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第四章 特征值与特征向量的计算. §3 QR 方法. 用途：. 目前计算一般中小型矩阵的全部特征值与特征向量的最有效的方法。. 可以证明 : 对任意 n 阶实矩阵都可分解为一个正交矩阵 Q 和一个上三角矩阵 R 的乘积. 故， 它们具有相同的特征值。. 可以证明， OR 方法的收敛性结论：. 如果矩阵. 的等模特征值中只有实特. 征值或共轭复特征值，. 则基本 QR 方法产生的序列. “ 基本 ” 收敛于一个上三角（或分块上三角）矩阵。.
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第四章 特征值与特征向量的计算 §3 QR方法 用途： 目前计算一般中小型矩阵的全部特征值与特征向量的最有效的方法。
可以证明: 对任意n阶实矩阵都可分解为一个正交矩阵Q和一个上三角矩阵R的乘积. 故，它们具有相同的特征值。
可以证明，OR方法的收敛性结论： 如果矩阵 的等模特征值中只有实特 征值或共轭复特征值， 则基本QR方法产生的序列 “基本”收敛于一个上三角（或分块上三角）矩阵。 即主对角线（或主对角线子块）及其以下元素均收敛，以上元素可以不收敛。其对角块均为一阶子块或二阶子块。并且，对角块中的每个一阶子块给出A的实特征值，每一个二阶子块出A的一对共轭复特征值。 收敛于 特别地，如果A是实对称矩阵，则 对角矩阵。 其主对角元即A的特征值的近似。
基本QR方法的主要运算是进行QR分解，分解的 方法很多，例如，可以利用Schmit正交化方法。 设A 为n阶非奇异矩阵，对其进行列分块： 取 显然， 再取 则
一般地，取： 则向量组 正交，且 式（4-19）可改写为
于是， O
基本QR方法的缺点： 每次迭代都需做一次QR分解，计算量太大，收敛速度慢。 解决方法： 实际使用QR方法时，通常先用一系列相似变换先将A化为拟上三角矩阵，再使用基本QR方法。 将A拟上三角化的常用方法 ---- Householder变换法。
4.3.2 Householder变换 为Householder矩阵或反射矩阵。
Householder矩阵的性质： w 如图 x
定理4.2 证明：由性质4容易得出，对任意的 故要使（4-22）成立，应取
代入式（4-24）即得 在定理4.2中,取 可知,对任一非零向量x, 可构造矩阵H 使得 在实际计算中,若 则 即 从而在计算w时会产生较大的相对误差.
通常取 使得Householder 矩阵 H 将x 变成与 ei 共线的向量,即
4.3.3 化一般矩阵为拟上三角矩阵 如果次对角元 全不为零， 称为不可约Hessenberg矩阵。
下面考虑将一般矩阵A化为拟上三角矩阵。 将矩阵A分块为 其中
取 使得 令
类似地，可构造 使得
如此利用n-2个Householder矩阵，使得 其中H为拟上三角矩阵。 例7用Householder变换将矩阵 化成拟上三角阵。
解 因为 由（4-27）得 记 使 求
于是有 (Householder矩阵)
4.3.4 拟上三角矩阵的QR分解 利用n-1次旋转变换(Givens)变换,可将H 化为上三角矩阵,从而得到H 的QR分解式.具体如下:
设 (否则进行下一步),取旋转矩阵 其中,
设 (否则进行下一步),再取旋转矩阵 其中,
设 , 取 其中
因此,最多经过n-1次旋转变换,即得 是正交阵.
这一过程的运算量越为 比一般矩阵的QR分解的运算量 少了一个数量级. 通常用QR方法求特征值,再有反幂法求其相应的特征向量.
课本P94 例8用QR方法求矩阵 的全部特征值。
解： 第一步，将A化为拟上三角矩阵。 取 则
于是， （拟上三角矩阵）
第二步，将H进行QR分解。 记 ，按式（4-28）
第一次迭代得 重复以上过程，迭代11次得
所以，A的特征值为 准确值 此时， 的下三角非对角元的最大模为0.007496, 故QR方法“基本”收敛的速度较慢！
4.3.5 带原点移位的QR方法 结论：若矩阵A的特征值满足: 时,则 的右下角对角元素 且收敛速度是线性的，速率为 加速： 取位移 ，使得
且 这样，对 用QR方法可以加快收敛速度 ----带原点移位的QR方法。
带原点位移的QR 方法的步骤： （1） 用Householder变换将矩阵A化为拟上三角矩阵H。
P99 习题四 1，5，9（1），12（1） 作业：
