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华罗庚先生在矩阵论方面的贡献. 西北 农林科技 大学 理学院 林 开亮. 丘成 桐对华先生工作的评价. 中国 近代数学 能超越西方或与之并驾齐驱的主要有三个,当然我不是说其他工作不存在,主要是 讲能够 在数学历史上很出名的有三个 : 一 个是陈省 身 ( 1911-2004 ) 教授 在示性类方面的工作; 一个是 华罗庚 ( 1910-1985 ) 在 多复变函数方面的工作 ; 一 个是 冯康 ( 1920-1993 ) 在 有限元计算方面的工作 。
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华罗庚先生在矩阵论方面的贡献 西北农林科技大学 理学院 林开亮
丘成桐对华先生工作的评价 • 中国近代数学能超越西方或与之并驾齐驱的主要有三个,当然我不是说其他工作不存在,主要是讲能够在数学历史上很出名的有三个: • 一个是陈省身(1911-2004)教授在示性类方面的工作; • 一个是华罗庚(1910-1985)在多复变函数方面的工作; • 一个是冯康(1920-1993)在有限元计算方面的工作。 • 我为什么单讲华先生在多复变函数方面的工作,这是我个人的偏见。华先生在数论方面的贡献是大的,可是华先生在数论方面的工作不能左右全世界在数论方面的发展,他在这方面的工作基本上是从外面(苏联、英国、德国)引进的观点和方法。可是他在多复变函数方面的贡献比西方至少早了十年,海外的数学家都很尊重华先生在这方面的成就。
华罗庚跟徐利治谈“看家功夫” • 华先生很重视做学问需要有“看家功夫”。所谓看家功夫指的是做科研时必不可少的最基本而有用的本事。据他所说,他扎实的看家功夫主要来源于三部经典著作。 • 一是 G. Chrystal 的《代数学》(两卷,1886年,1889年,多次重版) • 二是 E. Landau 的《数论教程》(三大卷,1927年), • 三是 W. H. Turnbull 与 A. C. Aitken 合著的《矩阵标准型理论导引》(1931年出版,1944年再版)。 • 他说,《代数学》使他学会了计算技巧,《数论教程》使他获得了从事数学研究的分析功底,而《矩阵标准型理论导引》虽是一本薄薄的书,却是帮助他后来完成矩阵几何和复分析巨大研究成果的基本工具。
转行:从数论到分析与代数 • 在1940年以前,华罗庚的数学研究主要是 受到Landau《数论教程》的影响,其成果汇集成专著《堆垒素数论》;在1940年以后,对华罗庚影响越来越深的是Turnbull与Aitken的《矩阵标准型理论导引》,其影响见于华罗庚1940年代关于多复变函数与矩阵几何的多篇论文。
万哲先对华罗庚矩阵论工作的概括: • 华罗庚关于矩阵几何和多元复变函数论的研究,还促使他研究矩阵的分类问题,例如,复对称矩阵和斜对称矩阵在酉群相合下的分类,一对Hermite矩阵在同时相合下的分类,以及Hermite矩阵在正交群相合下的分类。 • 应该指出,这个概括并不全面,华罗庚在1962年还发表了两篇中文文章《辛方阵的辛相似》与《方阵的实相合》,这两篇文章考虑的也是矩阵分类问题(即标准型问题),而这些结果华罗庚早在1944-1945年就已经得到。
一个被忽略的贡献:华罗庚链(1947) • 定理:设 P(n),R(n) 分别表示使得方程 A_i^2=-I ,A_iA_j=-A_jA_i, (i=1,…,r) 在辛群 Sp(n,C)与正交群 O(n,C)中有解的最大整数 r, Q(n),S(n)分别表示使得方程 B_i^2=I, B_iB_j=-B_jB_i, (i=1,…,r) 在辛群 Sp(n,C)与正交群 O(n,C)中有解的最大整数r。 • 则有以下循环递推关系 • P(2n)=S(n)+2, • S(2n)=R(n)+2, • R(2n)=Q(n)+2, • Q(2n)=P(n)+2. 并且对奇数奇数n_0,我们有以下初始值: • S(n_0)=1, • R(n_0)=0, • R(2n_0)=1, • Q(2n_0)=1. 【华罗庚原文:L. K. Hua, Geometries of Matrices II. Study of involutions in the geometry of symmetric matrices, Trans. A. M. S. 61 (1947), 193--228. 】
Hurwitz-Radon 矩阵方程的两种解法:Huavs Radon • 值得注意的是,奥地利数学家J. Radon(1887-1956)在1920年曾提出一种类似的方案求解A. Hurwitz(1859-1919)的矩阵问题,但他所给出的是8个方程构成的链,一个中文介绍见: • 江上鷗,Hurwitz-Radon问题——等价和约化是处理数学问题的一种基本方法,《数学通报》,1964年04期。
辛矩阵在辛相似下的标准型(1945) • 在复数域内, 大家知有四个主要类型的连续单群:射影群, 奇数维或偶数维的正交群及偶数维的辛群。射影群下的相似问题见于任何的矩阵论教科书上(Jordan标准型理论)。正交群下的相似问题已为Hilton所解决。本文的目的在于解决辛群下辛方阵的相似问题。用几何术语来讲,以下的结果寻求使基本线丛不变的条件下求出辛变换的标准型来。
20世纪矩阵标准型理论的两位先驱:Huavs Williamson • 华罗庚之所以迟至1962年才发表他1944-1945年完成的旧稿,可能是因为,他曾被身为审稿人的 H. Weyl(1885-1955)告知,他的部分工作与 J. Williamson的工作重合。 • 例如,关于辛矩阵(正则矩阵)的标准型工作。Williamson的工作在1937年就完成:见 J. Williamson, On the normal forms of linear canonical transformations in dynamics, Amer. J. Math., 59 (1937), 599-617.
Williamson • John Williamson(1901—1949),苏格兰数学家。 1927年,Williamson 在芝加哥大学 L. E. Dickson (1874-1954)的指导下获得博士学位(而杨武之则在1928年得博士学位,可以说 Williamson是华罗庚的师伯)。 得到学位之后,Williamson 在霍普金斯大学找到了职位,当时的数学系主任是F. D. Murnaghan(1873-1976)。Murnaghan对数学物理很有兴趣,他在1930年与1931年又聘来与他趣味相投的A. Wintner(1903-1958)与 R. E. van Kampen(1908-1942)。这些人的工作特别是Wintner关于 Hamilton 系统与微分方程的工作,推动了 Williamson去研究动力系统中的代数问题,其中有一些可以归结为矩阵的标准型问题。 从1935年开始,Williamson 考虑了各种类型的矩阵标准型问题,在1935-1940年间,他平均每年要发表两篇关于这个主题的论文,这是他的主要数学贡献。
风格之评价 • Williamson受到美国近世代数先驱Dickson的影响,致力于将问题一般化,考虑的是任意域上的矩阵,因而结果的陈述及其证明都比较繁琐。因此,他的工作曾被一些后继者(甚至包括名家L. Hörmander(1931-1012))改进。 • 华罗庚考虑的仅仅是复数域(偶尔限制于实数域)上的矩阵,由于代数基本定理成立,保证结果呈现出简洁明了的形式。华罗庚的相关工作后来在《中山大学学报》重新发表,也是因为他的表述便于应用,特别是对于中山大学研究动力系统的胡金昌教授(1906-1976)。但因为是用中文发表,不为西方所知,甚至国内研究辛几何的专家(如龙以明教授)也不知道华先生的这一工作。 • Williamson与华罗庚都受到了Turnbull 与 Aitken的《矩阵标准型理论导引》的强烈影响。事实上, Turnbull 是Williamson在爱丁堡大学的老师。他们靠的是代数计算。
矩阵标准型理论的两种研究方法:几何 vs代数 • 华罗庚与Williamson所采取的是深受Turnbull 与 A. C. Aitken《矩阵标准型理论导引》影响的代数方法。 • 存在与之平行的一种几何方法,即将矩阵视为线性变换,采取这个观点研究线性代数的同期代表人物是E. Artin(1898-1962)与J. Dieudonné(1906-1992). 后者是华罗庚在典型群方面的主要竞争对手。他们的差别主要体现在研究手法上:代数 vs几何。另一个支持几何方法的代表人物是周炜良(1911-1995),他1949年关于代数齐性空间的论文将华罗庚矩阵几何的工作真正几何化。
两个评论 • E. Artin: 我的经验是,一个用矩阵进行的证明,如果你抛开矩阵的话,往往可以使这个证明缩短一半。有时,这一点是办不到的,你需要计算一个行列式。 • J. Dieudonné: 数学家希望因为他们最难的定理而被人们记住,但是大多数时候,正是他们最简单的结果在后人中流传。
一个疑问 • 华罗庚1940年代在与世隔绝的西南联大另起炉灶,独立于C. L. Siegel(1896-1981)石破天惊地开创了多复变函数论的研究,有何契机? • Siegel 1943年的经典论文《辛几何》曾受到E. Cartan 1935年论文的启发。注意到,E. Cartan(1869-1951)是陈省身的老师,是否存在这样的可能:陈省身曾在某个场合,向华罗庚提起 E. Cartan的相关工作,引发了华罗庚研究多复变? 【一个支撑材料是:华罗庚在1944年发表的第一篇多复变论文中曾感谢陈省身向他提供了E. Cartan的论文。华罗庚还提到唐培经向他提供了Georges Giraud的论文,Weyl向他提供了Siegel的论文。】
参考文献 [1]丘成桐,数学及其在中国的发展,1997年在清华大学高等研究中心开幕上的讲话,《数学译林》第20卷(1999年),194--201. 收入王元、杨德庄《华罗庚的数学生涯》附录一。 [2]徐利治,回忆我的老师华罗庚先生——纪念华老诞辰90周年,《数学通报》,2000. [3] 王元,《华罗庚》,开明出版社,1994。 [4]林开亮, 华罗庚关于矩阵标准型的工作介绍, 将刊登于台湾《数学传播》。 [5] K. L. Lin, Hurwitz-Radon‘s symplectic analogy and Hua’scyclic recurrence relation, Electronic Journal of Linear Algebra, 26 (2013), 858—872.