7.4 图的连通性问题

1. 7.4 图的连通性问题 1. 无向图的连通分量 图遍历时，对于连通图，无论是广度优先搜索还是深度优先搜索，仅需要调用一次搜索过程，即从任一个顶点出发，便可以遍历图中的各个顶点。对于非连通图，则需要多次调用搜索过程，而每次调用得到的顶点访问序列恰为各连通分量中的顶点集。 j=0; for(v=0; v < G.vernum; ++v) if(!visited[v]){ DFS(G, v); j++; }

2. A L M J B F C;  D E; G K H I;

3. 2. 无向图的生成树 一个连通图的生成树是一个极小连通子图,它含有图中全部顶点,但只有构成一棵树的(n-1)条边。 e<n-1 → 非连通图 e>n-1 → 有回路 e=n-1 → 不一定都是图的生成树 设G=(V,E)为连通图,则从图中任一顶点出发遍历图时,必定将E(G)分成两个集合T和B,其中T是遍历图过程中走过的边的集合,B是剩余的边的集合：T∩B=Φ,T∪B=E(G)。显然,G'=(V,T)是G的极小连通子图,即G'是G的一棵生成树。

4. 由深度优先遍历得到的生成树称为深度优先生成树；由广度优先遍历得到的生成树称为广度优先生成树。这样的生成树是由遍历时访问过的n个顶点和遍历时经历的n-1条边组成。由深度优先遍历得到的生成树称为深度优先生成树；由广度优先遍历得到的生成树称为广度优先生成树。这样的生成树是由遍历时访问过的n个顶点和遍历时经历的n-1条边组成。 对于非连通图,每个连通分量中的顶点集和遍历时走过的边一起构成一棵生成树,各个连通分量的生成树组成非连通图的生成森林。 问题：以孩子兄弟链表作为森林（或树）的存储结构，如何建立无向图的深度优先生成森林或广度优先生成森林？

5. 深度优先生成森林 广度优先生成森林

6. void DFSForest(ALGraph G, CSTree &T) { T = NULL; for(v=0; v<G.vexnum; ++v) visited[v] = 0; for(v=0; v<G.vexnum; ++v) if( !visited[v]){ p = (CSTree) malloc(sizeof(CSNode)); *p = { G.vertices[v].data, NULL, NULL}; if( !T) T = p; else q->nextsibling = p; q = p; DFSTree(G, v, p); } }

7. void DFSTree(Graph G, int v, CSTree &T) { ArcNode *a; CSTree p; visited[v] = 1; first = TRUE; for(a=G.vertices[v].firstarc; a; a=a->nextarc){ w = a->adjvex; if( !visited[w]){ p = (CSTree) malloc(sizeof(CSNode)); *p = {G.vertices[w].data, NULL, NULL}; if( first) { T->lchild = p; first = FALSE; } else q->nextsibling = p; q = p; DFSTree(G, w, q); }//if }//for }

8. 3. 最小生成树 在一个连通网的所有生成树中， 各边的代价之和最小的那棵生成树称为该连通网的最小代价生成树（Minimum Cost Spanning Tree），简称为最小生成树(MST)。 最小生成树有如下重要性质(MST性质)：  设 N=(V, {E}) 是一连通网，U 是顶点集V的一个非空子集。 若（u , v）是一条具有最小权值的边， 其中u∈U， v∈V-U， 则存在一棵包含边（u , v）的最小生成树。

9. 用反证法来证明这个MST性质：  假设不存在这样一棵包含边（u , v）的最小生成树。 任取一棵最小生成树T，将（u , v）加入T中。根据树的性质，此时T中必形成一个包含（u , v）的回路， 且回路中必有一条边（u′, v′）的权值大于或等于（u , v）的权值。 删除（u′, v′），则得到一棵代价小于等于T的生成树T′，且T′为一棵包含边（u , v）的最小生成树。 这与假设矛盾， 故该性质得证。  利用MST性质来生成一个连通网的最小生成树。普里姆（Prim）算法和克鲁斯卡尔（Kruskal）算法便是利用了这个性质。

10. 普里姆算法 (Prim算法,又称边割法) 1957年由Prim提出 假设N=(V, {E})是连通网，TE为最小生成树中边的集合。 Step1: 初始U={u0}(u0∈V), TE=φ；  Step2: 在所有u∈U, v∈V-U的边中选一条代价最小的边(u0, v0) 并入集合TE，同时将v0并入U；  Step3: 重复Step2，直到U=V为止。  此时，TE中必含有n-1条边，则T=(V, {TE})为N的最小生成树。  从一个平凡图开始，普利姆算法逐步增加U中的顶点， 可称为“加点法”。

11. 普里姆算法求解最小生成树的过程

12. struct { VertexType adjvex; //顶点名称 int lowcost;  } closedge[MAX_VERTEX_NUM]; 为了实现这个算法需要设置一个辅助数组closedge[]，以记录从U到V-U具有最小代价的边。对每个顶点vi∈V-U，在辅助数组中存在一个分量closedge[vi]，它包括两个域adjvex和lowcost，其中lowcost存储该边上的权， 显然有 closedge[i-1].lowcost = Min({cost(u, vi) | u∈U})

14. void MiniSpanTree_PRIM( MGraph G, VertexType u) { k = LocateVex(G, u); for(j=0; j<G.vexnum; ++j) if(j!=k) closedge[j] = { u, G.arcs[k][j].adj }; closedge[k].lowcost = 0; for(i=1; i<G.vexnum; ++i){ k = minimun(closedge); printf(colsedge[k].adjvex, G.vexs[k]); closedge[k].lowcost = 0; for(j=0; j<G.vexnum; ++j) if(G.arcs[k][j].adj < closedge[j].lowcost) colsedge[j] = { G.vexs[k], G.arcs[k][j].adj }; } }

15. Prim()算法中有两重for循环,所以时间复杂度为O(n2)。与网中的边数无关，适用于求边稠密的网的最小生成树。

16. 克鲁斯卡尔算法（避圈法）Kruskal于1956年提出 假设G=(V,E)是一个具有n个顶点的带权连通无向图,T=(U,TE)是G的最小生成树,则构造最小生成树的步骤如下： Step1:T=(V,{})，有n个顶点而无边的非连通图； Step2:在E中选择代价最小的边，若该边依附的顶点落在T中不同的连通分量上，则将此边加入TE；否则舍弃, 而选择下一条代价最小的边； Step3: 若T中有n-1条边，结束；否则转step2. 从一个零图开始，克鲁斯卡尔算法逐步增加生成树的边， 与普里姆算法相比，可称为“加边法”。

17. 克鲁斯卡尔算法求解最小生成树的过程

18. 为了简便,在实现克鲁斯卡尔算法Kruskal()时,参数E存放图G中的所有边,假设它们是按权值从小到大的顺序排列的。n为图G的顶点个数,e为图G的边数。为了简便,在实现克鲁斯卡尔算法Kruskal()时,参数E存放图G中的所有边,假设它们是按权值从小到大的顺序排列的。n为图G的顶点个数,e为图G的边数。 typedef struct { int u; /*边的起始顶点*/ int v; /*边的终止顶点*/ int w; /*边的权值*/ } Edge;

19. void Kruskal(Edge E[], int n) { int i,j,k; int vset[MAXV]; for (i=0;i<n;i++) vset[i]=i; k=1; j=0; while (k<n) { /*生成的边数小于n时循环*/ if (vset[E[j].u] != vset[E[j].v]) { printf("(%d,%d):%d\n",E[j].u,E[j].v,E[j].w); k++; for (i=0;i<n;i++) /*两个集合统一编号*/ if (vset[i]==vset[E[j].v]) vset[i]=vset[E[j].u]; } j++; /*扫描下一条边*/ } }

20. 完整的克鲁斯卡尔算法应包括对边按权值递增排序，上述算法假设边已排序的情况下，时间复杂度为O(n2)。完整的克鲁斯卡尔算法应包括对边按权值递增排序，上述算法假设边已排序的情况下，时间复杂度为O(n2)。 如果给定的带权连通无向图G有e条边,n个顶点，采用堆排序(在第10章中介绍)对边按权值递增排序，那么用克鲁斯卡尔算法构造最小生成树的时间复杂度降为O(eloge)。 由于它与n无关，只与e有关，所以说克鲁斯卡尔算法适合于求边稀疏的网的最小生成树。

21. 7.5 有向无环图及其应用 1. 拓扑排序（Topological Sort） 设G=(V,E)是一个具有n个顶点的有向图,V中顶点序列v1,v2,…,vn称为一个拓扑(有序)序列,当且仅当该顶点序列满足下列条件：若<vi,vj>是图中的弧(即从顶点vi到vj有一条路径),则在序列中顶点vi必须排在顶点vj之前。 在一个有向图中找一个拓扑序列的过程称为拓扑排序。

23. 拓扑序列： C1, C2, C3, C4, C5, C8, C9, C7, C6。 拓扑序列： C1, C2, C3, C8, C4, C5, C9, C7, C6 。 用顶点表示活动，用弧表示活动间的优先关系的有向图，称为顶点表示活动的网(Activity On Vertex Network)，简称为AOV-网。

24. 如何进行拓扑排序？ • 方法一：（从图中顶点的入度考虑） • 从有向图中选择一个没有前驱(即入度为0)的顶点并且输出它。 • 从网中删去该顶点和所有以它为尾的弧； • 重复上述两步,直到图全部顶点输出；或当前图中不再存在没有前驱的顶点。 v1，v6，v4，v3，v2，v5 或 v1，v3，v2，v6，v4，v5

25. 方法二：（从图中顶点的出度考虑，得到逆拓扑序列）方法二：（从图中顶点的出度考虑，得到逆拓扑序列） • 从有向图中选择一个出度为0的顶点并且输出它。 • 从网中删去该顶点和所有以它为头的弧； • 重复上述两步,直到图全部顶点输出；或当前图中不再存在出度为0的顶点。 方法三：当有向图中无环时，利用深度优先遍历进行拓扑排序 从某点出发进行DFS遍历时，最先退出DFS函数的顶点即出 度为0的顶点，是拓扑序列中最后一个顶点。按退出DFS函数的 先后记录下来的顶点序列即为逆拓扑序列。 问题：判定一个图是否有圈（回路）的方法？

26. Status TopologicalSort( ALGraph G) { int St[MAXV], top=-1; /*栈St的指针为top*/ FindInDegree(G, indegree); for (i=0; i<G.vexnum; i++) if (! indegree[i]) { top++; St[top]=i; } count = 0; while (top>-1) { /*栈不为空时循环*/ i=St[top]; top--; printf("%d ",i); ++count; for( p=G.vertices[i].firstarc; p; p=p->nextarc){ k = p->adjvex; adj[j].count--; if ( !(--indegree[k])) { top++; St[top]=k; } } } if(count<G.vexnum) return ERROR; else return OK; }

27. void FindInDegree( ALGraph G, int *indegree)  { int i; ArcNode *p;  for(i=0; i<G.vexnum; i++) indegree[i] = 0;  for(i=0; i<G.vexnum; i++) { p=G.vertexes[i].firstarc;  while(p! =NULL) { indegree[p->adjvex]++;  p = p->nextarc;  } //while } // for }

28. 作业： 7.5 7.7