数学归纳法（一）

1. 数学归纳法（一）

2. 1.归纳法： 由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法 问题1：在数列{an }中，a1=1, ,先计算a2 , a3 , a4的值，再推测通项an的公式. 解： 问题2：对小于6的自然数n，不等式 成立吗 ？ 解： 大小关系 6(7n+9) n=1 < 96 n=2 < 138 n=3 1 < 180 n=4 7 < 222 n=5 49 < 264 （不完全归纳法） （完全归纳法） ∴对小于6的自然数n,不等式成立.

3. 问题3：对任意自然数n, 不等式 成立吗？ 大小关系 6(7n+9) n=1 < 96 n=2 < 138 n=3 1 < 180 n=4 7 < 222 n=5 49 < 264 结论：当n是小于6的自然数，不等式成立 当n是大于等于6的自然数， 6(7n+9) ＞ 解： 说明：（1）依数据作推测，决不是乱猜，要注意对数据作出谨慎 地分析。 （2）用不完全归纳法得到的结论可能会不正确。

4. 资料1： 费马(Fermat)是17世纪法国著名的数学家，他是解析几何的发明者之一，是对微积分的创立作出贡献最多的人之一，是概率论 的创始者之一，他对数论也有许多贡献。 但是，费马认为，当n∈N时， +1 一定都是质数，这是他对 n=0,1,2,3,4,作了验证后得到的。 18世纪伟大的瑞士科学家欧拉(Euler)却证明了 +1=4 294 967 297=6 700 417×641 从而否定了费马的推测。 资料2： f(n)=n2+n+41,当 n∈N时,f(n)是否都为质数？ f(0)=41 , f(1)=43 , f(2)=47 , f(3)=53 , f(4)=61 , f(5)=71 , f(6)=83 f(7)=97 , f(8)=113 , f(9)=131 , f(10)=151 , …… f(39)=1601 但 f(40)=1681=412是合数。 由不完全归纳法得到的一般结论带有猜测的成份，须寻求 数学证明

5. 2.归纳与证明： 如何证明由不完全归纳法得到的一般结论？ 第一个正式研究此课题的是意大利科学家莫罗利科

6. 以问题1为例： 问题1：在数列{an }中，a1=1, ,先计算a2,,a3,a4的值， 再推测通项an的公式. a2= , a3= , a4= , 推测 an= 证明：（1）当n=1时,左= a1=1,右= =1，所以公式成立。 （2）假设当n=k(k∈N)时,公式成立,即 ak= 由(1) (2)知对任意自然数n, an= 成立. （证题基础） 证明思路：先证明“第一项满足公式” 再证明命题“若某一项满足公式，则下一项也满足公式” （递推关系） 条件 结论 那么： ak+1= ∴当n=k+1时,公式成立

7. 3.数学归纳法： 注意：第一步中n可取的第一个值不一定是1; 第二步是证明一个命题,必须要利用假设的结论证明n=k+1时 结论正确; 对于由不完全归纳法得到的某些与自然数有关的数学命题我 们常采用下面的方法来证明它们的正确性：先证明当n取第一个值 n0(例如n0=1) 时命题成立，然后假设当n=k(k∈N,k≥n0)时命题成立 证明当n=k+1时命题也成立，这种证明方法叫做数学归纳法. 证题步骤： （1）证明当n取第一个值n0(例如n0=1或2）时结论正确； （2）假设n=k(k∈N,k≥n0)时结论正确,证明当n=k+1 结论正确；

8. 例1：用数学归纳法证明：如果{an }是一个等差数列，那么 ： an=a1+(n-1)d 对一切n∈N都成立. 证明： （1）当n=1时，左=a1，右=a1+(1-1)d=a1，所以等式成立 (2) 假设当n=k(k∈N)时等式成立，就是ak=a1+(k-1)d 那么 ak+1= ak+d= a1+(k-1)d+d =a1+[(k+1)-1]d ∴当n=k+1时，等式成立 由(1)(2)知对任何n∈N等式成立

9. 练习：用数学归纳法证明：首项是a1，公比是q的等比数列的练习：用数学归纳法证明：首项是a1，公比是q的等比数列的 通项公式是an=a1qn-1 小结： (1) 本节的中心内容是归纳法和数学归纳法; (2) 归纳法是一种由特殊到一般的推理方法，分为完全归 纳法和不完全归纳法二种; (3) 由于不完全归纳法中推测所得结论可能不正确,因而必 须作出证明，证明可用数学归纳法进行; (4) 数学归纳法作为一种证明方法，它的基本思路是递推 思想，它的操作步骤必须是二步，其中第二步的证明 必须要利用假设的结论。