D ekoherencia időfüggő külső tér jelenlétében

1. Dekoherencia időfüggő külső tér jelenlétében

2. Vázlat • Bevezetés: Nyílt kvantumrendszerek néhány kvalitatív tulajdonsága, beszédmód, jelölések • A dinamika szokásos leírása egyszerű nyílt rendszerekben (kvantum dinamikai félcsoport, master/mester egyenlet): dekoherencia • Időfüggő Hamilton operátorok és a Floquet állapotok • Markovi master egyenlet a Floquet bázison egy példán keresztül: molekuláris nanomágnesek (SMM: single molecule magnet) hiszterézise • Irodalom: Breuer, Petruccione (Oxford Univ. P.), Walls, Milburn (Springer), Joos et al. (Springer)

3. Klasszikus kvantummechanika (zárt rendszer) S, H Hilbert-tér S, Hamilton Operátor H Aktuális állapot Dinamika Schrödinger vagyNeumann (von Neumann -Liuoville) egyenlet

4. Dinamika zárt rendszerben Az időfejlődés unitér Apróságok Neumann egyenlet integrálalakja Schrödinger, Heisenberg és kölcsönhatási kép

5. Nyílt rendszer Együttesen: A teljes rendszer dinamikájára minden eddigi igaz, de minket csak S érdekel (és a legtöbbszörnem is tudjuk megoldani a teljesrendszerre vonatkozó problémát) A releváns mennyiség: (redukált sűrűségoperátor)

6. Nyílt rendszer dinamikája ? A dinamikai leképezés az egyenletből adódik, és megőrzi a sűrűségoperátor pozitivitását, konvexitását, nyomát (Tr).

7. Markov folyamat A dinamikai leképezések egyparamétéres A(t) családjának ismerete a vizsgált rendszer jövőjének teljes ismeretét is jelenti (jelentené). Meghatározások azonban nehéz, és sokat segít ha a környezet memóriája rossz. Ekkor írhatjuk: Ennek a félcsoportnak a legáltalánosabb generátorai a lenti egyenlet jobb oldalán láthatók G. Lindblad, Commun. Math. Phys.48, 119 (1976) : A fenti a legáltalánosabb korlátos generátor szeparábilis Hilbert-téren (ha megszámlálhatóan sok k index van)

8. A Lindblad-alakú egyenletek tulajdonságai Termodinamikai értelemben irreverzibilis folyamatot írnak le (Egy stacionárius állapothoz képesti relatív entrópia vizsgálatával látható be) Termikus egyensúlyban lévő környezet esetén a vizsgált rendszer végül szintén egyensúlyba kerül a környezettel (azonos lesz a hőmérsékletük) Dekoherencia lép fel

9. Dekoherencia Legtágabb értelemben a kvantumos értelemben vett interferenciaképesség eltűnését jelenti. (Emiatt hozható kapcsolatba a kvantum-klasszikus határ kérdésével) A környezet által előidézett dekoherenciamodellben a teljes (S+B) dinamika kvantumos, ugyanakkor a két részrendszer között felépülő korrelációk miatt S állapota (ami a teljes sűrűségoperátorból B-re vonatkozó Tr művelettel adódik) akkor sem lesz tiszta állapot, ha kezdetben az volt. Gyakran találhatók olyan kvantumállapotok, amelyek a dekoherenciafolyamat „célállomásai,” mintha a környezet bizonyos értelemben mérné rendszerünket, és a mérési folyamat eredményeképpen ezek a mutató (pointer) állapotok valósulnának meg. Konkrét alakjukat az S-B kölcsönhatás határozza meg.

10. Hogyan kaphatunk Lindblad-alakú egyenletet? Értelmes közelítések sorozatával… (Born-Markov) Kölcsönhatási kép (V szerint)

11. A Lindblad-alak biztosításához szükség van még egyfajta „forgóhullámú közelítésre” (RWA), ami a gyorsan oszcilláló tagok elhagyását jelenti. Pl. „egyetlen oszcillátor sok termikus másik között” Ha oszcillátorunk nem a keltő, eltüntető, hanem a sorszámoperátoron keresztül csatolódik a többihez:

12. Más kölcsönhatás – más pointer állapot

13. Azonos kölcsönhatás, kicsit más rendszer – más pointer állapot

14. A Markov-közelítésen túl Természetesen lehetséges (és időnként szükséges) pontosabb közelítést alkalmazni, csak ekkor szükségképpen bonyolultabb lesz a dinamika számítása. Nakijima-Zwanzig projekciós módszer: a teljes (S+B) Hilbert téren definiálunk két, egységre összegződő projektort, az egyik a dinamika releváns részét adja, a másik pedig az általunk érdektelennek ítélt információt. Integro-differenciálegyenletre visz. A „konvolúciómentes” módszerek szisztematikus perturbatív kifejtést tesznek lehetővé. + egzaktul megoldható modellek

15. Explicit időfüggés Az energia (illetve <H>) még zárt rendszer esetén sem megmaradó mennyiség, és a nyílt rendszer dinamikájának végállapota sem termikus egyensúly a környezettel. (Izolált és zárt rendszer, klasszikus Noether illetve Ehrenfest tétel) Fizikai kérdések: a dinamika miben más a külső térrel hajtott nyílt és zárt rendszerekben, mit mondhatunk pl. a dekoherencia irányáról. (Annyit biztosan, hogy a pointer állapotok jó eséllyel időfüggők lesznek.) Technikai értelemben a kérdés az, hogyan is juthatunk a problémát legalább markovi értelemben jól leíró, ugyanakkor még megoldható modellhez.

16. Speciális eset: Periodikus külső tér Kvantumoptikai problémák félklasszikus leírásánál gyakran találkozunk periodikus időfüggésű Hamilton operátorral, ami a pl. az erős lézertér hatását írja le. A dolog kicsit a gerjesztett oszcillátorra emlékeztet, „végül úgyis periodikus lesz a megoldás” Elegendően intenzív gerjesztés esetén a nemlinearitások jelentősége megnő, így felharmonikusok is megjelennek. Módszer: Oldjuk meg a zárt rendszer dinamikáját a gerjesztés jelenlétében, majd abból tanulva tegyük hozzá a környezet hatását.

17. Példa (nem optikai, de mégis) S Hamilton oparátora: A Landau-Zener-Stückelberg model „periodikus változata” Energiaszintek Mondjuk egy spin Zeeman módon csatolva oszcilláló mágneses térhez. (Észrevétel:Hsunitér ekvivalens az RWA nélküli „klasszikus” Rabi probléma Hamilton operátorával) idő Környzet: Kölcsonhatás:

18. +2 +2 +2 -3/2 -3/2 -3/2 +2 +2 -3/2 +2 +2 +2 Molekulamágnesek (Motiváció) Mn12 (S=10) • [Mn12(CH3COO)16(H2O)4O12].2CH3COOH.4H2O • 12 Mn atom: • 4 Mn4+ S=3/2három 3d electron • 8 Mn3+ S=2 négy 3d electron • Teljes spin: S =10 • Tetragonális szimmetria (D. Gatteschi et al., Molecular Nanomagnets,Oxford Univ. Press, 2006.) T. Lis, Acta Crystallogr. Sec B 36 (1980) 2042

19. Skálák W. Wernsdorfer

20. Mn12 kísérlet I Mertes et al. PRL 87, 227205 (2001).

21. Mn12 számolás

22. Rezonánsalagutazás elkerült nívókereszteződéseknél: B0 -függő energiák

23. Mn12 kísérlet II. Mertes et al. J. Appl. Phys. 93, 7095 (2003).

24. Floquet állapotok (Zárt kétállapotú rendszer) Állítás: Létezik egy „időfüggő bázis”, aminek az elemei sajátállapotai az időfüggő H-nak Kérdés: Hogyan kereshetjük meg ezeket az állapotokat és a hozzájuk tartozó „kvázienergiákat”? (Vegyük észre, hogy ekkor az időfüggetlen esethez hasonlóan lényegében megoldottuk a dinamika problémáját.) Válasz: Fourier sorfejtéssel. Így az időfüggő kétdimenziós probléma időfüggetlen, végtelen dimenzióssá válik. De levágható… Veszünk egy bázist: Blokkdiagonális végtelen mátrix G. Floquet Ann. Sci. Ec. Normale Super. 12, 46 (1883).

25. Floquet állapotok II. A végtelen mátrixra vonatkozó sajátértékegyenlet:(H itt valójában HS(t) -i x időderiválás kifejtése a Fourier bázison.) Valójában végtelen sok kvázienergia van, de amelyek W egész számú többszörösében különböznek, azok dinamikai szempontból ekvivalensek. A dolog kvantált tér és a kétállapotú rendszer együttes energiáira emlékeztet, a fentiek a lehetséges átmeneti frekvenciák.

26. A példában A Schrödinger egyenlet: Gyenge tér eseténaz energiakülönbség közel esik a klasszikus, RWA-t tartalmazó Rabi frekvenciáhozés a megfelelő Floquet állapotok kevés frekvenciát tartalmaznak észrevehető súllyal.Erős térbenjelentősen különbözik -től, és sok felharmonikust látunk.

27. Dinamika dekoherencia nélkül Vegyük észre a Rabi jellegű oszcillációkat a gyengén gerjesztett esetben.

28. Master egyenlet A Floquet spektrum lehetséges átmenetei a rezonáns környeti módushoz csatolódnak. Born-Markov közelítésben, és az S-B kölcsönhatás leírásakor RWA alkalmazásával kapjuk a kölcsönhatási képbeli master egyenletet. (Nincs RWA a mező-spin csatolásban) A környezet termikus egyensúlyban van,Tr hőmérsékleten.H.-P. Breuer et al., Phys. Rev. A 55, 3101 (1997). aholS(ω) pedig a csatoló S spinoperátor frekvencia szerint felbontott kompnenseit jelöli.S. Az összegzés a lenti halmaz összes pozitív frekvenciájára kiterjed:

29. Dinamika a nyílt rendszerben: pointer állapotok Hosszútávú limeszben a megoldások periódusa megegyezik a gerjesztő térével. A kétnívós rendszer redukált sűrűségmátrixa diagonális lesz a Floquet bázisban. Így a Floquet állapotok időfüggő pointer állapotoknak tekinthetők.

30. Kvázistacionárius mágnesezettségi görbék Ha a kétnívós rendszerre mint feles spinű részecskére gondolunk, akkor <σz> függése a külső periodikus mágneses tértől hiszterézisgörbének tekinthető. A Floquet állapotok periodicitása miatt a kvázistacionárius megoldások zárt görbéket jelentenek.

31. Konvergencia a kvázistacionárius görbék felé I. Alacsony hőmérsékleten: kBTr/Ω=1

32. Konvergencia a kvázistacionárius görbék felé II. Magas hőmérséklet: kBTr/Ω=600

33. Összevetés a kísérleti eredményekkel Mertes et al. J. Appl. Phys. 93, 7095 (2003). A kísérletben T=10 s, ehhez képest a dipól-dipól és hiperfinom kölcsönhatások lényegében pillanatszerűen elrontják a fázist.

34. Összefoglalás • Nyílt kvantumrendszerek dinamikája minőségileg eltér a tankönyvi kvantummechanika szabályaitól. • A rendszer nyitottsága dekoherenciához vezet. • A dekoherencia dinamikai leírására jó esetben alkalmasak a markovi master egyenletetek. • Megfelelő feltételek mellett periodikus (akár erős) külső tér esetén is megalkotható egy releváns markovi master egyenlet.

35. Irodalom (Könyvek) • H. –P. Breuer, F. Petruccione, The Theory of Open Quantum Systems, Oxford Univ. Press, 2002. • D. F. Walls, G. J. Milburn, Quantum Optics, Springer 1995. • D. Giulini, E. Joos, C. Kiefer, J. Kupsch, I.-O. Stamatescu, H. D. Zeh, Decoherence and the Appearance of a Classical World in Quantum Theory, Springer 1996., 2010. • D. Gatteschi, R. Sessoli, J. Villain, Molecular Nanomagnets, Oxford Univ. Press, 2006