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立体几何专题复习 之二. 空间中的角与距离. 空间中的角. b’. A. P. B. a. 0 0 ≤θ ≤180 0. 0 0 <θ≤90 0. 0 0 ≤ θ≤90 0. 三种角的定义. b. b. β. m. a. α. α. α. 两异面直 线所成角. 直线与平面所成角. 二面角. 空间角的计算步骤：一作、二证、三算. 空间中的角解法小结. 1 、异面直线所成角的方法 （ 1 ）平移法（ 2 ）补形法. 2 、直线与平面所成角的方法 关键：抓垂足、斜足，找斜线在平面内的射影。. 3 、二面角
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立体几何专题复习 之二 空间中的角与距离
空间中的角 b’ A P B a 00≤θ ≤1800 00<θ≤900 00≤ θ≤900 三种角的定义 b b β m a α α α 两异面直 线所成角 直线与平面所成角 二面角 空间角的计算步骤：一作、二证、三算
空间中的角解法小结 1、异面直线所成角的方法 （1）平移法（2）补形法 2、直线与平面所成角的方法 关键：抓垂足、斜足，找斜线在平面内的射影。 3、二面角 找二面角的棱,进而找棱的两条垂线 当二面角的棱已知时： （1）定义法 (2)垂面法 （3）三垂线定理法 寻找平行平面，将问题转化 当二面角的棱未知时： 利用射影面积公式S′=Scosθ
［例］在棱长为a的正方体ABCD—A′B′C′D′中，E、F分别是BC、A′D′的中点.［例］在棱长为a的正方体ABCD—A′B′C′D′中，E、F分别是BC、A′D′的中点. (1)求证：四边形B′EDF是菱形； (2)求直线A′C与DE所成的角； (3)求直线AD与平面B′EDF所成的角； (4)求面B′EDF与面ABCD所成的角.
(1)证明：如上图所示，由勾股定理，得B′E=ED=DF=FB′= a,下证B′、E、D、F四点共面，取AD中点G，连结A′G、EG， 由EG AB A′B′知，B′EGA′是平行四边形. ∴B′E∥A′G,又A′F DG,∴A′GDF为平行四边形 ∴A′G∥FD，∴B′、E、D、F四点共面 故四边形B′EDF是菱形. (1)求证：四边形B′EDF是菱形
(2)解：如图所示，在平面ABCD内，过C作CP∥DE，交直线AD于P，(2)解：如图所示，在平面ABCD内，过C作CP∥DE，交直线AD于P， 则∠A′CP(或补角)为异面直线A′C与DE所成角. 在△A′CP中，易得A′C= a，CP=DE= a, A′P= a 由余弦定理得cosA′CP= 故A′C与DE所成角为arccos (2)求直线A′C与DE所成的角
(3)解：∵∠ADE=∠ADF,∴AD在平面B′EDF内的射影在∠EDF的平分线上.如图所示. (3)解：∵∠ADE=∠ADF,∴AD在平面B′EDF内的射影在∠EDF的平分线上.如图所示. 又∵B′EDF为菱形，∴DB′为∠EDF的平分线， 故直线AD与平面B′EDF所成的角为∠ADB′ 在Rt△B′AD中，AD= a，AB′= a,B′D= a 则cosADB′= 故AD与平面B′EDF所成的角是arccos . (3)求直线AD与平面B′EDF所成的角
作OH⊥平面ABCD， 则H为正方形ABCD的中心， 再作HM⊥DE，垂足为M，连结OM，则OM⊥DE， 故∠OMH为二面角B′—DE′—A的平面角. 在Rt△DOE中，OE= a, OD= a,斜边DE= a, 则由面积关系得OM= a 在Rt△OHM中，sin ∠ OMH= 故面B′EDF与面ABCD所成的角为arcsin (4)求面B′EDF与面ABCD 所成的角
D1 D1 C1 C1 A1 A1 B1 B1 P M M C C D D A A E B B O O 1. 在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M为DD1的中点，O为底面ABCD的中心，P为棱A1B1上任意一点，则直线OP与直线AM所成的角是( ) A. B.C. D.
arccos - 2.已知∠AOB=90°,过O点引∠AOB所在平面的斜线OC，与OA、OB分别成45°、60°，则以OC为棱的二面角A—OC—B的大小为_________. C O A B
s s E C C B B N A A D D M 3、如图，在底面是直角梯形的四棱锥S-ABCD中，∠ABC=90°，SA⊥面ABCD，SA=AB=BC=1，AD=1/2 ， 则面SBA与面SCD所成的二面角的大小是。
F G E
P E D F A M B C 如图,四棱锥P-ABCD的底面是正方形,PA⊥底面ABCD,AE⊥PD,EF∥CD,AM＝EF (1)证明MF是异面直线AB与PC的公垂线； (2) 若PA= 3AB,求二面角 E—AB—D平面角的正弦值. (3)若PA=3AB,求直线AC与 平面EAM所成角的正弦值.
P E D F A M B C （1）证明：因PA⊥底面, 有PA⊥AB,又知AB⊥AD, 故AB⊥面PAD,推得BA⊥AE,又AM∥CD∥EF,且AM=EF, 证得AEFM是矩形, 故AM⊥MF. 又因AE⊥PD,AE⊥CD, 故AE⊥面PCD,而MF∥AE,得MF⊥面PCD,故MF⊥PC,因此MF是AB与PC的公垂线.
P E D F A M B C （2）由（1）知AE⊥AB,又AD⊥AB,故∠EAD是二面角E—AB—D的平面角. 设AB=a,则PA=3a. 因Rt△ADE~Rt△PDA, 故∠EAD=∠APD因此
P E D F A M B C (3)若PA=3AB,求直线AC与平面EAM所成角的正弦值.
P E D H F A M O B C (3)若PA=3AB,求直线AC与平面EAM所成角的正弦值. 解：连结BD交AC于O,连结BE,过O作BE的垂线OH,垂足H在BE上. 易知PD⊥面MAE,故DE⊥BE,又OH⊥BE,故OH//DE,因此OH⊥面MAE.连结AH,则∠HAO是所要求的线AC与面NAE所成的角, 设AB=a,则PA=3a, 因Rt△ADE~Rt△PDA,故
空间中的距离 重点 难点 空间中的距离主要指以下七种： (1)两点之间的距离. (2)点到直线的距离. (3)点到平面的距离. (4)两条平行线间的距离. (5)两条异面直线间的距离. (6)平面的平行直线与平面之间的距离 (7)两个平行平面之间的距离 考纲要求：会计算已给出公垂线时的距离
空间中的距离解法小结 求点到平面的距离： (1)直接法，即直接由点作垂线，求垂线段的长. (2)转移法，转化成求另一点到该平面的距离. (3)体积法 求异面直线的距离： (1)定义法，即求公垂线段的长. (2)转化成求直线与平面的距离或平面与平面的距离
P E [例]如图，已知ABCD是矩形 ，AB=a,AD=b, PA⊥平面ABCD，PA=2c,Q是PA的中点. 求： (1)Q到BD的距离； (2)P到平面BQD的距离
P F E 如图，已知ABCD是矩形，AB=a,AD=b,PA⊥平面ABCD，PA=2c,Q是PA的中点. 求： (1)Q到BD的距离； (2)P到平面BQD的距离
1. 正方形ABCD边长为2，E、F分别是AB和CD的中点，将正方形沿EF折成直二面角，M为矩形AEFD内一点，如果∠MBE=∠MBC，MB和平面BCF所成角的正切值为 0.5，那么点M到直线EF的距离为。 N
2.如图，直三棱柱ABC-A1B1C1的底面ABC为等腰直角三角形，∠ACB=900，AC=1，C点到AB1的距离为CE= ，D为AB的中点. （1）求证：AB1⊥平面CED （2）求异面直线AB1与CD之间的距离； （3）求二面角B1—AC—B的平面角.
3.如图，正三棱柱A1B1C1-ABC中，底面边长和侧棱长都是1，D、E分别是C1C和A1B1的中点．3.如图，正三棱柱A1B1C1-ABC中，底面边长和侧棱长都是1，D、E分别是C1C和A1B1的中点． (1)求点E到平面ABD的距离： (2)求二面角A—BD—C的正切值
C1 A1 B1 D E A1B与平面ABD所成的角是arcsin C A1到平面AED的距离为 G A B 4、在直三棱柱ABC—A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB=90o，侧棱AA1=2，D、E分别是CC1与A1B的中点，点E在平面ABD上的射影G是△ABD的重心。 （1）求A1B与平面ABD所成角的大小； （2）求点A1到平面AED的距离。
