)2 – 4 · -2 = 14 dit geeft m : y = 14x + b y = f(-2) = 0,5 · (-2)3 – 2 · (-2)2 + 2 = -10 dus m : y = 14x + 18 -10 = 14 · -2 + b -10 = -28 + b b = 18

  40. opgave 65 a f(x) = (x2 – 4)(x + 1) f(x) = x3 + x2 – 4x - 4 f’(x) = 3x2 + 2x - 4 bstel k : y = ax + b xA = -3 a = f’(-3) = 3 · (-3)2 + 2 . -3 - 4 = 17 dit geeft k : y = 17x + b y = f(-3) = (-3)3 + (-3)2 - 4 · -3 – 4 = -10 dus k : y = 17x + 41 -10 = 17 · -3 + b -10 = -51 + b b = 41

  41. opgave 65 cstel l : y = ax + b de grafiek f snijdt de y-as in punt B  xB = 0 a = f’(0) = 3 · 02 + 2 · 0 - 4 = -4 dit geeft l : y = -4x + b yB = f(0) = 03 + 02 – 4 · 0 – 4 = -4 B(0, -4) dus l : y = -4x - 4

  42. opgave 65 d de grafiek f snijdt de x-as  y = 0 f(x) = 0  (x2 – 4)(x + 1) = 0 x2 – 4 = 0 v x + 1 = 0 x2 = 4 v x = -1 x = 2 v x = -2 v x = -1 dus xC = 2 stel m : y = ax + b a = f’(2) = 3 · 22 + 2 · 2 – 4 = 12 dit geeft m : y = 12x + b en C(2, 0) dus m : y = 12x - 24 0 = 12 · 2 + b 0 = 24 + b b = -24

  43. notaties voor de afgeleide van y = f(x) zijn : • f’(x) • (f(x)) Notaties voor de afgeleide dy dx d dx df(x) dx 7.5

  44. opgave 69 • = 18x • = 0 – 15p2 = -15p2 • = 0 – 6t = -6t • = 3a2 – 0 = 3a2 • = = 3x2 + 7 – 6x = 3x2 – 6x + 7 • = = 2x - 10 d(9x2 – 5p3) dx d(9x2 – 5p3) dp d(a3 – 3t2) dt d(a3 – 3t2) da d(x - 3)(x2 + 7) dx d(x3 + 7x – 3x2 - 21) dx d(x – 5)2 dx d(x2 – 10x+ 25) dx

  45. Het algebraïsch berekenen van maxima en minima y f’(x) = 0 top f’(x) < 0 f’(x) < 0 stijgend dalend dalend x O f’(x) > 0 top werkschema : het algebraïsch berekenen van maxima en minima 1 bereken de afgeleide 2 los algebraïsch op = 0 3 schets de grafiek kijk in de schets of je met een max. of een min. te maken hebt 4 bereken de extreme waarde door de gevonden x-waarde in de formule van y in te vullen dy dx dy dx

  46. opgave 74 N = 2t2 – 80t + 1400 a = 4t – 80 10 juli om 12.00 uur  t = 9,5 = 4 . 9,5 – 80 = -42 -42 < 0 N daalt  dus de populatie neemt af b = 0 4t – 80 = 0 4t = 80 t = 20 zie schets  N is minimaal voor t = 20 Nmin = 2 . 202 – 80 . 20 + 1400 = 600 insecten t = 20  21 juli om 0.00 uur N dN dt 1400 dN dt t = 9,5 dN dt 0 t 20

  47. opgave 74 c 30 juli loopt van t = 29 tot t = 30 t = 29  N = 762 t = 30  N = 800 toename is 800 – 762 = 38 insecten × 100% ≈ 5,0% 38 762

  48. opgave 77 L = -0,000069t3 + 0,009t2 – 0,22t + 26,1 a L’(t) = 3 . -0,000069t2 + 2 . 0,009t – 0,22 L’(t) = -0,000207t2 + 0,018t – 0,22 L’(25) = -0,000207(25)2 + 0,018 . 25 – 0,22 ≈ 0,10 de snelheid waarmee de gemiddelde leeftijd waarop vrouwen hun eerste kind krijgen nam in 1975 toe met 0,10 jaar per jaar b 1960  t = 10 L’(10) = -0,000207(10)2 + 0,018 . 10 – 0,22 = -0,0607 -0,0607 < 0  de grafiek daalt voor t = 10  de gemiddelde leeftijd L neemt af

  49. opgave 77 c L’(t) = 0 -0,000207t2 + 0,018t – 0,22 = 0 voer in y1 = -0,000207x2 + 0,018x – 0,22 neem Xmin = 0 en Xmax = 70 optie zero of ROOT x ≈ 14,7 voer in y1 = -0,000069x3 + 0,009x2 – 0,22x + 26,1 minimum bij t = 14,7 dus in het jaar1965 is L minimaal d voer in y2 = 30 optie intersect x ≈ 56,8 dus in het jaar 2007 L 0 t 14,7

More Related