Jednadžbe i nejednadžbe s apsolutnim vrijednostima

1. Jednadžbe i nejednadžbe s apsolutnim vrijednostima Mirna Brekalo 18.05.2010.

2. Nastavna cjelina: Uređaj na skupu realnih brojeva Nastavna tema: Jednadžbe i nejednadžbe s apsolutnim vrijednostima • Tema se obrađuje u 1. razredu srednje škole • Za ovu nastavnu temu je predviđeno 3 do 4 školska sata • Potrebno predznanje je poznavanje prethodnog gradiva (linearne nejednadžbe, apsolutna vrijednost realnog broja...)

3. CILJEVI: naučiti rješavati složenije jednadžbe i nejednadžbe s apsolutnim vrijednostima ZADACI: • Odgojni: - razvijanje savijesnosti i samostalnosti u radu - poticanje urednosti i preglednosti u vlastitom radu - povezivanje gradiva

4. Obrazovni: - naučiti rješavati složenije jednadžbe i nejednadžbe s apsolutnim vrijednostima • Funkcionalni: - razvijati sposobnost vještog transformiranja izraza s apsolutnim vrijednostima u izraz bez aps. vrijednosti - razvijati sposobnost pronalaženja uspješnih načina rješavanja zadataka

5. Jednadžbe s apsolutnim vrijednostima • Najjednostavniji oblik jednadžbi s apsolutnim vrijednostima: |f(x)|=c, gdje je f afina funkcija, a c realan broj - Kad je c>0 rješavamo dvije jednadžbe: f(x)=c i f(x)=-c - Za c=0 rješavamo jednadžbu f(x)=0 - Dok za c<0 jednadžba nema rješenja

6. Pr. Riješimo jednadžbu |x-2|=3. |x-2|=3 x-2=-3 x-2=3 x=2-3 ili x=2+3 x=-1 x=5 Jednadžba ima dva rješenja x=-1, x=5.

7. Nešto složenije jednadžbe s aps. vrijednostima su jednadžbe oblika: |f(x)|=g(x),gdje su f i g funkcije • Rješavamo ih tako da promatramo dva slučaja: f(x)≥0 i f(x)<0, tj. rješavamo odgovarajuće jednadžbe f(x)=g(x) ako je f(x)≥0, te -f(x)=g(x) ako je f(x)<0 - Na kraju treba provjeriti pripadaju li dobivena rješenja intervalu iz početnih uvjeta

8. Najsloženije jednadžbe su one u kojima se javljaju dva izraza pod znakom apsolutne vrijednosti, a rješavanje se svodi na rješavanje tri linearne jednadžbe

9. Pr. ||x-1|-2|=1 • |x-1|-2=1 2) |x-1|-2=-1 |x-1|=3 |x-1|=1 • x≥1 b) x<1 c) x≥1 d) x<1 x-1=3 x-1=-3 x-1=1 x-1=-1 x=4 x=-2 x=2 x=0

10. Pr. Geometrijski interpretirajmo rješenja jednadžbe |x-2|=3. • Kako je |x-2| udaljenost brojeva na brojevnom pravcu, zaključujemo da se jednadžba |x-2|=3 može izreći i kao: odredimo sve realne brojeve x kojima je udaljenost od 2 jednaka 3 __.__.__.__.__.__.__.__.__.__.__.__ -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 Polazeći od broja 2 za 3 udesno, dolazimo do broja 5, a polazeći za 3 ulijevo, do broja -1. Zato su x=-1, x=5 rješenja jednadžbe.

12. Nejednadžbe s apsolutnim vrijednostima • Najjednostavniji tip nejednadžbe s aps. vrijednosti je |f(x)|<c, |f(x)|>c • Nejednadžba je zadana na način da se nepoznata veličina x nalazi pod znakom apsolutne vrijednosti: |x|-2>0 • Iz nejednadžbe slijedi da je: |x|>2

13. gdje je rješenje nejednadžbe takav skup vrijednosti x koji udovoljava nejednadžbi, te su rješenja nejednadžbe intervali: <2,+∞>U<-∞,-2> • Nejednadžba |x|≥a -ima rješenje x≤-a ili x≥a ako je a>0 -ima rješenje za svaki realan broj x ako je a=0 - ima rješenje za svaki realan broj x ako je a<0

14. Nejednadžba |x|≤a -ima rješenje –a≤x≤a ako je a>0 -ima rješenje x=0 ako je a=0 -nema rješenje ako je a<0 • Pr. |x-2|≤3 -3 ≤ x-2 ≤ 3 => x-2 ≥ -3 x-2 ≤ 3 x ≥ -1 x ≤ 5 Skup rješenja: [-1,5] -------[----|----------------]----- -1 0 5

15. Nejednadžbe oblika |f(x)/g(x)|<c (>c) • Možemo ih rješavati na dva načina: • Promatramo predznak funkcije f/g pod aps. vrijednosti, a zatim rješavamo odgovarajuću nejednadžbu tj. rješavamo 2 nejednadžbe: f(x)/g(x)<c uz uvjet f(x)/g(x)≥0 -f(x)/g(x)<c uz uvjet f(x)/g(x)<0

16. 2) Jednostavniji način se zasniva na primjeni svojstva apsolutne vrijednosti, za sve realne brojeve a,b b≠0 vrijedi |a/b|=|a|/|b| i svojstva uređaja pri množenju nejednadžbe s pozitivnim br. Dakle |f(x)/g(x)|<c => |f(x)|/|g(x)| => |f(x)|<c|g(x)| , g(x)≠0 • Nakon obrade ove nastavne jedinice predviđena su 2 sata za uvježbavanje gradiva, nakon čega slijedi pismena provjera iz cjeline Uređaj na skupu realnih brojeva

17. Zadaci za rad u paru • Razlomak zapiši bez znaka apsolutne vrijednosti. • Za koje vrijednosti realnog parametra a jednadžbe vrijedi |x|>1? 3. Za koje vrijednosti realnog parametra a jednadžbe vrijedi |x|=1? 4. Napiši bez korijena i znaka apsolutne vrijednosti funkciju funkciju . 5. Koliko je za x>6?

18. Ako je -1<x<1, koliko je ? • Odredi skup svih točaka T brojevnog pravca čija je udaljenost od točke veća ili jednaka 2. • Odredi polovište dužine ako je A(-3.5), B . Koje su točke od polovišta udaljene za 3? 9. Riješi jednadžbu: 10. Riješi nejednadžbu:

19. Literatura • J. Krajina, I. Gusić, Matematika 1, udž. sa zbirkom zadataka za 1. razred opće, jezične i klasične gimnazije, ŠK, Zagreb, 2008. • S. Varošanec, Priručnik za nastavnike, ELEMENT, Zagreb, 2003.