第 10 讲开集的可测性

第10讲开集的可测性 • 目的：熟悉一些常见的可测集，了解Borel • 集类与Lebesgue集类的差别。 • 重点与难点：

第10讲开集的可测性 • 基本内容： • 一．Borel集 • 问题1：按Lebesgue可测集的定义，我们所 • 熟悉的哪些集合是可测的？

第10讲开集的可测性 • 问题2：由Lebesgue测度的性质以及上面所熟悉的可测集，还能构造出哪些可测集？所有这些可测集构成什么样的集类？

第10讲开集的可测性 • （1）开集与闭集的可测性 • 命题1 Rn中任意开长方体都是可测的，且。 • 证明：我们在前一节已经证明对任意开长方体I，有，所以只需证明I是可测的就行了，又由关于可测集定义的讨论，我们只要证明对任意开长方体J，有

第10讲开集的可测性 • 注意到仍是个长方体， • 故不难得知 • （这与证明类似）因此 • 从而I可测。证毕。

第10讲开集的可测性 • 定义1 Rn中的集合 • 称为左开右闭长方体。 • 与直线上开集的构造有所不同，Rn中的开集未必可以表示成互不相交的开长方体的并，但可以表示成互不相交的左开右闭长方体之并，即

第10讲开集的可测性 • 引理1 Rn中的非空开集G都可表示成最多可数个互不相交的左开右闭的长方体之并，即是左开右闭长方体。 • 证明：对每一正整数K,Rn可以分解成可数个形如 • mi是正整数）的互不相交的左开右闭长方体之并。假设K=1时上述长方体中完全包含在G内的那些为

第10讲开集的可测性 • （有限或可数个）。对于k>1，用表示上述那些完全被G包含但与任何不相交的长方体。这样就得到可数多个左开右闭的长方体且它们互不相交，并满足。如果，则存在，使注意到故当k充分大时，含x的形如Bk的长方体一定完全包含在中，从而也包含在G，所以一定在某个中，即

第10讲开集的可测性 • 于是， • （2）Gδ型集、Fб型集、Borel集 • 定理1 Rn中的任意开集、闭集、F型集、 • G型集均为可测集。 • 证明：由命题1知任一左开右闭长方体J 可测且mJ=|J|，从而由引理1知任意开集可测，进一步闭集、F 型集、G 型集均可测。证毕。

第十讲开集的可测性 • 注：从定理1可知，可数个F6型集或G8型集的并或交仍是可测的。事实上，由开集经过可数次的交、并、差运算后，所得的集合仍然是可测集。于是，由Rn中所有开集经过上述运算而得的域就是一个可测集类。我们将这个集类记作B（Rn）或B，称为Rn中的Borel集类。B中元称为Rn中的Borel集。因此我们又可以将刚才的结论叙述为：Rn中任一Borel集合是Lebesgue可测集。

第十讲开集的可测性 • 二．Borel集类与Lebesgue集类的比较 • 问题3：根据Lebesgue外测度及可测集的定义，你认为Lebesgue可测集与Borel集差别有多大？

第十讲开集的可测性 • 问题4：对任意集合E，能否找到包含E的Borel集G，使得它们有相同的外测度？ • 问题5：对上述E，能否找到包含在E中的Borel集F，使得它们具有相同的外测度？如果E是可测集，情形又如何？

第十讲开集的可测性 • Lebesgue可测集的结构 • Borel集类已包含了我们经常见到的Rn中的大多数集合，然而，的确仍有不少集合不是Borel集，如本章第一节中构造的不可测集显然不可能是Borel集。那么，是否存在Lebesgue可测但却不是Borel集的集合呢？有的，而且很多，我们已经看到，如果一个集合的外测度为0，则它一定可测，但是外测度为0的集合却未

第十讲开集的可测性 • 必是Borel集，要证明这件事并不困难，比如，可以证明直线上Borel集全体的势为2c。事实上，Lebesgue可测集的全体显然有不大于2c的势，只需证明其势不小于2c就可以了，我们已经知道Cantor集是一个零测集，且有势c，因而它的一切子集也是零测集，且其子集全体有势2c。由此立知，Lebesgue可测集全体

第十讲开集的可测性 • 远比Borel集全体的势力，上面的证明同时告诉我们，Cantor的一切子集中，确有很多不是Borel集，但它们都是Lebesgue可测集。 • 现在我们来看看，Lebesgue可测集与Borel集差别有多少，假设E是一个可测集，且不妨设，则对任意，存在可数个开长方体，使

第十讲开集的可测性 • 且由此易知 • 事实上,由于 • 故由及

第十讲开集的可测性 • 易得 • 记则Gn是开集，从而 • 是G型集，而且，由 • 立知是Borel集与一个Lebesgue • 零测集之差。类似的办法可以证明，能找 • 到Borel集，使，即E也

第十讲开集的可测性 • 是Borel集与一个Lebesgue零测集之并。换言之，对任一Lebesgue可测集E，都可以找到包含于其中的Borel集，使它们有相同的测度，也可以找到包含E的Borel集，使它们也有相同的测度。因此，Borel集与Lebesgue可测集的差别在于零测集上。

第十讲开集的可测性 • 问题6：问题4中能否使G-E的外测度为零？为什么？举例说明。

第十讲开集的可测性 • 即使不是可测集，我们也可以找到Borel集，使它们有相同的外测度。这就是下面的 • 定理2 设，则存在Rn中的G8型集G，使且。 • 证明：若，则显然可找到这样的G，（比如Rn本身就是其中一个）。故不妨设，此时类假刚才的讨论，可

第十讲开集的可测性 • 以找到开集Gn，使且 • 令，令G即为所求。证毕。 • 应该指出的是，如果E是不可测集，虽 • 然可以找到Borel集，使， • 但的外测度不可能等于0，否则 • E=G-（G-E）将是可测集。

第十讲开集的可测性 • 定理3 若是可测集，则有Rn中的 • Borel集F，使且 • 证明：若E无界，则可作一列长方体， • 使且，于是 • 是一列有界可测集列，且，从而

第十讲开集的可测性 • 若对每一En，可找到Borel集，使 • 且则 • 令，则， • 于是

第十讲开集的可测性 • 进而；另一方面，由于 • 故。因此，我们 • 只需就E是有界可测集情形证明就可以了。 • 若E是有界的，则存在长方体，记 • ，则S也是可测集，且 • 由定理2知存在Borel集G，使，且

第十讲开集的可测性 • ，令，则F仍 • 是Borel集，且，显然 • 注意 • 故。证毕。

第十讲开集的可测性 • 习题二 • 1、证明有理数全体是R1中可测集，且测 • 度为0。 • 2、证明若E是Rn中有界集，则 • 3、至少含有一个内点的集合之外测度能否 • 为零？ • 4、在[a,b]上能否作一个测度为b－a但又 • 异开[a,b]的闭集？

第十讲开集的可测性 • 5、若将§1定理6中条件去掉， • 等式是否仍成立？ • 6、设E1、E2、…是[0，1]中具有下述性 • 质的可测集列：对任意，从这个 • 序列中可找到这样的集Ek，使 • 证明，这些集合之并的测度等于1。 • 7、证明对任意可测集A，B，下式恒成立。

第十讲开集的可测性 • 8、设A1、A2是[0，1]中两个可测集且满足， • 证明： • 9、设A1、A2、A3 是[0，1]中三个可测集 • 且满足 ,证明：

第十讲开集的可测性 • 10、证明存在开集G，使 • 11、设E是R1中的不可测集，A是R1中的 • 零测集，证明：不可测。 • 12、若E是[0，1]中的零测集，其闭包 • 是否也为零测集？ • 13、证明：若E是可测集，则对任意 • 存在型集，使

第十讲开集的可测性 • 14、证明：位于0x轴上的任何集E（甚至 • 它在直线上为不可测集）在0xy平面 • 上可测且其测度为零。 • 15、证明有界集E可测当且仅当对任意， • 存在开集，闭集，使

第十讲开集的可测性 • 16、证明；若是单调递增集列（不 • 一定可测），则 • 17、证明Rn中的Borel集类B有连续势。 • 18、证明对任意闭集F，都可找到完备集 • ，使 • 19、证明只要，就一定可以找到 • 使对任意都有

第十讲开集的可测性 • （提示：利于闭集套定理） • 20、如果可测，，记 • 证明也可测，且 • 21、设是零测集，证明 • 是零测集。

第十讲开集的可测性 • 22、设可测，是含x0的任 • 一开区间，若下列极限存在 • ，则称d是E • 在点x0的密度，显然，如果 • 称x0是E的全密点。 • （i）点a是否是的有密度的点？ • （即d>0）

第十讲开集的可测性 • (ii)作一集合E，使它在给定点x0具有 • 密度，且密度等于事先给定值 • 23、设是可测集，证明 • 也是可测集，且 • 24、设是可测集， • 是旋转变换：

第十讲开集的可测性 • 证明：UE也是可测集,且 • 25、设是可测集，，如果E • 的可测子集列满足，证明：

第十讲开集的可测性 • 三．复习 • （1）可测集的定义 • （2）可测集的结构 • （3）练习题评讲 • 作业：P53 11，12，15

第 10 讲 开集的可测性