3.2 立体几何中的向量方法

1. 3.2 立体几何中的向量方法

2. 一、复习 二、讲授新课 1、用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”。 （1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题； （化为 向量问题） （2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题； （进行向量运算） （回到图形 （3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。 问题）

3. D1 C1 A1 B1 C D A B 图1 例1：如图1：一个结晶体的形状为四棱柱，其中，以顶点A为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是60°，那么以这个顶点为端点的晶体的对角线的长与棱长有什么关系？ 例题 解：如图1，设 化为向量问题 依据向量的加法法则， 进行向量运算 所以 回到图形问题 这个晶体的对角线 的长是棱长的 倍。

4. D1 C1 A1 B1 C D A B 思考： （1）本题中四棱柱的对角线BD1的长与棱长有什么关系？ 分析: （2）如果一个四棱柱的各条棱长都相等，并且以某一顶点为端点的各棱间的夹角都等于 , 那么有这个四棱柱的对角线的长可以确定棱长吗? 分析: ∴ 这个四棱柱的对角线的长可以确定棱长。

5. D1 C1 A1 B1 C D A B （3）本题的晶体中相对的两个平面之间的距离是多少？（提示：求两个平行平面的距离，通常归结为求两点间的距离） 分析：面面距离 点面距离 向量的模 回归图形 H 解： ∴ 所求的距离是

6. O D C 图2 E A B 练习: 如图2，空间四边形OABC各边以及AC，BO的长都是1，点D，E分别是边OA，BC的中点，连结DE，计算DE的长。

7. B C D A 图3 例2：如图3，甲站在水库底面上的点A处，乙站在水坝斜面上的点B处。从A，B到直线 （库底与水坝的交线）的距离AC和BD分别为 和 ,CD的长为 , AB的长为 。求库底与水坝所成二面角的余弦值。 解：如图， 化为向量问题 根据向量的加法法则 进行向量运算 于是，得 设向量 与 的夹角为 ， 就是库底与水坝所成的二面角。 因此

8. 所以 回到图形问题 库底与水坝所成二面角的余弦值为

9. B C D A 图3 例2：如图3，甲站在水库底面上的点A处，乙站在水坝斜面上的点B处。从A，B到直线 （库底与水坝的交线）的距离AC和BD分别为 和 ,CD的长为 , AB的长为 。求库底与水坝所成二面角的余弦值。 思考： （1）本题中如果夹角 可以测出，而AB未知， 其他条件不变，可以计算出AB的长吗？ 分析： ∴ 可算出 AB 的长。

10. D1 C1 A1 B1 C D A B （2）如果已知一个四棱柱的各棱长和一条对角线的长，并且以同一顶点为端点的各棱间的夹角都相等，那么可以确定各棱之间夹角的余弦值吗？ 分析：如图，设以顶点 为端点的对角线 长为 ，三条棱长分别为 各棱间夹角为 。

11. （3）如果已知一个四棱柱的各棱长都等于 ，并且以某一顶点为端点的各棱间的夹角都等于 ，那么可以确定这个四棱柱相邻两个夹角的余弦值吗？ D1 C1 A1 B1 分析： 平面角 向量的夹角 二面角 回归图形 C D 解：如图，在平面 AB1内过 A1作 A1E⊥AB 于点 E， A F B E 在平面 AC 内作 CF⊥AB 于 F。 ∴可以确定这个四棱柱相邻两个夹角的余弦值。