第二章直線與圓

第二章直線與圓 2–2線性規劃

目錄 • 2–2 線性規劃 • 甲﹑二元一次不等式 • 乙﹑線性規劃的意義

請看課本p.103 • 前一節討論過二元一次方程式及其幾何意義, 底下我們接著探討二元一次不等式及其幾何意義. 例題1 隨堂練習1 例題2 隨堂練習2 下一主題

甲﹑二元一次不等式 請看課本p.103 • 　　若a, b, c為三個實數且a, b至少有一不為0, 則形如ax＋by＋c＞0,ax＋by＋c≥0, ax＋by＋c＜0,ax＋by＋c≤0,都稱為二元一次不等式. • 例如：3x － 2y ＞ 6 , x ＋2y ≥4 , －2x + 5y＜10 , • 5x－2y ≤ 4 皆為二元一次不等式. 滿足二元一次不等式的有序數對(x, y), 稱為該不等式的解. 例題1 隨堂練習1 例題2 隨堂練習2 下一主題

請看課本p.103 • 我們知道坐標平面上, 二元一次方程式的所有解所形成的圖形為一直線, 那二元一次不等式的所有解所形成的圖形是什麼呢？我們先看下面的表格. (–1, 4),(0, 2),(1, 0),(2, –2),(3, –4),  (2, –1),(3, –1),(4, –1) , (2, 0),(3, 0),(4, 0), (1, 1), (2, 1),(3, 1),(4, 1),  例題1 隨堂練習1 例題2 隨堂練習2 下一主題

請看課本p.103 2x + y 2=0 的圖形為一直線. 2x + y 2>0 的圖形是什麼呢？例題1 隨堂練習1 例題2 隨堂練習2 下一主題

請看課本p.104 • 　　底下我們就來討論二元一次不等式的圖形. 設直線L：ax＋by＋c＝0,考慮a＞0, 此時直線L將坐標平面分成直線L本身及兩個半平面H1, H2三部分, 如圖所示. 設直線L：2x+y – 2=0, 則直線L將坐標平面分成直線L本身及兩個半平面H1, H2三部分, 如圖所示. 例題1 隨堂練習1 例題2 隨堂練習2 下一主題

請看課本p.104 設P(x0, y0)為半平面H1內任一點, 過P作y軸的垂直線且與L交於點P'(x0', y0), 則設P(x0, y0)為半平面H1內的任一點, 過P作y軸的垂直線且與L交於點P'(x0', y0), 則又點P在P'的右側又點P在P'的右側例題1 隨堂練習1 例題2 隨堂練習2 下一主題

請看課本p.104 所以, 點P(x0 , y0)在直線 L：ax＋by＋c＝0的右側⇔ (x0 , y0)為ax＋by＋c＞0的解. 所以, 點P(x0 , y0)在直線 L：2x＋y－2＝0的右側⇔ (x0 , y0)為2x＋y－2＞0的解. • 同理可得： • 點P(x0 , y0)在直線L：ax＋by＋c＝0的左側⇔ • (x0 , y0)為ax＋by＋c＜0的解. 例題1 隨堂練習1 例題2 隨堂練習2 下一主題

請看課本p.105 • 綜合上述討論可知：當a＞0時,不等式ax＋by＋c＞0所有解所成的圖形就是直線L：ax＋by＋c＝0的右半平面. 不等式ax＋by＋c＜0所有解所成的圖形就是直線L：ax＋by＋c＝0的左半平面. 例題1 隨堂練習1 例題2 隨堂練習2 下一主題

請看課本p.105 • 圖示如下: (a) (b) 例題1 隨堂練習1 例題2 隨堂練習2 下一主題

請看課本p.105 • 　　前段討論, 我們以a > 0說明, 當a < 0時, 我們可利用移項的方法, 將不等式的x項係數變為大於0, 再討論之. • 當b≠0時, 我們也可以仿照上述方法討論, 底下僅列出b > 0時的結論. 當b＞0時,不等式ax＋by＋c＞0所有解所成的圖形就是直線L：ax＋by＋c＝0的上半平面. 不等式ax＋by＋c＜0所有解所成的圖形就是直線L：ax＋by＋c＝0的下半平面. 例題1 隨堂練習1 例題2 隨堂練習2 下一主題

請看課本p.106 • 圖示如下: (a) (b) • 註:不等式ax＋by＋c > 0與ax＋by＋c < 0, 其圖形不含直線部分, 繪圖時,圖形中的直線以虛線表示. • 不等式ax + by +c ≤ 0與ax + by + c ≤ 0, 其圖形含直線部分, 繪圖時,圖形中的直線以實線表示. 例題1 隨堂練習1 例題2 隨堂練習2 下一主題

例題1 請看課本p.106 在坐標平面上畫出下列各不等式的解：x＋2y ≥ 4.2x－y－4 < 0. • 解： 先以實線畫出直線 L1：x＋2y = 4 的圖形, 則不等式x＋2y ≥ 4的解為直線L1及L1的右半平面, 如右圖的藍色直線及粉紅色部分. 例題1 隨堂練習1 例題2 隨堂練習2 返回下一主題

例題1 請看課本p.106 在坐標平面上畫出下列各不等式的解：x＋2y ≥ 4.2x－y－4 < 0. • 解： 先以虛線畫出直線 L2：2x－y－4 = 0的圖形, 則不等式2x－y－4＜0的解為直線L2的左半平面, 如右圖的粉紅色部分. 例題1 隨堂練習1 例題2 隨堂練習2 返回下一主題

隨堂練習1 請看課本p.107 在坐標平面上畫出下列各不等式的解： 3x＋2y ≤ 6. x－2y > 2. • 解： 先以實線畫出直線 L1：3x + 2y = 6的圖形, 則不等式3x + 2y ≤ 6的解為直線L1及L1的左半平面, 如右圖的直線及著色部分. 例題1 隨堂練習1 例題2 隨堂練習2 返回下一主題

隨堂練習1 請看課本p.107 在坐標平面上畫出下列各不等式的解： 3x＋2y ≤ 6. x－2y > 2. • 解： 先以虛線畫出直線 L2：x– 2y = 2的圖形, 則不等式x– 2y > 2的解為直線L2的右半平面, 如右圖的著色部分. 例題1 隨堂練習1 例題2 隨堂練習2 返回下一主題

例題2 請看課本p.107 圖解二元一次聯立不等式 • 解：解聯立不等式與解例題1 隨堂練習1 例題2 隨堂練習2 返回下一主題

例題2 請看課本p.107 圖解二元一次聯立不等式 • 解： • (a) 先以實線畫出直線L1：x – 2y = – 2的圖形, • 則不等式x – 2y ≤ – 2的解為直線L1及L1的左半平面, 如右圖的藍色直線及粉紅色部分. • (b) 先以虛線畫出直線L2：2x＋y– 2=0的圖形, 例題1 隨堂練習1 例題2 隨堂練習2 返回下一主題

例題2 請看課本p.107 圖解二元一次聯立不等式 • 解： • 則不等式2x＋y –2＞0的解為直線 L2的右半平面, • 如右圖的橘色部分. • 取(a)(b)兩部分的重疊區域, • 即得二元一次聯立不等式的解, • 如圖中的粉紅色與橘色重疊部分 • （含重疊部分的藍色直線）. 例題1 隨堂練習1 例題2 隨堂練習2 返回下一主題

隨堂練習2 請看課本p.107 圖解二元一次聯立不等式 • 解： • 解聯立不等式 • 與解　　　　　　　同義. 例題1 隨堂練習1 例題2 隨堂練習2 返回下一主題

隨堂練習2 請看課本p.107 圖解二元一次聯立不等式 • 解： • (a) 先以虛線畫出直線L1：3x – 2y = – 6的圖形, • 則不等式3x – 2y < – 6的解為直線L1的左半平面. 例題1 隨堂練習1 例題2 隨堂練習2 返回下一主題

隨堂練習2 請看課本p.107 圖解二元一次聯立不等式 • 解： • (b) 先以實線畫出直線L2： x + 2y + 2 = 0的圖形, • 則不等式x + 2y + 2 ≤ 0的解為直線L2及L2的左半平面. • 所以二元一次聯立不等式的解為著色重疊的部分（含重疊部分的直線）. 例題1 隨堂練習1 例題2 隨堂練習2 返回下一主題

請看課本p.108 • 　　在坐標平面上, 當點(x, y)的x坐標與y坐標都是整數時, 我們稱點(x, y)為格子點. 前一主題例題3 隨堂練習3 下一主題

例題3 請看課本p.108 圖解二元一次聯立不等式 承, 試問滿足二元一次聯立不等式的格子點共有多少個？前一主題例題3 隨堂練習3 返回下一主題

例題3 請看課本p.108 圖解二元一次聯立不等式 • 解： •  作直線x = 0 , x = 7, y = 0, y = 3, x + y = 9, 4x + 5y = 30 ,可得二元一次聯立不等式的解, • 如右圖黃色部分的四邊形及其邊界. 前一主題例題3 隨堂練習3 返回下一主題

例題3 請看課本p.108 承, 試問滿足二元一次聯立不等式的格子點共有多少個？ • 解： • 配合條件就y值逐列討論, 前一主題例題3 隨堂練習3 返回下一主題

例題3 請看課本p.108 承, 試問滿足二元一次聯立不等式的格子點共有多少個？ • 解： • (a)當y = 0時, 則　　　　　 , 無解. • (b)當y = 1時, 則　　　　　, 得x=7. 前一主題例題3 隨堂練習3 返回下一主題

例題3 請看課本p.108 承, 試問滿足二元一次聯立不等式的格子點共有多少個？ • 解： • (c)當y = 2時, 則　　　　 , 得x = 5, 6, 7. • (d)當y = 3時, 則　　　　, 得x = 4, 5, 6. 前一主題例題3 隨堂練習3 返回下一主題

例題3 請看課本p.108 承, 試問滿足二元一次聯立不等式的格子點共有多少個？ • 解： • 所以滿足二元一次聯立 • 不等式的格子點有(7, 1), • (5, 2), (6, 2), (7, 2), (4, 3), • (5, 3), (6, 3), 共有7個. • 註：也可就x值逐行討論. 前一主題例題3 隨堂練習3 返回下一主題

隨堂練習3 請看課本p.109 試問在二元一次聯立不等式　　　　　中, 共有多少個格子點？ • 解： • 先畫出聯立不等式的圖形, • 如右圖著色區域. • 由於x, y必須是整數,因此, 在著色區域中找出x坐標與y坐標均為整數的點, 前一主題例題3 隨堂練習3 返回下一主題

隨堂練習3 請看課本p.109 試問在二元一次聯立不等式　　　　　中, 共有多少個格子點？ • 解：有 • (0, 0), (0, 1), (0, 2), (0, 3), • (0, 4), (0, 5), (1, 0), (1, 1), • (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 0), • (2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 0), • (3, 1), (3, 2), (4, 0)共19個格子點. 前一主題例題3 隨堂練習3 返回下一主題

乙﹑線性規劃的意義 請看課本p.109 • 當我們經營一家公司時, 一定會考慮如何在有限的人力﹑機器﹑成本及資金等條件的限制下, 達成獲取最大利潤或使用最少成本等目標. 線性規劃就是研究如何把這類問題的限制條件與目標, 用數學的式子表達出來, 然後透過數學理論, 找出獲取最大利潤或使用最少成本等目標的最佳解決方法, 這是非常實用的一門學問. • 　　對一般人而言, 學習數學的主要目的是為了解決他們所遇到的一些問題, 因此, 如何將所遇到的問題轉換成數學問題（模型）,且此數學問題是否能充分反應原來的問題, 就成為一個重要課題. 其步驟與流程如下: 前一主題例題4 下一主題

請看課本p.109 • 將實際問題（如：自然現象﹑工程﹑物理﹑經濟…）轉換成數學模型（問題）. • 利用數學理論來解這個數學問題. • 解釋和檢驗所得到的數學結果（和實際的資料比對）是否合理. • 若不合理則修正模型, 若合理則此模型將可作為預測﹑分析實際問題之用. • 　　底下我們就來介紹線性規劃的觀念及其應用.　我們先來看下面的例子. 前一主題例題4 下一主題

例題4 請看課本p.110 • 某搬運公司有7輛6噸卡車, 3輛10噸卡車和9名司機. 若公司接受委託, 每天要從高雄港運送至少360噸的貨物到楠梓加工廠, 已知6噸卡車一天要跑8趟, 而10噸卡車一天要跑6趟. • 試問搬運公司分派卡車的方法數共有幾種？ •  若6噸卡車每天可獲得利潤為2000元, 10噸卡車每天可獲的利潤為3000元, 試問搬運公司應如何分配才能獲得最大利潤？前一主題例題4 返回下一主題

例題4 請看課本p.110 • 試問搬運公司分派卡車的方法數共有幾種？ • 解： •  設搬運公司分派x輛6噸卡車, y輛10噸卡車, 在卡車數和司機有限的條件下, 可列出下列的二元一次聯立不等式：前一主題例題4 返回下一主題

例題4 請看課本p.110 請看課本p.110 • 試問搬運公司分派卡車的方法數共有幾種？ • 解： • 又x, y必須是整數, • 所以此問題即為找出上述聯立不等式的格子點, 前一主題例題4 返回下一主題

例題4 請看課本p.110 • 試問搬運公司分派卡車的方法數共有幾種？ • 解： • 由例題3知其格子點有 • (4, 3), (5, 2), (5, 3), (6, 2), (6, 3), (7, 1), (7, 2)等7個, • 故分派卡車的方法數共有 7種. 前一主題例題4 返回下一主題

例題4 請看課本p.110 • 若6噸卡車每天可獲得利潤為2000元, 10噸卡車每天可獲的利潤為3000元, 試問搬運公司應如何分配才能獲得最大利潤？ • 解： •  依題意可得利潤 k = 2000x＋3000y元, • 由於x, y受限於聯立不等式前一主題例題4 返回下一主題

例題4 • 若6噸卡車每天可獲得利潤為2000元, 10噸卡車每天可獲的利潤為3000元, 試問搬運公司應如何分配才能獲得最大利潤？ • 解： • 即點(x, y)必須在二元一次聯立不等式的圖形上, • 因此, 我們的目的就是要在此區域內找到一點 (x, y), 使利潤k = 2000x＋3000y的值最大. • 由知, 搬運公司分配卡車的情形共有7種, 即 (4, 3), (5, 2), (5, 3), (6, 2), (6, 3), (7, 1), (7, 2). 前一主題例題4 返回下一主題

例題4 請看課本p.111 • 若6噸卡車每天可獲得利潤為2000元, 10噸卡車每天可獲的利潤為3000元, 試問搬運公司應如何分配才能獲得最大利潤？ • 解： • 因此, 卡車的利潤也有下列7種情形： • 由上表可知, 每天分派6噸卡車6輛, 10噸卡車3輛, • 可使公司獲最大利潤21000元. 前一主題例題4 返回下一主題

請看課本p.111 • 　　像例題4這種規劃如何找到最佳解決問題的方法, 我們稱之為線性規劃. 在線性規劃的問題中, • 可依題意將限制條件列出聯立不等式, 滿足此聯立不等式解的區域稱為該 • 問題的可行解區域, 如右圖 • 黃色部分的四邊形及其邊 • 界即為例題4的可行解區域. 前一主題例題5 隨堂練習5 下一主題

請看課本p.111 • 依題意將問題的目標寫成一函數的形式, 此函數稱為該問題的目標函數. • 如k＝2000x＋3000y即為例題4的目標函數. • 使目標函數產生最大值或最小值的解, 稱為該問題的最佳解. • 處理線性規劃的問題, 有時我們可以仿照例題4的方法, 將每一個可能的解代入目標函數, 求得最大值或最小值. 然而當一個問題可能的解太多時, 逐個代入目標函數的方法有時是不可行的, 因此, 底下我們介紹一種平行線的概念. 前一主題例題5 隨堂練習5 下一主題

例題5 請看課本p.112 設x, y 滿足聯立不等式 , 試求2x+y的最大值. 前一主題例題5 隨堂練習5 返回下一主題

例題5 請看課本p.112 • 解： • 首先將聯立不等式　　　　　的解圖示 • 在坐標平面上, 如右圖黃色部分的四邊形及其邊界. 前一主題例題5 隨堂練習5 返回下一主題

例題5 請看課本p.112 • 解： • 現在我們要在可行解的區域內找到一點(x, y), 使得2x＋y的值最大. 設2x＋y = k, 因2x＋y = k表斜率為–2 • 且與x軸交於(,0)的直線. 斜率為－2的平行線.  前一主題例題5 隨堂練習5 返回下一主題

例題5 請看課本p.112 • 解： • (a)當k值愈大時,直線2x＋y = k與x軸的交點愈右邊. • (b)當k值愈小時, 直線2x＋y = k與x軸的交點愈左邊. • 所以要使k值最大, 其所對應的直線要愈靠右方, • 但仍須與可行解區域保持至少還有一個交點, • 由圖中可以看出, 當直線通過時, • k值會最大, 此時 • 所以, 2x＋y有最大值前一主題例題5 隨堂練習5 返回下一主題

隨堂練習5 請看課本p.112 設x, y滿足聯立不等式：試求3x + 2y的最小值. 前一主題例題5 隨堂練習5 返回下一主題

隨堂練習5 請看課本p.112 • 解： • 首先將聯立不等式 • 的解圖示在坐標平面上, • 如右圖著色部分的四邊形及其邊界. • 現在我們就要在圖解的區域內找到一點(x, y), • 使得3x + 2y的值最小. • 設3x + 2y = k, 則3x + 2y = k可表斜率為　　且與x軸交於(, 0)的直線. 前一主題例題5 隨堂練習5 返回下一主題

隨堂練習5 請看課本p.112 • 解： • 當我們將直線3x + 2y = k平行移動時, • (a)愈往右方平行移動的直線, 其k值也愈大. • (b)愈往左方平行移動的直線, 其k值也愈小. • 因此, 要使k值最小, 其所對應的直線要愈靠左方, 且與圖解的區域至少要有一個交點, • 由圖中可以看出, 當直線通過(2, 2)時, k值會最小, • 此時k = 3 × 2 + 2 × 2 = 10, 且直線為3x + 2y = 10, • 所以, 3x + 2y有最小值10. 前一主題例題5 隨堂練習5 返回下一主題

第二章 直線與圓