8.1 利用演繹法解決與三角形有關的幾何問題

A B C 全等三角形相似三角形等腰三角形 8.1 利用演繹法解決與三角形有關的幾何問題目錄

A B 三角形不等式三角形中特殊線的關係 8.3 三角形中各線之間的關係目錄

8.1 利用演繹法解決與三角形有關的幾何問題 • 例題演示 A) 全等三角形 ‧ 根據全等三角形、相似三角形和等腰三角形的性質或判定條件，我們可以運用演繹法去證明及推論出更多的幾何結果。目錄 • 目錄 8.1

習題目標 • 涉及全等三角形的證明。 8.1利用演繹法解決與三角形有關的幾何問題在四邊形 OABC 中，OA = OC及 AB = BC。證明 OAB = OCB。連接 OB，得 △OAB和 △OCB，如圖所示。 OA = OC 已知 AB = CB 已知 OB = OB 公共邊 ∴△OAB△OCB SSS ∴ OAB = OCB 全等 △的對應角 • 重點理解 8.1.1 目錄

8.1 利用演繹法解決與三角形有關的幾何問題 在圖中，ANOB，BMOA，BM 和 AN 相交於 P 。如果 OM = ON，證明 (a) △OAN△OBM， (b) AM = BN。目錄

習題目標 • 涉及全等三角形的證明。 8.1利用演繹法解決與三角形有關的幾何問題 • 返回問題 (a) 在 △OAN和 △OBM中， ANO = BMO = 90° 已知 ON = OM 已知 AON = BOM 公共角 ∴ △OAN△OBM ASA (b) ∵△OAN△OBM 在 (a) 已證 ∴ OA = OB 全等 △ 的對應邊又OM = ON 已知 AM = OA – OM BN = OB – ON ∴AM = BN • 重點理解 8.1.1 目錄

8.1利用演繹法解決與三角形有關的幾何問題 在 △ACD，BDAC。E是　BD 上的一點，且 AE = DC及BE = BC。 (a) 證明 BA = BD。 (b) 證明 DAE = BCD – 45°。 (a) 在 △ABE 和 △DBC中， ABE = DBC = 90° 已知 AE = DC 已知 BE = BC 已知 ∴ △ABE△DBC RHS ∴ BA=BD 全等 △ 的對應邊目錄

習題目標 • 涉及全等三角形的證明。 8.1利用演繹法解決與三角形有關的幾何問題 • 返回問題 (a) 在右圖所示，設未知角 x和 z。在 △ABD 中， ∵ BA = BD 在 (a) 已證 ∴ x = z 等腰.△ 底角 x + z = 90° △ 外角 ∴ x = z = 45° 在 (a) 已證 ∵△DBC△ABE ∴ BCD = BEA 全等 △ 的等應角 = z + DAE △ 外角 = 45° + DAE 即 DAE = BCD – 45° • 重點理解 8.1.1 目錄

8.1利用演繹法解決與三角形有關的幾何問題 • 例題演示 B) 相似三角形 ‧ 根據相似三角形的性質及判定條件（AAA，三邊成比例，兩邊成比例且夾角相等）我們以演繹法作簡單證明及推論出更多的幾何結果。目錄 • 目錄 8.1

8.1利用演繹法解決與三角形有關的幾何問題 在圖中，AEC和 BED都是直線。若AB = 4，BC = 6，CD = 9，AC = 8 和 BD = 12，證明 (a) △ABC ~ △BCD， (b) ABC = BCD。目錄

∴ 8.1利用演繹法解決與三角形有關的幾何問題 • 返回問題 (a) 考慮 △ABC和 △BCD。 ∴△ABC ~ △BCD 三邊成比例目錄

習題目標 • 涉及相似三角形的證明。 8.1利用演繹法解決與三角形有關的幾何問題 • 返回問題 (b) ∵ △ABC ~ △BCD 在 (a) 已證 ∴∠ABC = ∠BCD 相似 △ 的對應角目錄

8.1利用演繹法解決與三角形有關的幾何問題 在圖中，BCD是一條直線。若AB = 24 cm， BC = 18 cm，CD = 14 cm 及 AC = 21 cm， (a) 證明 △ABC ~ △DBA； (b) 求 AD的長度。目錄

∴ 8.1利用演繹法解決與三角形有關的幾何問題 • 返回問題 (a) 在 △ABC和 △DBA 中， ∠ABC = ∠DBA 公共角 ∴ △ABC ~ △DBA 兩邊成比例且夾角相等目錄

∴ 習題目標 • 涉及相似三角形的證明及求未知量。 8.1利用演繹法解決與三角形有關的幾何問題 • 返回問題 (b) ∵ △ABC ~ △DBA 在 (a) 已證在相似△的對應邊目錄

8.1利用演繹法解決與三角形有關的幾何問題 在圖中，M和 N分別是 AB和 AC 的中點。MC和 NB相交於 G 點。證明 (a) △AMN ~ △ABC； (b) △GMN ~ △GCB； (c) 目錄

即即 ∴ 8.1利用演繹法解決與三角形有關的幾何問題 • 返回問題 (a) 在 △AMN和 △ABC 中， M是 AB的中點。已知 N是 AC 的中點。已知 ∠MAN = ∠BAC 公共角 ∴ △AMN ~ △ABC 兩邊成比例且夾角相等目錄

8.1利用演繹法解決與三角形有關的幾何問題 • 返回問題 (b) ∵ △AMN ~ △ABC 在 (a) 已證 ∴ ∠AMN = ∠ABC 相似 △ 的對應角 ∴ MN // BC 同位角相等在 △GMN和 △GCB中， ∠MGN =∠CGB 對頂角 ∠GMN =∠GCB 內錯角，MN // BC ∠GNM =∠GBC 內錯角，MN // BC ∴ △GMN ~ △GCB AAA 目錄

∴ ∴ 習題目標即 • 涉及相似三角形的證明。 8.1利用演繹法解決與三角形有關的幾何問題 • 返回問題 (c) ∵ △AMN ~ △ABC 在 (a) 已證相似 △ 的對應邊 ∵ △GMN ~ △GCB 在 (b) 已證相似 △ 的對應邊 • 重點理解 8.1.2 目錄

‧ 根據等腰三角形的性質或判定條件： i. 等腰三角形的兩個底角相等， ii. 若一個三角形有兩個角相等，則這兩角的對邊亦相等，即該三角形是等腰三角形，我們可以運用演繹法去證明及推論出更多的幾何結果。 8.1利用演繹法解決與三角形有關的幾何問題 • 例題演示 C) 等腰三角形目錄 • 目錄 8.1

8.1利用演繹法解決與三角形有關的幾何問題 在 △ABC 中，AB = AC。D是 AC上的一點，使 BD  AC。證明 ∠BAC = 2∠DBC。設 ∠DBC = x。 ∠BDA = 90° 已知在 △BCD中， ∠DCB + x = 90° △外角 ∠DCB = 90° – x 即 ∠ACB = 90° – x 目錄

習題目標 • 涉及等腰三角形的證明。 8.1利用演繹法解決與三角形有關的幾何問題 • 返回問題在 △ABC中， AB = AC 已知 ∴ ∠ABC = ∠ACB 等腰 △ 底角即∠ABC = 90° – x ∵ ∠BAC + ∠ABC + ∠ACB = 180° △ 內角和 ∠BAC + (90° – x) + (90° – x) = 180° 即 ∠BAC = 2x ∴∠BAC = 2∠DBC 目錄

8.1利用演繹法解決與三角形有關的幾何問題 在圖中，D是 AB 上的一點，AD = 12.5 cm， DB = 10 cm 及 BC = 15 cm。 (a) 證明 △ABC ~ △CBD 。 (b) 若∠CBD = ∠CDB，證明 △ABC 是等腰三角形。目錄

∴ 8.1利用演繹法解決與三角形有關的幾何問題 • 返回問題 (a) 考慮 △ABC和 △CBD 。 ∠ABC = ∠CBD 公共角 ∴△ABC ~ △CBD 兩邊成比例且夾角相等目錄

∴ 習題目標 • 涉及等腰三角形的證明。 8.1利用演繹法解決與三角形有關的幾何問題 • 返回問題 (b) 在 △CBD 中， ∠CBD = ∠CDB 已知 ∴CB = CD 等角對邊相等 ∵ △ABC ~ △CBD 在 (a) 已證相似 △ 的對應邊即AB = AC ∴△ABC 是等腰三角形。 • 重點理解 8.1.3 目錄

i. 角平分線 是將一個內角平分的線段。例如：圖中的 AD是∠A的角平分線。 8.2三角形內一些特殊的線三角形內一些特殊的線 ‧ 參看各圖中的 △ABC：目錄

ii. 垂直平分線 是垂直且平分一條邊的直線。例如：圖中的 DE是 AC 的垂直平分線。 iii. 中線是連接頂點與它對邊中點的線段。例如：圖中的 BD是一條中線。 8.2三角形內一些特殊的線三角形內一些特殊的線目錄

iv. 頂垂線是從頂點向它對邊所作的垂直線段。例如：圖中的 BD 是一條頂垂線。 8.2三角形內一些特殊的線 • 例題演示三角形內一些特殊的線目錄

8.2三角形內一些特殊的線 如圖中，P、Q、R分別是 △ABC中 AB、BC、CA 上的點。已知 PQ = PR，且 PQ^BC及 PR^CA，證明 CP是 ∠BCA的角平分線。目錄

習題目標 • 涉及三角形內特殊線的證明。 8.2三角形內一些特殊的線 • 返回問題在△CPQ 和△CPR中， PQ = PR 已知 ∠PQC = ∠PRC = 90° 已知 PC = PC 公共邊 ∴△CPQ@△CPR RHS ∴ ∠QCP = ∠RCP 全等 △ 的對應角即 CP是 ∠BCA的角平分線。目錄

8.2三角形內一些特殊的線 在圖中，AC與 BD相交於 E，且 AB = BC = CD。若 BE是∠ABC 的角平分線，證明 E是 BD的中點。在△BAC中， AB = BC 已知即 △BAC是等腰三角形。 ∵ BE 是∠ABC 的角平分線。已知 ∴ BE^ AC 等腰 △ 性質目錄

習題目標 • 涉及三角形內特殊線的證明。 8.2三角形內一些特殊的線 • 返回問題在 △CBD中， BC = CD 已知即 △CBD是等腰三角形。 ∵ ∠BEC = 90° 即 CE 是由 C 至 BD的頂垂線。 ∴ CE是由 C 至 BD的中線。等腰 △ 性質即 E 是 BD的中點。 • 重點理解 8.2.1 目錄

8.3三角形中各線之間的關係 ‧ 在三角形中，任何兩邊長度之和必大於第三條邊的長度。例如：在圖中，a + b > c, b + c > a, c + a > b. • 例題演示 A) 三角形不等式目錄 • 目錄 8.3

8.3三角形中各線之間的關係 已知三條分別長 3、4 及 5 單位的線段，這些線段可以構成一個三角形嗎？由於 3 + 4 > 5，4 + 5 > 3 和 5 + 3 > 4，所以　這三條線段可以構成一個三角形。目錄

8.3三角形中各線之間的關係 已知三條分別長15、4 及 7 單位的線段，這些線段可以構成一個三角形嗎？由於 15 + 4 > 7，15 + 7 > 4，但 4 + 7 < 15，所以　這三條線段不可以構成三角形。 • 重點理解 8.3.1 目錄

8.3三角形中各線之間的關係 1. 三角形的三條角平分線必定共點，它們的交點稱為三角形的內心。以內心為圓心，可作一圓（內切圓）與三角形各邊只相交於一點。 B) 三角形中特殊線的關係目錄

8.3三角形中各線之間的關係 • 三角形三條邊的垂直平分線必定共點，它們的交點稱為三角形的外心。以外心為圓心，可作一圓（外接圓）通過三角形的各個頂點。 B) 三角形中特殊線的關係目錄

8.3三角形中各線之間的關係 3. 三角的三條中線必定共點，它們的交點稱為三角形的形心。形心將每條中線分為兩段，它們的比是 2 : 1。 • 三角形的三條頂垂線必定共點，它們的交點稱為三角形的垂心。 • 例題演示 B) 三角形中特殊線的關係目錄 • 目錄 8.3

8.3三角形中各線之間的關係 在圖中，AI、BI及 CI是 △ABC 的三條角平分線，三線的交點 I 便是 △ABC的內心。目錄

8.3三角形中各線之間的關係 在圖中，PO、QO及 RO是 △ABC三邊的垂直平分線，三線的交點 O便是外心。在圖中，L、M及 N是 △ABC三邊的中點，而 AL、BM及 CN是中線，三線的交點 G便是形心。 • 重點理解 8.3.2 目錄

8.1 利用演繹法解決與三角形有關的幾何問題

8.1 利用演繹法解決與三角形有關的幾何問題

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