הפונקציה הלינארית

1. הפונקציה הלינארית Y=aX+b

2. Y=aX F(x)=aXפונקציה המבטאת יחס ישר בין Y ל-X • הצגה אלגברית • הצגה ע"י טבלת ערכים: • הצגה ע"י זוגות סדורים: • (x1,y1), (x2,y2), (x3,y3)

3. aX aX • הצגה ע"י חיצים: YX 1Y 1X 2Y 2X 3Y 3X הצגה גרפית ע"י מערכת צירים , מספיק לסמן שתי נקודות, כוון שדרך שתי נקודות עובר קו ישר אחד, אך נקודה נוספת היא לביקורת aX aX

4. תכונות השיפוע a • a ‹ 0 a › 0 • שיפוע חיובי שיפוע שלילי • פונקציה עולה פונקציה יורדת • זווית חדה עם ציר ה-X זווית קהה עם ציר ה-X • כש-a גדול יותר, גובה כש-aבערך המוחלט גדול המדרגה גדול יותר יותר, גובה המדרגה גדל • ככל שהa- בערך מוחלט גדול, כך הגרף קרוב לציר ה-Y

5. פונקציה לינארית מצורתY=aX+b • תכונות השיפוע זהות כמו הפונקציה המתארת יחס ישר • תכונות הפרמטר b • b מתארת את מקום חיתוך הגרף בציר ה-Y

6. שרטטי את הגרפים הבאים; • X5=Y 3+X5=Y • שרטוט של גרף נעשה ע"י מציאת ערכים בעזרת טבלת ערכים: • הגרף-..\Desktop\GeoGebraPrim.lnk

7. על הפונקציה X5=Y נבחר שתי נקודות, (1,5) (3,15) נצייר מדרגה לגרף. כיצד נחשב שיפוע כאשר יחידת הרוחב גדולה מ? 1 5=5/1=10/2=15-5/3-1 רוחב המדרגה בין שתי הנקודות גובה המדרגה בין שתי הנקודות על הפונקציה 3+X5=Y נבחר שתי נקודות שאינן סמוכות, מצאי את השיפוע

8. מסקנה • נתונות שתי נקודות על הגרף המתאר פונקציה לינארית: (2Y, 2X)B, (1Y, 1X)A • היחס בין גובה המדרגה לרוחב המדרגה שווה ליחס בין גובה המדרגה לרוחב המדרגה כשהוא יחידה אחת ,שווה לשיפוע, • כלומר: a= • הסימון המתמטי הוא =a

9. מציאת משוואת ישר אלו נתונים נחוצים על מנת למצוא משוואת ישר שאינה ידועה לנו?

10. עמ' 103 דוגמא 1א'-מצא משוואת ישר ששיפועו 3 והוא עובר דרך הנקודה (2,7) • נתון: a=3 הנקודה (2,7) על הישר נותר לנו למצוא את b • נציבבמשוואה מצורת Y=aX+b את a=3 Y=3X+b נציב שיעורי הנקודהX1=2, Y1=7 7=3*2+b 7=6+b b=1 משוואת הישר היא: Y=3X+1

11. ב'-האם הנקודה (4,13) נמצאת על הישר שמצאת בסעיף א'? • נציב את שיעורי הנקודה במשוואת הישר ואם יתקבל שוויון נכון, נדע שאכן נקודה זו על הישר: • 13=3*4+1 • 13=12+1 • 13=13 • הנקודה (4,13) על הישר

12. ג'-מצא נקודה נוספת כרצונך הנמצאת על הישר. • נבחר 6=2X • נציב במשוואה: Y2=3*6+1 • Y2=18+1 • Y2=19 שיעורי הנקודה הן(6,19)

13. ד'- כמה נקודות נוספות אפשר למצוא על הישר הזה? • ניתן למצוא אינסוף נקודות שמקיימות את הישר

14. דוגמא 2נתון ישר א': Y=5X+1מצא ישר ב', המקביל לישר א' ועובר דרך הנקודה (1,3) • ישר המקביל לישר נתון, בעל אותו שיפוע, לכן a=5 • כעת נציב את שיעורי הנקודה על מנת למצוא אתb- • 3=5*1+b • 3-5=b • b=-2 משוואת הישר היא: Y=5X-2

15. עמ' 106 תרגיל 14מצא את משוואת הישר המקביל לישר: Y=3X+8ונמצא 3 יחידות מעל הישר הנתון • ישר מקביל בעל אותו שיפוע a=3 ולכן נותר רק למצוא את b. • אם הישר נמצא 3 יחידות מעל לישר, הווה אומר שחיתוך הישר עם ציר ה-Y הוא 3 יחידות מעל, כלומר: 8+3=11 • משוואת הישר היא: Y=3X+11

16. ב'-מצא את משוואת הישר המקביל לישר: Y=3X+8 ועובר בראשית הצירים • אם הישר מקביל, הווה אומר שהשיפוע שווה a=3 • אם הישר עובר בראשית הצירים, כלומר בנקודה (0,0) ישר שעובר דרך ראשית הצירים חותך את ציר ה-Y בנקודה 0=Y • המשוואה היא X3=Y

17. עמ' 106 תרגיל 20מצא את משוואת הישר בכל אחד מהשרטוטים • העזרי בטבלה הבאה:

18. עמ' 108 שאלה למחשבה 21,מצא משוואת ישר העובר דרך הנקודה: (-5, 4) ויוצר עם ציר ה-X זווית חדה. • פונקציה עולה יוצרת זווית חדה עם ציר הX • השיפוע הוא חיובי,דוגמא, a=4 • Y=4X+b • נציב את נקודה X=4, Y=-5 • -5=4*4+b • b=-21 • משוואת הישר היאY=4X-21

19. רשום ישר נוסף המתאים לתנאים שבשאלה • משואת ישר נוספת Y=10X=b • נציב (5-,4) -5=10*4+ba=10 • b=-45 • לכן משוואת הישר היא: Y=10X-45

20. כמה משואות של ישרים המקיימים את התנאים שבשאלה אפשר לרשום? הסק מסקנה • ניתן לרשום אינסוף ישרים המקיימים תנאי זה. יש אינסוף מס' חיוביים ולכן יש אינסוף שיפועים חיוביים שניתן לרשום.

21. מצא משוואת ישר העובר דרך הנקודה (5-,4) ויוצר עם ציר ה-X זווית קהה • פונקציה יורדת יוצרת זווית קהה עם ציר ה-X. השיפוע של פונקציה יורדת הוא שלילי. • נבחר למשל 4a=-

22. מציאת משוואת ישר על פי שתי נקודות הנמצאות עליו • משימה עמ' 109 א'- סמן במערכת צירים את הנקודות (,1,9)(2,6) • ב'- העבר דרכן ישר שיחתוך את ציר ה-Y ואת ציר ה-X. • ג'-מהי נקודת החיתוך עם ציר ה-Y? • ד'- חשב את שיפוע הישר דרך שתי הנקודות. • ה'-רשום את משוואת הישר. • ו'-בדוק ששתי הנקודות הנתונות מקיימות את משוואת הישר שרשמת בסעיף ה'.

23. פתרון אלגברי נותן מענה מדוייק יותר מאשר הפתרון הגרפי (השרטוט) בעיקר במצבים בהם המספרים אינם מספרים שלמים.

24. סיכום:מציאת משוואת ישר מהצורה Y=aX+bכשנתונות שתי נקודות הנמצאות עליו מתבצעת בשני שלבים: • א'- מציאת הפרמטר a שיפוע עפ"י =a • ב'-מציאת הפרמטר b ע"י ההצבה של a והצבת שיעורי אחת הנקודות הנתונות במשוואת הישר