Veronica Gavagna Università di Salerno

1. Dalle radici sofistiche ai numeri complessiUn caso di studio per la storia della matematica in classe Veronica Gavagna Università di Salerno

2. Bozza Indicazioni Ministeriali: «connettere le varie teorie matematiche studiate con le problematiche storiche che le hanno originate e di approfondirne il significato.» • Formazione degli insegnanti • Reperimento delle fonti (cartacee e/o elettroniche)

3. Home page Il Giardino di Archimedehttp://web.math.unifi.it/archimede/http://php.math.unifi.it/convegnostoria/convegnostoria2/index.html

4. Un progetto di laboratoriosull’algebra rinascimentale • Le equazioni di II grado nell’algebra retorica e sincopata • Le equazioni di III grado: (storia) e analisi della formula risolutiva • Il problema del caso irriducibile e la questione delle radici di numeri negativi: strumenti e soluzioni

5. Perché avvicinare uno studente all’algebra rinascimentale? (Luis Radford on the historicalcostruction of the mathematicalknowledge) … most of the time the teachers’ ideasabout the mathematicalcontenttheyteach derive from the onlycontemporarymathematicalformulation of the content under consideration. Now the contemporaryformulationis the result of a long process of conceptualchanges and transformation and notnecessarily the best startingpoint for students […] Where algebra isconcerned, contemporaryformulationfavours, in particular the ‘symbolism’ of algebra; in thiscontext, algebra isoftenseenas the mastering of a certainsymboliclanguage so, right from the beginning, allefforts in the classroom are made for students to becomecompetent in thislanguage […] Isitpossible to introduce algebra in schoolwithouthaving the immediate objective of mastering the modernsymboliclanguage?

6. Perché avvicinare uno studente all’algebra rinascimentale? Un approccio storico a taluni argomenti, magari favorito da progetti interdisciplinari, favorisce negli studenti • la consapevolezza dell’unitarietà della cultura e un atteggiamento critico verso la dicotomia artificiale cultura scientifica vs cultura umanistica • la percezione del fatto che la matematica ha una profondità storica e uno spessore culturale e non è un insieme di tecniche applicate talvolta a simboli vuoti di significato

7. L’algebra rinascimentaleIl contesto storico Erede dell’algebra araba del IX-X secolo, penetra nell’Occidente latino soprattutto a partire dal XIII secolo tramite Leonardo Pisano (e altre fonti indipendenti) Fiorisce nelle (migliori) botteghe d’abaco, dove si educa lo strato culturale intermedio E’ un’algebra retorica che serve essenzialmente per risolvere problemi pratici

8. Come avvicinare uno studente all’algebra rinascimentale? Lettura delle fonti -- mediata dall’insegnante --non disgiunta dalla contestualizzazione storica. La scelta dell’autore/autori può offrire la possibilità di attività interdisciplinari che esplorino aspetti inediti di questo periodo storico. Piero della Francesca rappresentante sui generis dello strato sociale intermedio poichéscrive libri in volgare e in latino Oltre al De prospectivapingendi… è anche autore del Libellus de quinquecorporibusregularibuse del Trattato d’abaco

9. Le equazioni di secondo gradoUna necessaria premessa Non esiste un’equazione di II grado, ma tre casi, determinati dalla condizione che i coefficienti devono essere positivi con b, c >0 con b, c di segno qualsiasi

10. Piero della FrancescaTrattato d’abaco Et i composti sono quando i censi e le cose sono equali a li numeri [4], et quando i censi e i numeri sono equali a le cose [5] , et quando il censo equale a le cose e al numero [6]. Quando i censi e le cose sono equali al numero se vole recare a un censo, et demeççare le cose et moltiplicare in sé, e quello che fa ponare sopra il numero; e la radici de la somma meno il dimeççamento de le cose vale la cosa [4a]. Quando i censi e numeri sono equali a le cose, se vole recare a un censo, e demeççare le cose e moltiplicare in sé e trarne il numero: et la radici del rimanente meno del dimeççamento de le cose vale la cosa [5a]. E quando i censi sono equali a le cose e al numero, se dèi recare a un censo, et demeççare le cose, moltiplicare in sé e ponare sopra il numero; e la radici de la summa più de dimeççamento de le cose vale la cosa [6a].

11. Censi e cose uguale a numero Quando i censi e le cose sono equali al nu-mero se vole recare a un censo, et demeççare le cose et moltiplicare in sé, e quello che fa ponare sopra il numero; e la radici de la somma meno il dimeççamento de le cose vale la cosa [4a].

12. Problemi dell’algebra rinascimentale Cardano, Practicaarithmeticae M.° Dardi, Aliabraaargibra R. Capriglione, Un percorso storico-didattico per l’insegnamento dell’algebra, Tesi di Laurea

13. Giuseppe Unicorno (Bergamo, 1523-1610)De l’arithmetica universale, 1598 Uno fa doi viaggi, al primo guadagnò la radice del suo capitale, al secondo guadagnò alla ragion del primo & al fine si trovò con ducati 25; dimando con quanti ducati se partì da prima. Poni che’l se partisse con 1 cen. de duc. adonque il suo guadagno fù 1 co. Onde dirai per trovar l’altro capitale, se 1 cen. mi da 1 cen. p. 1 co. che mi darà 1 ce. p. 1 co.? Multiplica la seconda nella terza sarà 1 ce.ce. p. 2 cu. p. 1 ce. da partir p. 1 ce. adonqueaverai….. (p. 660) http://bibdig.museogalileo.it/rd/bd

14. Girolamo CardanoArs magna (1545) Secundumhaecformabimusregulastres, pro quarum memoria subiungemuscarmen hoc Querna, da bis Nuquer, admi Requan, minue dami x2 = bx + c c = x2 + bx bx = x2 + c

15. Querna, da bis Querna corrisponde al caso del quadrato uguale alle incognite e ai numeri, in cui devi aggiungere i numeri al quadrato della metà delle incognite, considerare la radice quadrata della somma e aggiungerci la metà del numero delle incognite: questa somma è il valore dell’incognita In hoc Querna, igitur, seucapitulo quadrati aequalis rebus et numero addes quadrato dimidij rerum numerumaequationis & totiusacciperadicemquadratam, cui addedimidium numeri rerum & aggregatum est rei aestimatio. x2 = bx + c

16. Nuquer, admi Se poi i numeri sono uguagliati ai quadrati e alle incognite [Nuquer] , aggiungi i numeri al quadrato della metà delle incognite, prendi la radice della somma e da questa sottrai la metà del numero delle cose: quello che resta è il valore dell’incognita Si autemnumerus quadrato & rebus aequalissit, quadrato dimidii numeri rerum adiiciesnumerumaequationis& totius aggregati acciperadicem, a qua minuedimidium numeri rerum, & residuum est rei aestimatio c = x2 + bx

17. Requan, minue dami Si vero res aequalessintquadratis & numero, ut prius, dimidio numeri rerum in se & ab eodetracto numero aequationis, radicem residui minue ex dimidio numeri rerum aut adde, & tamaggregatumquamresiduum est rei aestimatio bx = x2 + c

18. Dove trovare le fonti Girolamo Cardano. Strumenti per la storia del Rinascimento in Italia settentrionale http://www.cardano.unimi.it/ Opera omnia (1663): http://www.cardano.unimi.it/testi/opera.html Ars Magna (editioprinceps, 1545) http://bibdig.museogalileo.it/rd/bd

19. Possibili attività in classe Lettura (traduzione) ed interpretazione di testi originali che descrivono le formule risolutive delle equazioni di secondo grado. • Gruppi che leggono lo stesso testo e discutono la traduzione e l’interpretazione simbolica • Gruppi che leggono testi diversi (latino/volgare) e si confrontano

20. Da notare che… • Le radici delle equazioni devono essere positive (vere) • Sono accettabili solo i numeri interi, i numeri rotti, i numeri surdi • Non sono contemplate equazioni con due soluzioni negative (, con • e nemmeno equazioni a discriminante negativo

21. Una prima osservazione La necessità di considerare le radici quadrate di numeri negativi non nasce dalle formule risolutive delle equazioni di secondo grado. E’ opinione condivisa che le equazioni a discriminante negativo non ammettano soluzioni

22. Le equazioni di terzo grado Anche in questo caso abbiamo 3 casi Non si considerano equazioni cubiche complete ma nessuno avanza dubbi sulla generalità delle equazioni Come mai? Perché era noto che la trasformazione x = y – r/3 x3+ rx2 + px + q = 0 → y3 + py + q = 0

23. Le equazioni di terzo gradoCome si è trovata la formula risolutiva? Ipotesi di E. Bortolotti – Estrazione della radice cubica di un binomio Dati con si cercano due numeri e tali che Elevando al cubo la relazione si ottiene + Se si moltiplicano tra loro le due relazioni si ricava E quindi inserendo nell’equazione precedente il valore di v così trovato

24. D’altra parte, sottraendo l’una dall’altra le due relazioni iniziali si ricava Ponendo i può ora pervenire alla soluzione della con e ovvero + i avrà allora

25. Le equazioni di terzo gradoUn tentativo ingenuo : qual è la ratio? Quando li cubi sono equali a le cose et al numero, dese partire per li cubi et poi demeççare le cose et montiplicare in sè e ponere sopra al numero; e la radici di quello che fa più il dimeçamento de le cose, vale la cosa.(Piero della Francesca, Trattato d’abaco)

26. Le equazioni di terzo gradoUn tentativo ingenuo : qual è la ratio? Quando li cubi sono equali a li censi et al numero, si vole partire per li cubi, poi demeçare i censi et montiplicare in sé e quello che fa porre sopra il numero; et la radici di quello più il dimeçamento de’ censi, vale la cosa. (Piero della Francesca, Trattato d’abaco)

27. Le equazioni di terzo gradoUn tentativo ingenuo : qual è la ratio? Quando li cubi sono equali ai censi e a le cose e al numero, se dèi porre il numero sopra le cose e fare numero, et poi partire per li cubi et poi dimeçare li censi e montiplicare in sé e porre sopra lo numero; et la radici di quello, varrà la cosa più il dimeçamento dei censi. (Piero della Francesca, Trattato d’abaco)

28. Corrispondenza Cardano - Tartaglia N. Tartaglia, 1546 Quesiti et inventionidiverse L’ultimo libro è dedicato alla ricostruzione della vicenda 12 febbraio 1539 – 5 gennaio 1540

29. Dove trovare le fonti Edizione Nazionale MathematicaItaliana Biografia di Tartaglia http://mathematica.sns.it/autori/1323/ Quesiti et inventioni diverse (1546) (download) http://mathematica.sns.it/opere/27/ Fabio Toscano, La formula segreta, Sironi Editore, 2009

30. Proposta di attività (in classe) Ricostruzione della polemica attraverso la lettura della corrispondenza fra Cardano e Tartaglia pubblicata nei Quesiti Esempio «vivo» di prosa vernacolare del Cinquecento

31. Primi contatti fra Cardano e TartagliaQuesiti et inventioni diverse [2 gennaio 1539] … et per tanto sua eccellentia vi prega che voi gli vogliati mandare di gratia tal regola da voi trovata [cosa e cubo uguale a numero], & se 'l vi pare lui la dara fora in la presente sua opera sotto vostro nome, & se anchor el non vi pare, che lui la dia fora, la tenera secreta ... [risposta di Tartaglia]: Diceti a sua eccellentia, che quella mi perdona, che quando vorò publicar tal mia inventione la voro publicar in opere mie, & non in opere de altri, si che sua eccellentia mi habbia per iscuso.

32. Cardano a Tartaglia12 febbraio 1539 … e trarvi fora di fantasia che voi vi crediate essere si grande vi faro conoscere con amorevole admonitioni per le vostre parole medesime che seti più appresso a la valle che alla sumita del monte… vi domando di gratia con che credeti di parlare con li vostri scolari, over con huomini… oltra a ciò vi laudai molto al Signor Marchese, pensando fosti più gentil riconoscitore et piu humano, et piu cortese

33. Cardano a Tartaglia19 marzo 1539 … et mi comandò di subito vi scrivesse la presente con grande instantia in nome suo, avvisandovi che vista la presente dovesti venire à Milano senza fallo, che vorria parlar con voi. Et così ve essorto à dover venir subito, et non pensarvi su, perche il detto S. Marchese è si gentil remuneratore delli virtuosi, si liberale, et si magnanimo che niuna persona che serve sua eccellentia … resta discontento

34. La regola di Tartaglia25 marzo 1539 Quando chel cubo con le cose appresso Se agguaglia à qualche numero discreto Trovan due altri differenti in esso Ch’el lor produtto sempre sia eguale Al terzo cubo delle cose netto x3 + px= q [1] u – v = q uv = (p/3)3

35. La regola di Tartaglia25 marzo 1539 El residuo poi suo generale Delli lor lati cubi ben sottratti Varra la tua cosa principale 3√u – 3√v = x

37. La regola di Tartaglia In el secondo de cotesti atti Quando che’l cubo restasse lui solo Tu osservarai quest’altri contratti Del numero farai due tal part’à volo Che l’una in l’altra si produca schietto El terzo cubo delle cose in stolo Delle qual poi, per comun precetto

38. La regola di Tartaglia Terrai li lati cubi insieme gionti Et cotal somma sara il tuo concetto x3 = px + q [2]

39. La regola di Tartaglia El terzo poi de questi nostri conti Se solve col secondo se ben guardi Che per natura son quasi congionti x3 + q = px[3] Se si confronta con la x3 = px+ q[2] si nota che il termine quadratico è nullo (somma delle radici cambiata di segno), il termine lineare non cambia, mentre il termine noto (prodotto delle radici cambiato di segno) cambia segno, quindi le radici di [3] e [2] hanno lo stesso modulo e segno opposto.

40. Il caso irriducibile x3 = px+ q Quando (q²/4) - (p³/27)<0 l’equazione ammette 3 soluzioni reali, ma si pone il problema di estrarre la radice quadrata di un numero negativo: questa volta non si può ignorare.

41. Cardano a Tartaglia4 agosto 1539 … io ve ho mandato a domandare la resolutione de diversi quesiti alli quali non mi haveti risposto, et tra li altri quello di cubo equale a cose e numero… quando che il cubo della terza parte delle cose eccede il quadrato della metà del numero, allora non posso farli seguir la equatione come appare [Caso irriducibile]

42. Tartaglia a Cardano7 agosto 1539 E pertanto ve rispondo, et dico che voi non haveti appresa la buona via per risolvere tal capitolo; anzi dico che tal vostro procedere è in tutto falso.

43. Le equazioni di terzo grado nell’Ars magna (1545) XI. De cubo et rebus aequalibus numero XII. De cubo aequalirebus & numero XIII. De cubo et numero aequalibus rebus

45. Ars MagnaCap. XII De cubo aequali rebus & numero Regulaigitur est, cumcubustertiaepartisnumerum rerum, maior non fuerit quadrato dimidij numeri aequa-tionis, auferesipsum ex eodem & residui radicemadde dimidio numeri aequationis, atqueiterumminue ab eodem dimidio;

46. Ars MagnaCap. XII De cubo aequali rebus & numero Habebis, ut dicunt, Binomium & Apoto-men, quorum R. cubicae Iunctae rem ipsamconstituunt.

47. Ars MagnaCap. XII De cubo aequali rebus & numero At ubicubustertiaepartis numeri rerum excedatquadratumdimidij numeri aequationis… • Regole operative per trattare con le radici di numeri negativi • Cercare una formula senza radici di numeri negativi

48. L’approccio di Cardano Cardano non si pone problemi «fondazionali» ma problemi «operativi». Un primo approccio alla questione si trova nell’Ars magna in relazione allo studio delle soluzioni false delle equazioni di secondo grado (tanto per smentirmi…).

49. Cap.XXXVIIDe regulafalsumponendi Secundum genuspositionisfalsae, est per radicem. Et daboexemplum: si quisdicat, divide 10 in duaspartes, ex quarumunius in reliquamductu, producatur30 aut 40. Manifestum est quod casus seu quaestio est impossibilis, sic tamenoperabimur.

50. De regulafalsumponendiRegula II Dividemus 10 per aequa-lia, & fieteiusmedietas 5; duc in se fit 25, auferes ex 25 ipsumproducendum , utpote 40 … fietresiduum. 15 cuius R. addita & detracta a 5 ostendit par-tesquaeinvicemductaeproducunt 40. Eruntigiturhae, 5 R. 15 & 5 R. 15