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1.2.4 平面与平面的位置关系

1.2.4 平面与平面的位置关系. 位置关系. 两平面平行. 两平面相交. 公共点. 符号表示. 图形表示. 两个平面可能有哪些位置关系呢 ? 现观察长方体 A-C 1 的各个面的关系 :. 没有公共点. 有一条公共直线. 画两个相交平面的要点是： 先画表示两个平面的平行四边形的相交两边， 再画表示两个平面交线的线段. 1. 平面平行. 命题 1 ．如果两个平面平行，那么其中一个平面 内的所有直线一定都和另一个平面平行． 命题 2 ．如果一个平面内的所有直线都和另一个 平面平行，那么这两个平面平行．. C 1. D 1. A 1. B 1.

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1.2.4 平面与平面的位置关系

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Presentation Transcript

  1. 1.2.4 平面与平面的位置关系

  2. 位置关系 两平面平行 两平面相交 公共点 符号表示 图形表示 两个平面可能有哪些位置关系呢? 现观察长方体A-C1的各个面的关系: 没有公共点 有一条公共直线

  3. 画两个相交平面的要点是： 先画表示两个平面的平行四边形的相交两边， 再画表示两个平面交线的线段

  4. 1.平面平行 命题1．如果两个平面平行，那么其中一个平面 内的所有直线一定都和另一个平面平行． 命题2．如果一个平面内的所有直线都和另一个 平面平行，那么这两个平面平行．

  5. C1 D1 A1 B1 D C A B 平面平行的判定定理: 如果一个平面内的两条相交直 线分别平行于另一个平面,那么这两 个平面平行. 例1.如图,在长方体A-C1中. 求证:面AB1D1//面BDC1

  6. 判断下列命题的正误： 1．垂直于同一直线的两直线平行． 2．分别在两个平行平面内的两条直线都平行 3．如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行 4．如果一个平面内的任何一条直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行

  7. D1 C1 A1 B1 BD∥B1D1 B1D1∥面BDC1 D C BD 面BDC1 B1D1面BDC1 ∩ ∩ A B 同理： AB1∥面BDC1 例1.如图,在长方体A-C1中. 求证:面AB1D1//面BDC1 证明： 面AB1D1∥ 面BDC1 B1D1∩AB1=B1 线∥线 线∥面 面∥面

  8. D1 AC⊥BD C1 A1A⊥面AC A1 A1C在面AC上的射影为AC B1 D C A1C⊥BC1 同理: A B 同理: A1C⊥面AB1D1 证法2： A1C⊥BD A1C⊥面BDC1 BD∩BC1=B

  9. D1 C1 E F A1 B1 G D C OC1 面BDC1 ∩ A B 变形1:如图，在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中， E,F,G分别为A1D1, A1B1, A1A的中点 求证：面EFG∥面BDC1 变形2:若O为BD上的点 求证：OC1 ∥面EFG 由上知 面EFG∥面BDC1 O OC1 ∥面EFG 面∥面 线∥面

  10. D1 C1 N F A1 E M B1 D C A B 变形3:如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中， E,F,M,N分别为A1B1, A1D1, B1C1, C1D1的 中点 求证：面AEF∥面BDMN

  11. 思考:如果两个平面平行,那么; 1.一个平面内的一条直线是否平行于另一个平面? 2.分别在两平面内的两条直线的位置关系是____. 两平行平面的性质定理: 如果两个平行平面同时和第三 个平面相交,那么它们的交线平行.

  12. 例2.求证:如果一条直线垂直于 两个平行平面中的一个,那么它 也垂直于另一个平面. B A

  13. α α α θ θ θ θ β β β 判断下列命题是否正确？ 1、平行于同一直线的两平面平行 2、垂直于同一直线的两平面平行 3、与同一直线成等角的两平面平行

  14. α m n β β α γ 6、若n α,m α,n∥β,m ∥β则α∥β ∩ ∩ 4、垂直于同一平面的两平面平行 5、若α∥β,则平面α内任一直线a ∥β

  15. 定义:与两平行平面都垂直的直线叫做这两个平行平面的公垂线.夹在两平行平面之间的公垂线段叫做两平行平面间的距离.定义:与两平行平面都垂直的直线叫做这两个平行平面的公垂线.夹在两平行平面之间的公垂线段叫做两平行平面间的距离. 练习: 1.判断下列命题是否正确.说明理由; (1)一平面内两条直线分别平行于另一个平面,则这两平面平行; (2)一平面内无数条直线分别平行于另一个平面,则这两平面平行; (3)平行于同一条直线的两个平面平行； (4)过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行； (5)过平面外一条直线必能作出与已知平面平行的平面。

  16. D1 C1 F1 A1 E1 B1 D F C A B E B D C A 2.六棱柱的表面中,互相平行的面最多有多少对? 3.如图,E,F,E1,F1,分别 是长方体棱的中点. 求证:平面ED1//平面BF1 4.求证:夹在两平行平面间的平行线段相等.

  17. 二面角 复习回顾 1.在平面几何中"角"是怎样定义的？ 从一点出发的两条射线所组成的图形叫做角。 或: 一条射线绕其端点旋转而成的图形叫做角。

  18. 2.在立体几何中,"异面直线所成的角"是怎样定义的？2.在立体几何中,"异面直线所成的角"是怎样定义的？ 直线a、b是异面直线,经过空间任意一点O,分别引直线a' //a, b'// b,我们把相交直线a' 和 b'所成的锐角 （或直角）叫做异面直线所成的角。 3.在立体几何中,"直线和平面所成的角"是怎样定义的？ 平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角, 叫做这条直线和这个平面所成的角。

  19. 水平面 拦洪坝 思考：异面直线所成的角、直线和平面所成的角与有什么共同的特征？ 它们的共同特征都是将三维空间的角转化为二维空间的角,即平面角。

  20. 一条直线上的一个点把这条直线分成两个部分，其中的每一部分都叫做射线。一条直线上的一个点把这条直线分成两个部分，其中的每一部分都叫做射线。 一个平面内的一条直线把这个平面分成两个部分，其中的每一部分都叫做半平面。

  21. B O A 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。 这条直线叫做二面角的棱。 这两个半平面叫做二面角的面。 Q B P l   A 二面角由半平面--线--半平面构成。 平面角由射线--点--射线构成。 二面角的表示

  22. E F B A D C C B D A 二面角的画法  l  二面角－ l－  二面角C－AB－ D

  23. 二面角 角 从平面内一点出发的两条射线所组成的图形. 从空间一条直线出 发的两个半平面所 组成的图形. 定义 A  面 边 顶点 棱 图形 B • a A 面 O  边 B 构成 射线 点 射线 半平面 棱 半平面  a  或 AOB 二面角 表示法  AB 

  24. 二面角的度量 以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。 二面角的平面角的三个特征: 3.与棱垂直 2.线在面内 1.点在棱上 二面角的大小的范围: 平面角是直角的二面角叫做直二面角.  l 

  25. l  3、垂面法 二面角的平面角的作法： 1、定义法 2、三垂线定理法

  26. A D B C  D’ C’ B  A’ D C B’ A D C A B 练习：指出下列各图中的二面角的平面角： l D 二面角--l-- O O O E 二面角B--B’C--A 二面角A--BC--D

  27. 例1已知锐二面角－l－，A为面内一点，A到 的距离为2 ，到l 的距离为4，求二面角－ l－  的大小。 ∴AO=2 ，AD=4  AO AD  ① 解： 过 A作 AO⊥于O，过 O作 OD⊥ l 于D，连AD 则由三垂线定理得AD⊥ l ② ∴∠ADO就是二面角 － l－  的平面角 ③ ∵ AO为A到的距离 ， AD为A到 l 的距离 A 在Rt △ADO中， ∵sin∠ADO= ∴ ∠ADO=60° D O ∴二面角－ l－  的大小为60 ° l

  28. 二面角的计算： 1、找到或作出二面角的平面角 2、证明1中的角就是所求的角 3、计算出此角的大小 一“作”二“证”三“计算”

  29. D1 C1 A1 例题选讲 B1 C D A B O 在正方体AC1中，求二面角D1—AC—D的大小？ 此法为三垂线找平面角的方法

  30. D1 C1 A1 B1 课堂练习 C D A B 在正方体AC1中，E，F分别是AB，AD的中点，求二面角C1—EF—C的大小？ F E

  31. S 例题选讲 A E D B C O 过正方形ABCD的顶点A引SA⊥底面ABCD，并使平面SBC，SCD都与底面ABCD成45度角，求二面角B—SC—D的大小？

  32. D 已知：如图⊿ABC的顶点A在平面M上的射影为点A`， ⊿ABC的面积是S， ⊿A`BC的面积是S`，设二面角A-BC-A`为 求证：COS  =S` ÷ S A A` B M C

  33. 3.两平面垂直 平面垂直的判定定理: 如果一个平面经过另一个平面 的一条垂线,那么这两平面垂直 A D E B 平面垂直的性质定理: 如果两个平面互相垂直,那么 在一个平面内垂直于它们交线的 直线垂直于另一个平面.

  34. 例题选讲

  35. 例题选讲 例3.求证:如果两个平面垂直,那么经 过第一个平面内的一个点垂直于第二 个平面的直线必在第一个平面内。

  36. 在下列条件下，判断正三棱锥P-ABC的顶点P在底面ABC内的射影位置在下列条件下，判断正三棱锥P-ABC的顶点P在底面ABC内的射影位置 在下列条件下，判断正三棱锥P-ABC的顶点P在底面ABC内的射影位置 外心 1、三条侧棱相等 外心 2、侧棱与底面所成的角相等 内心 3、侧面与底面所成的角相等 4、顶点P到⊿ABC的三边距离相等 内心 5、三条侧棱两两垂直 垂心 6、相对棱互相垂直 垂心 7、三个侧面两两垂直 垂心

  37. A B D E ① ② C 面面垂直 线面垂直 线线垂直 ④ ③ 四面体ABCD中，面ADC⊥面BCD，面ABD ⊥面BCD，设DE是BC边上的高， 求证： 平面ADE ⊥面ABC 面ADC⊥面BCD ① 面ABD ⊥面BCD AD ⊥面BCD ② AD ⊥BC DE ⊥BC ③ BC ⊥面ADE ④ 面ABC ⊥面ADE

  38. A D E B C

  39. A D E B C

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