Transformation und Transformationsgruppen

1. Transformation und Transformationsgruppen (projektiv, affin, euklidisch)

2. Was sind Transformationen? • Eine Bijektiona von M auf sich heißt Selbstabbildung oder Transformation. • Eine Transformation bewegt Objekte und verformt sie eventuell. • Sie verändert bestimmte Eigenschaften von Objekten nicht.

3. Affine Transformationen Eine affine Transformation ist eine Abbildung zwischen zwei Vektorräumen, die Kollinearitäten und Abstandsverhältnisse bewahrt, d.h. also: Seien Am, Bn affine Räume a: Am ->Bn heißt affine Abbildung aus Am in Bn genau dann, wenn für beliebige x, y Am mit a: x ↦a(x), y ↦a(y) gilt: • z aus Gerade(x,y) => a(z) aus Gerade(a(x), a(y)) Kollinearität • Teilverhältnis(a(x),a(y),a(z)) = Teilverhältnis(x,y,z) • Affine UnterräumeAk von Am gehen in affine Unterräume Bl von Bn über: • Die Parallelitäten affiner Unterräume bleibt erhalten: Ak || Al => a(Ak) || a(Al)´ (Obiges gilt insbesondere für Geraden und Ebenen) Affine Transformationen sind Affinitäten (bijektive affine Abbildungen) auf sich selbst, nämlich: a: x ↦ Ax + a mit A invertierbar, also:

4. Transformationen in der euklidischen Ebene Euklidische Räume sind affine Räume mit Skalarprodukt, mit dem der Abstand zwischen zwei beliebigen Punkten erklärt ist: d(x, y)= ||x-y|| = En, Fn seien euklidische Räume gleicher Dimension. b: En-> Fn heißt kongruente Abbildung oder Kongruenz von E auf F genau dann, wenn für beliebige x, y  En gilt: d(b(x), b(y))= d(x,y)

5. Transformationen in der euklidischen Ebene Folglich sind euklidische Transformationen Affinitäten. Invarianten: • Abstand • Winkelgrößen • Inhaltsgrößen: z.B. Volumina, Flächen Allgemeine Formel: b: x↦Bx+b mit B orthogonal ( BT = B-1, det(B)=|1| )

6. Transformationsmatrizen • Translation: • Drehung um den Nullpunkt: • Spiegelung:

7. Ähnlichkeitstransformationen • Ähnlichkeitsabbildungen sind affine Abbildungen euklidischer Räume, die die Gestalt von Figuren erhalten. • En, Fn seien euklidische Räume gleicher Dimension. e : En-> Fn heißt ähnliche oder äquiformeÄhnlichkeitsabbildung oder Ähnlichkeit von En auf Fn genau dann, wenn es eine reelle Zahl k > 0 gibt, sodass für beliebige x,y  En gilt: d(e(x), e(y)) = k*d(x,y)

8. k heißt Ähnlichkeitsfaktor von e. • Bemerkung: Kongruenzen sind Ähnlichkeitsabbildungen mit k=1. • Invariante: Winkelgrößen • Allgemeine Formel: e: x ↦ Cx+c mit C=k*B, BT=B-1

9. Problem bei der Implementierung • Aus der allgemeinen Formel für die Transformation: p ↦ M(p-v)+w, M  K2x2, M invertierbar geht hervor, dass zwei verschiedene Rechenoperationen, nämlich die Matrizenmultiplikation und die Vektoraddition, hintereinander ausgeführt werden. Das ist sehr umständlich und v.a. bei der Implementierung auf dem Computer problematisch. • Lösung: Projektive Geometrie und homogene Koordinaten.

10. Darstellung der Transformation mit homogenen Koordinaten • Drehung um 0-Punkt: • Skalierung: • Translation: • Spiegelung:

11. => Jede Transformation wird zu einer Matrizenmultiplikation. • Matrizen der Form A= mit det(A)≠0 repräsentieren alle affinen Transformationen. • Es gibt aber noch andere invertierbare 3x3-Matrizen, und zwar die der Form M= Diese repräsentieren alle projektiven Transformationen.

12. Projektive Transformation • Eine projektive Transformation ist eine Abbildung zwischen Vektorräumen, die alle Geraden wieder auf Geraden abbildet. Dabei werden Quadrate auf allgemeine Vierecke abgebildet. • Wir betrachten die zweidimensionale projektive Ebene im dreidimensionalen euklidischen Raum. Die Punkte dieser projektiven Ebene werden auf Punkte p=(x,y,z) im 3 mit der festen Koordinate z=a‘ mit a‘ \{0} abgebildet. Aus Gründen der leichteren Handhabung setzen wir z=a‘=1. Somit liegt die projektive Ebene parallel zur x-y-Ebene des euklidischen Raums mit den Punkten p=(x,y,z) auf Höhe z=1. • Projektiv werden nun alle Punkte p‘=(x‘,y‘,z‘) 3 und auch alle Punkte lp‘=(lx‘,ly‘,lz‘) 3, l  , die sich somit als Äquivalenzklassen [p] schreiben lassen,auf ein und denselben in der projektiven Ebene liegenden Punkt p=(x,y,z) [p] abgebildet, wobei p der Durchstoßpunkt der Geraden g=lp‘ mit variablem l  mit der projektiven Ebeneist. Die obige Abbildung, nämlich (x,y)T↦ (x,y,a‘=1)T, nennt man Homogenisieren.

13. Überführen eines Punktes p=(x,y,z) in den 2: (x,y,z) ↦(x/z,y/z) (Dehomogenisieren) • Überführenvon p in die projektive Ebene mit a‘=1, die in den 3 eingebettet ist: (x,y,z) ↦(x/z,y/z,1)=p • Punktdarstellung in der projektiven Ebene mit z=1: (x,y,z=a) mit a‘=1 werden als homogene Koordinaten von Punkten bezeichnet; endliche Punkte in der projektiven Ebene: (x,y,1); unendliche Punkte = Fernpunkt in der projektiven Ebene: (x,y,0) • Geradendarstellung in der projektiven Ebene mit z=1: {(x,y,z) 3| z=1, ax+by+cz=0} -> {(a,b,c) 3 |ax+by+c=0}; (a,b,c) werden dann als homogene Koordinaten bezeichnet; endliche Gerade: (a,b,c) in der projektiven Ebene; unendliche Gerade: (0,0,1) in der projektiven Ebene • Punkt p=(x,y,z) auf einer Geraden g=(a,b,c): „Skalarprodukt aus p und g ergibt 0“  ax+by+c=0  <(x,y,1),(a,b,c)>=<(p,g)>=<(lp,g)>=0 für l \{0}. • Schnittpunkt zweier Geraden g1=(a1,b1,c1), g2=(a2,b2,c2): p=g1xg2

14. Parallelität zweier Geraden g1=(a1,b1,c1), g2=(a2,b2,c2): gleiche Richtungskoordinaten a1=a2, b1=b2, aber verschiedenes c1≠c2(Verschiebung vom 0-Pkt.), (a,b,c1)Tx(a,b,c2)T=(x,x,0); g1 identisch mit g2: g1xg2=(0,0,0)T => degeneriert, da unendlich viele Schnittpunkte existieren • Verbindungsgerade zweier Punkte p1=(x1,y1,z1), p2=(x2,y2,z2): g=p1xp2 • Zwei parallele Geraden in der projektiven Ebene schneiden sich im Unendlichen: homogene Koordinaten der Geraden g im Unendlichen sind (0,0,c) mit c=a=1, d.h., dass die Gerade den Normalenvektor (0,0,1) hat. • Geg.: Gerade g und Punkt p, der außerhalb von g liegt; ges.: Gerade l, die durch p  parallel zu g verläuft: Lsg.: l=(gxg)xp; • Gerade g wird auf Bildgerade h abgebildet: Sei p Punkt auf g, q Punkt auf h, q=Mp, M Transformationsmatrix, dann gilt: h=(M-1)Tg. Denn nach Satz 1 (siehe nächste Folie) gilt: <p,g>=<Mp,h>=0  pTg=pTMT(M-1)Tg=pTMTh mit MT(M-1)T=E, E Einheitsmatrix => h=(M-1)Tg

15. Wichtige Sätze in der projektiven Geometrie • Satz 1: Projektive Transformationen bilden kollineare Punkte auf kollineare Punkte ab.

16. Beweis zu Satz 1: Es genügt Satz 1 für ein allgemeines Tripel von Punkten zu zeigen. [a],[b],[c] aus P sollen drei kollineare Punkte sein, die durch homogene Koordinaten a,b,c repräsentiert werden. Wir nehmen an, dass alle homogenen Koordinaten durch Spaltenvektoren ausgedrückt sind. Wir müssen zeigen, dass die Punkte, die durch a‘=Ma, b‘=Mb, c‘=Mc dargestellt sind, unter obigen Bedingungen auch kollinear sind. Dies gilt, nach folgendem Beweis: a,b,c sind kollinear  det(a,b,c)=0  det(M)det(a,b,c)=0  det(Ma,Mb,Mc)=0  det(a‘,b‘,c‘)=0  a‘,b‘,c‘ sind kollinear. Es liegen also alle drei Punkte, die durch a‘,b‘,c‘ dargestellt werden, auf der Geraden g‘ und sind somit kollinear.

17. Satz 2: Falls f: P->P eine bijektive Abbildung ist, die die Kollinearität von Punkten erhält, dann kann f durch eine Multiplikation einer 3x3-Matrix ausgedrückt werden.

18. Beweis zu Satz 2: Tatsächlich ist dieser Satz so wichtig, dass er manchmal als „Fundamentalsatz der projektiven Geometrie“ bezeichnet wird. Der Beweis dazu ist etwas subtil und benötigt einige elementare Ergebnisse aus der Feldtheorie. Der Beweis benutzt die Tatsache, dass die reellen Zahlen keinen Feld-Automorphismus außer die Identität haben. Die Entwicklung des obigen Satzes zu beliebige Felder beeinhaltet eine richtige Diskussion der Feld-Automorphismen. Ein Beweis führt hier zu weit. Im Moment werden wir mehr Eigenschaften von projektiven Transformationen sammeln, die als Multiplikation einer 3x3-Matrix ausgedrückt werden können. Die fundamentalste Eigenschaft von projektiven Transformationen, die wir für uns nützlich ist, führt der folgene Satz 3 auf.

19. Satz 3: Seien [a],[b],[c],[d] aus P vier Punkte, von denen keine drei kollinear sind und seien [a‘],[b‘],[c‘],[d‘] aus P weitere vier Punkte, von denen keine drei kollinear sind, dann existiert eine 3x3-Matrix derart, dass [Ma]=[a‘], [Mb]=[b‘], [Mc]=[c‘] und [Md]=[d‘].

20. Beweis zu Satz 3: Wir nehmen an, dass a,b,c,d,a‘,b‘,c‘,d‘ aus 3 als Repräsentanten der zugehörigen Äquivalenzklassen fungieren. Zuerst beweisen wir den Spezialfall, dass a=(1,0,0), b=(0,1,0), c=(0,0,1) und d=(1,1,1). Weil die Matrixspalten die Bilder der Einheitsvektoren sind, muss die Matrix die Form (la‘,mb‘,tc‘) besitzen. (In anderen Worten muss das Bild von a ein Vielfaches des Vektors a‘ sein u.s.w.) Also kann das Bild von d als la‘+mb‘+tc‘ geschrieben werden. Dies muss ein Vielfaches von d‘ darstellen. Wir müssen nur noch die Parameter l,m,t entsprechend abgleichen. Dazu müssen wir das lineare Gleichungssystem lösen. Dieses System ist durch unsere nicht degenerierten Annahmen lösbar (a‘,b‘,c‘ sind nicht kollinear). Des weiteren ist keiner der Parameter gleich Null (als Konsequenz der übriggebliebenen nicht degenerierten Annahmen). Dies beweist den Satz für den Spezialfall. Um den allgemeinen Fall des Satzes zu zeigen, muss man die obige Tatsache verwenden, dass man eine Transformation T1, die (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1), (1,1,1) auf a,b,c,d abbildet, und eine Transformation T2, die (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1), (1,1,1) auf a‘,b‘,c‘,d‘ abbildet, findet. Die gesuchte Transformation ist dann T2°T1-1.

21. Transformationsgruppen Eine Menge W von Transformationen einer Menge M auf sich heißt eine Transformationsgruppe, wenn mit a, bW stets gilt: a*b  W, a-1 W undid W Beweis: Sei a,b,c  W Transformation, d.h. a: M->M und p M. a*b bedeutet a nach b. Abgeschlossenheit: a*b  W soll unter den gängigen Gruppenoperationen als gegeben betrachtet werden. Neutrales: id: W->W, p ↦ p = a*a -1  W Inverses: Da a eine bijektive Abbildung ist, existiert eine Inverse Abbildung a-1 . Assoziativität: ((a*b)*c)(p) = (a*b)(c(p)) • = a(b(c(p))) • = a((b*c)(p)) • = (a*(b*c))(p)

22. Beispiel zu Transformationsgruppen Seien a, b affine Transformationen, mit a(x)=Ax+a, b(x)=Bx+b • Abgeschlossenheit: (a*b)(x)=Ba(x)+b= =B(Ax+a)+b =(BA)x+(B a +b) • Neutrales: id(x)=Ex+0= x, E Einheitsmatrix • Inverses: x=A-1a(x) +(-A-1 a)

23. Zusammenfassung: • Überblick über die verschiedenen Transformationen:

24. Projektive Transformationen: - projektive Transformationen bilden kollineare Punkte auf kollineare Punkte ab. - es reichen vier Punkte mit den zugehörigen vier Bildpunkten aus, von denen jeweils keine drei Punkte kollinear sind, um die projektive Transformation eindeutig festzulegen. - Transformationsgruppen können durch Verkettung von Transformationen entstehen.