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课题 9 扭转变形

课题 9 扭转变形. 9.1 扭转的概念与外力偶矩的计算. 9.1.1 扭转的概念. 在一对大小相等、方向相反、作用面垂直于轴线的两力偶作用下，杆件的横截面将绕轴线产生相对转动，这种变形称为扭转变形。. 杆件产生扭转变形的受力特点是：在垂直于杆件轴线的平面内，作用着一对大小相等、转向相反的力偶。 杆件的变形特点是：各横截面绕轴线发生相对转动。杆件任意两横截面间的相对角位移称为扭转角，简称转角。 工程上常把以扭转变形为主要变形的杆件称为轴。. 9.1.2 外力偶矩的计算. 计算公式为： 式中： Me — 作用在轴上的外力偶矩，单位为牛

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课题 9 扭转变形

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Presentation Transcript

  1. 课题9 扭转变形

  2. 9.1扭转的概念与外力偶矩的计算

  3. 9.1.1扭转的概念 在一对大小相等、方向相反、作用面垂直于轴线的两力偶作用下，杆件的横截面将绕轴线产生相对转动，这种变形称为扭转变形。

  4. 杆件产生扭转变形的受力特点是：在垂直于杆件轴线的平面内，作用着一对大小相等、转向相反的力偶。杆件产生扭转变形的受力特点是：在垂直于杆件轴线的平面内，作用着一对大小相等、转向相反的力偶。 杆件的变形特点是：各横截面绕轴线发生相对转动。杆件任意两横截面间的相对角位移称为扭转角，简称转角。 工程上常把以扭转变形为主要变形的杆件称为轴。

  5. 9.1.2外力偶矩的计算 计算公式为： 式中：Me—作用在轴上的外力偶矩，单位为牛 顿·米（N·m）； P—轴传递的功率，单位为千瓦（kW）； n—轴的转速，单位为转/分（r/min）

  6. 9.2扭矩与扭矩图

  7. 9.2.1内力—扭矩 Me1 Me1 Me2 Mx1 Mx2 （b） （c） Mx(Nm) x （d） 35 50 Me1 Me2 105 Me3 Me4 q s r （a） - q r s D C B A

  8. 9.2.2扭矩图

  9. 【例9-1】齿轮轴如图所示。已知轴的转速为n＝300r/min，齿轮A输入功率PA＝50kW，齿轮B、C输出功率PB＝30kW，PC＝20kW。不计轴和轴承的摩擦阻力，试作该轴的扭矩图。 【例9-1】齿轮轴如图所示。已知轴的转速为n＝300r/min，齿轮A输入功率PA＝50kW，齿轮B、C输出功率PB＝30kW，PC＝20kW。不计轴和轴承的摩擦阻力，试作该轴的扭矩图。 + MeA MeB MeC q r （a） q r C A B MeB Mx1 （b） MeA MeB - Mx2 （c） Mx(Nm) 636.6 x （d） 954.9

  10. 【分析】（1）计算作用在齿轮A、B、C上的外力偶矩MeA、MeB、MeC【分析】（1）计算作用在齿轮A、B、C上的外力偶矩MeA、MeB、MeC N·m N·m N·m （2）求各段截面上的扭矩（采用截面法） 首先，沿截面q-q截开，取左侧部分为研究对象，如图（b）所示，求BA间截面上的扭矩Mx1 ΣM1x＝0，MeB＋Mx1＝0 Mx1＝－MeB＝－954.9 N·m 其次，沿截面r-r截开，取左侧部分为研究对象，如图（c）所示，求AC间截面上的扭矩Mx2 ΣM2x＝0，MeB＋Mx2－MeA ＝0 Mx2＝MeA－MeB＝1591.5－954.9＝636.6 N·m （3）画扭矩图 根据以上计算的结果，按比例画扭矩图，如图（d）所示。

  11. 9.3 圆轴扭转变形时横截面上的应力

  12. 9.3.1平面假设

  13. 在变形微小的情况下，可以观察到下列现象： 第一，两条纵向线倾斜了相同的角度，原来轴表面上的小方格变成了歪斜的平行四边形； 第二，轴的直径、两圆周线的形状和它们之间的距离均保持不变。 根据观察到的现象，我们推断，圆轴扭转前的各个横截面在扭转后仍为互相平行的平面，只是相对地转过了一个角度。这就是扭转时的平面假设。 ф Me Me

  14. 根据平面假设，可得两点结论： （1）由于相邻截面相对地转过了一个角度，即横截面间发生了旋转式的相对错动，出现了剪切变形，故截面上有剪应力存在。又因半径长度不变，剪应力方向必与半径垂直。 （2）由于相邻截面的间距不变，所以横截面 上没有正应力。

  15. 9.3.2横截面上的剪应力

  16. 9.3.2.1横截面上剪应力的分布规律 Wρ称为抗扭截面系数，其单位为mm3或m3。 τmax τmax dA τ ρ τρ ρ Mx

  17. 9.3.2.3极惯性矩和抗扭截面系数 （1）圆形截面 （2）圆环形截面

  18. 【例9-2】一轴AB传递的功率P＝7.2kW，转速n＝360r/min。轴的AC段为实心圆截面，直径D＝32mm；CB段为空心圆截面，空心部分的直径d＝16mm，如图所示。试计算AC段横截面边缘处的剪应力以及CB段横截面上外边缘和内边缘处的剪应力。 【例9-2】一轴AB传递的功率P＝7.2kW，转速n＝360r/min。轴的AC段为实心圆截面，直径D＝32mm；CB段为空心圆截面，空心部分的直径d＝16mm，如图所示。试计算AC段横截面边缘处的剪应力以及CB段横截面上外边缘和内边缘处的剪应力。 Me A B C D d Me

  19. 【分析】（1）计算扭矩 N·m （2）计算极惯性矩 AC段： mm4 CB段： mm4 （3）计算剪应力 AC段横截面边缘处的剪应力: MPa CB段横截面外边缘处的剪应力: MPa CB段横截面内边缘处的剪应力: MPa

  20. 9.4 圆轴扭转时的变形

  21. 式中: Mx——横截面上的扭矩； ——两横截面间的距离； G——轴材料的切变模量； Iρ——横截面对圆心的极惯性矩。

  22. 圆轴单位长度上的扭转角称为单位扭转角，用θ表示，即 上式中，单位扭转角θ的单位是弧度/米（rad/m），工程上常用的单位是度/米（º/m），即

  23. 【例 9-3】在【例9-2】中，若轴AC段的长度是2m，并已知G＝80GPa。试求截面A相对于截面C的扭转角。

  24. 【分析】 rad

  25. 9.5圆轴扭转时的强度和刚度计算

  26. 9.5.1强度计算 此式称为圆轴扭转时的强度条件。

  27. 9.5.2刚度计算

  28. 【例9-4】在【例9-3】中，已知轴的许用剪应力 ＝40MPa，许用扭转角 ＝0.5º/m，材料的切变模量G＝8×104MPa。试设计轴的直径。

  29. 【分析】（1）最大扭矩 由【例1】可知，|Mxmax|＝954.9N•m （2）按强度条件设计轴的直径 由 得: mm （3）按刚度条件设计轴的直径 由 得: mm 要使轴同时满足强度条件和刚度条件，取轴的直径D≥51.14mm＝52mm。

  30. 【例9-5】一空心传动轴的外直径D＝90mm，壁厚t＝2.5mm，轴的许用剪应力 ＝60MPa，许用扭转角 ＝1º/m，材料的切变模量G＝8×104MPa。若传递的最大力偶矩Memax＝170N•m，试校核空心轴的强度及刚度。若将空心轴变成实心轴，试按强度设计轴的直径，并比较两者的材料消耗。

  31. 【分析】（1）校核强度 轴各截面上的扭矩Mx＝Memax＝170N•m Mpa 因 ，所以该轴能满足强度要求。 （2）校核刚度 º/mm＝0.901º/m 因 ，所以该轴能满足刚度要求。 （3）若改为实心轴，按强度条件设计轴的直径 mm

  32. （4）比较材料消耗 空心轴和实心轴在相同条件下的材料消耗比就是截面面积之比，即 该比值说明，空心轴的材料消耗仅为实心轴的32.4%，可节约材料三分之二，所以空心轴是比较经济的。在工程实际中，用钢管代替实心轴，不仅节约材料，还可减轻构件的重量。

  33. 9.5.3提高圆轴扭转强度和刚度的措施

  34. 要提高圆轴扭转时的强度和刚度，应从以下几个方面进行考虑： （1）合理布置主动轮与从动轮的位置 （2）提高轴的转速 （3）合理选择截面形状 （4）合理选择材料

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