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多變數函數之極限與連續. 班級：控晶一乙 組別：第一組 組長：許經緯 (4A22C048) 組員：姚鈞瀚 (4A22C081) 林坤毅 (4A22C090) 施旻諺 (4A22C082) 蕭斐勻 (4A22C053) 指導老師：張淑慧 老師. ( 一 ) 多變數方程式 何謂多變數？ 大量的科學、商業、科技的方程式不只一個變數，而是兩個以上。 舉例來說： 產品的需求方程式常常依賴於價格和廣告，而不是單單價格。 兩個以上變數的方程式的注意事項跟單變數方程式一樣。 舉例來說：
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多變數函數之極限與連續 班級：控晶一乙 組別：第一組 組長：許經緯(4A22C048) 組員：姚鈞瀚(4A22C081) 林坤毅(4A22C090) 施旻諺(4A22C082) 蕭斐勻(4A22C053) 指導老師：張淑慧 老師
(一)多變數方程式 何謂多變數？ 大量的科學、商業、科技的方程式不只一個變數，而是兩個以上。 舉例來說： 產品的需求方程式常常依賴於價格和廣告，而不是單單價格。 兩個以上變數的方程式的注意事項跟單變數方程式一樣。 舉例來說： F ( x , y ) = x2 + x y 、 g ( x , y ) = ex+y 是雙變數方程式 F ( x , y , z ) = x + 2 y – 3 z 是單變數方程式
(二)多變數函數 • 定義： • 令 A 表 R2 空間(二維空間)之部份集合，若對 A 中的每一有序數 • 對(x ,y)有唯一的實數ｚ與之對應，則稱ｚ為點(x ,y) 在集合 Ａ • 內之函數，記作 z = f (x ,y)稱之為二元函數。集合 A 稱為 f 的 • 定義域。 • f 的值域由所有的實數 f (x ,y) 組成，此點(x ,y)在 A 中。 • 函數 y= f (x)之定義域與值域在幾何上以實數線上的點代表。 • 對於二元函數，我們可以用在 xy–平面上的點代表定義域 A 而 • 實數線上的點代表值域，稱z–軸，如圖1所示
(三)偏導數的幾何意義 考慮一個由方程式z = f ( x , y ) 所決定的曲面。 就如下面的圖３所顯示的，平面y=y0與曲面相交於平面曲線QPR上，且這個值 fx (x0 , y0 )就是這條曲線在點P( x0 , y0,f(x0,y0))的切線的斜率。因此，通過P(x0,y0,f(x0,y0))而位於平面y=y0上之切線方程式為 y=y0 z-f(x0,y0)=f(x0,y0)(x-x0)
(四)極限與連續的定義 • DEFINITION：多變數函數的極限 • 的定義：∀ ε>0, ∃δ>0 such that |f(x)-L|Rx<ε,if 0<|x-x0|，此處f,x,L的是向量， | · | 絕對值是向量空間的距離函數。 • DEFINITION：多變數函數的連續 稱f(x)在x0處連續。
(五)Taylor定理 Taylor定理為：若於為n階可微，則，存在c介於p與x之間使得 令，則x=p+h,又令，即，代入上述展開式，則可獲得Talor展開式之另一形式：當，則存在使得 多變數函數之Taylor定理系由單變數之Taylor演化而來，如果仔細對比，會發現二者頗多相似之處。
例題1： 若f(x,y)=x2y，是用偏導數之定義，求f1(1,1)與fy(1,1)之值。 ANS: fx(1,1)= = = = Fy(1,1)= = = = =
參考資料 （1）維基百科 （2）http://www.amath.nchu.edu.tw/~tdoc/advance/ch19/19-2%20雙變數函數之極限和連續%20%20(Limits%20and%20Continuity).pdf
