面电荷所在处的电场强度的思考

1. 面电荷所在处的电场强度的思考 中国科技大学化学物理系 PB04206093 孙华行 指导教师：张增明

2. 问题的产生 设电荷Q均匀分布在半径为R的球面上，则由Gauss定理，根据对称性，立即求出球面内外的电场强度为 Q R P O 其中r是球心到场点的距离， 是球心到场点方向上的单位矢量。

3. 问题的产生 例：一无限长的均匀带电圆柱面，半径为a，面电荷密度为σ，沿轴线将其切成两半，求其中一半长度所受到的斥力。 解：以圆筒的轴线为轴线，半径为r作为1的圆柱面（Gauss面），由对称性和Gauss定理： 求出 a 其中n为场点所在处的由轴线到场点的单位矢量

4. 问题的产生 尝试将面内侧的场强E=0代入计算，得： 将面外侧的场强极限值代入计算得： 而正确答案是 对比两答案，如果将下面所示的两侧场强的极限值的平均值代入计算，答案是正确的

5. 问题的产生 思考上述结果，大胆推测对于静电场中场点P0处的场强而言，有 其中 和 是场点两侧场强在趋近于此场点时的极限值。

6. 问题的思考 • 在静电场边值关系和有介质情况下的唯一性定理： • 介质分界面两侧的电场场强切向分量连续 • 介质分界面两侧电场的电位移矢量法向分量连续 • 介质分界面两侧电势连续

7. 问题的思考 启发： 取圆柱面上的一个小面元dS，则在小面元dS的一侧无限靠近小面元处，仍然可以认为由均匀带电的无限大平面两侧的场强为 a 由Gauss定理，内部的场强为0,则可以得到圆柱面上其他面电荷在dS处产生的场强大小也为 只是方向与dS产生的场强方向相反而已。 小面元dS

8. 问题的思考 现将dS取下，则此时其他位置的电荷产生的场强不变，则dS面元空处的场强为 a 由此推测，外侧场强也分两部分，一部分是dS面元电荷产生，一是dS外其他面电荷产生，二者叠加，得到 小面元dS 其中，设面元上的面电荷密度为σ‘，其他部分为σ

9. 问题的思考 经过上述推导，得到无穷长均匀圆柱面电荷产生场强为 E 0 r

10. 问题的解决 推测开始提出问题的解为： 设电荷Q均匀分布在半径为R的球面上，则由Gauss定理，根据对称性，立即求出球面内外的电场强度为 其中r是球心到场点的距离， 是球心到场点方向上的单位矢量。

11. 问题的解决 推导过程： 如图所示，P为球面上任意点，取过P，Q的直径，把球面分为许多环带，使它们的轴线都与OP直径重合，其中在θ处宽为Rdθ的环带上的电荷量为 根据半径为R的圆环电荷在其轴线上离环心为r产生的电场强度为 Q 故环带上的电荷dq在P电产生的电场强度为 R P O

12. 问题的解决 积分得 符合上面的推测

13. 结论的推广 对于一般的情况，公式仍然是成立的。因为上面圆柱面问题时，虽然是特例，但是分析方法不失一般性。对于一个带有面电荷分布的导体的面电荷所在处的电场强度而言，总可以分为面元ΔS和其他的面电荷。则ΔS上的电荷在其两侧所产生的电场强度的极限为： 而其他的面电荷在该点的电场强度是连续的，即 故有 而ΔS上的电荷在该点产生的场强为0,所以该点的场强等于ΔS外其他面电荷所产生的场强，即E＝E2，则由连续性可知

14. 一般结论 设面电荷上某点的面电荷密度为σ，则由其一侧到另一侧时电场强度会在这一点发生突变，设从两边趋近这一点时，电场强度的极限分别为E＋和E－，则该点的电场强度为

15. 不足之处恳请大家指正， 谢谢大家。