Лекция 8

1. Лекция 8 Винтовые поверхности. Многогранники

2. Винтовые поверхности. В технике часто встречаются винтовые поверхности, образованные при винтовом движении прямой. • Такие поверхности образуются при движении произвольной образующей по винтовой направляющей. Если образующая - прямая линия, то образованные поверхности называются геликоидами.

3. Винтовая поверхность образуется винтовым перемещением линии (образующей). • Поверхность можно задать начальным положением образующей и направляющей – цилиндрической винтовой линией, которая называется гелисой.

4. В зависимости от величины угла наклона образующей к оси геликоиды бывают прямыми, если угол равен 90°, и наклонными (косыми), если угол – произвольный, отличный от 0 и 90°.

5. Прямой геликоид образуется движением прямолинейной образующей i по двум направляющим: винтовой линии т и ее оси i; при этом образующая ℓ пересекает винтовую ось под прямым углом. Прямой геликоид используется при создании винтовых лестниц, шнеков, а также силовых резьбах, в станках.

8. ветроротор • Шнековый ветроротор (фиг.1) работает следующим образом. При направлении ветра v нагрузку воспринимают расположенные слева от оси вогнутые участки лопастей (на фиг. 1 показан трехзаходный воронкообразный геликоид с правой навивкой и направленной вниз остью z), вследствие этого возникает направленный влево вращающий момент. При смене направления ветра момент не изменяется. Ветроротор вращается в подшипниковых опорах 4 и 5 и через передачу 8 вращение от него передается мультипликатору 9, а затем электрогенератору 10. Ветроротор может монтироваться в горизонтальном положении, соединяться внизу с шарниром 6, затем с помощью растяжек 7 и дополнительной стойки (падающей стрелы, на фиг.1 не показана) известными методами подниматься в вертикальное положение. В местностях с неизменным направлением ветра ветроротор может использоваться в наклонном положении так, чтобы ось z составляла с ветром тупой угол (на фиг.1, положение II). В этом случае воронкообразные винтовые лопасти как бы захватывают ветровой поток. В наклонном положении шнековый ветроротор с воронкообразными лопастями можно использовать и в ориентируемых конструкциях, как используется шнековый ротор с прямыми лопастями, но эффективность его будет большая, нежели у прямого.

9. Алгоритм построения прямого геликоида ℓ2 i2 m2 гелиса ℓ1 i1 m1 m, ℓ- направляющие

10. Многогранники

12. Поверхность, образованная частями попарно пересекающихся плоскостей, называется многогранной. Рассмотрим некоторые виды многогранных поверхностей. • Их элементами являются грани, ребра и вершины. • Отсеки плоскостей, образующие многогранную поверхность, называются гранями, • линии пересечения смежных граней - ребрами, точки пересечения не менее чем трех граней - вершинами

13. Если каждое ребро многогранной поверхности принадлежит одновременно двум ее граням, ее называют замкнутой (б, г), в противном случае - незамкнутой (рис. а, в). • Многогранная поверхность называется пирамидальной, если все ее ребра пересекаются в одной точке - вершине (рис. а). Пирамидальная поверхность имеет две неограниченные полы. • Многогранная поверхность называется призматической, если все ее ребра параллельны между собой (рис. г). • Геометрическое тело, со всех сторон ограниченное плоскими многоугольниками, называется многогранником. Простейшими многогранниками являются пирамиды и призмы.

14. Пирамида • Пирамида (др. егип. purama) - многогранник, у которого одна грань, называемая основанием, есть многоугольник, а все остальные грани, называемые боковыми, — треугольники, имеющие общую вершину — вершину пирамиды.

15. Призма • Призма (греч. prisma — опиленная) - многогранник, у которого две грани - основания равные многоугольники с соответственно параллельными сторонами, а остальные грани - боковые являются прямоугольниками, квадратами или параллелограммами. • Призма называется прямой или наклонной, исходя из того, будут ли ее ребра (линии пересечения боковых граней) перпендикулярны или наклонны к основаниям.

16. Призма

17. Призма прямая Если боковые ребра перпендикулярны основанию, призма называется прямой.

18. Среди других видов многогранников следует выделить - призматоиды и правильные многогранники (тела Платона). • Призматоидом называется многогранник, у которого верхнее и нижнее основания - многоугольники, расположенные в параллельных плоскостях, а боковые грани представляют собой треугольники или трапеции.Существует пять правильных многогранников:

19. Тетраэдр (четырехгранник) - ограничен четырьмя равносторонними и равными треугольниками. • Гексаэдр (четырехгранник, или куб) - ограничен шестью равными квадратами. • Октаэдр (восьмигранник) - ограничен восемью равносторонними и равными треугольниками. • Додекаэдр (двенадцатигранник) - ограничен двенадцатью равносторонними и равными пятиугольниками. • Икосаэдр (двадцатигранник) - ограничен двадцатью равносторонними и равными треугольниками.

20. Тетраэдр Тетраэдр - правильная пирамида, ограниченная четырьмя равносторонними треугольниками.

21. Гексаэдр • Гексаэдр (четырехгранник, или куб) - ограничен шестью равными квадратами

22. Октаэдр • Октаэдр – поверхность, состоящая из восьми Октаэдр равносторонних треугольников. • ОКТАЭДР ПРАВИЛЬНЫЙ (греч. octo восемь, hedra—сторона). Восьмигранник, поверхность которого состоит из восьми равносторонних треугольников. Имеет восемь граней, шесть вершин, двенадцать ребер. • Октаэдр может быть и неправильным

23. Октаэдр звездчатый • Звездчатый октаэдр - восемь пересекающихся плоскостей граней октаэдра отделяют от пространства новые "куски", внешние по отношению к октаэдру. Это малые тетраэдры основания которые совпадают с гранями октаэдра. его можно рассматривать как соединение двух пересекающихся тетраэдров, центры которых совпадают с центром исходного октаэдра. Все вершины звездчатого октаэдра совпадают с вершинами некоторого куба, а ребра его являются диагоналями граней (квадратов) этого куба.

24. Додекаэдр- правильный двенадцатигранник, состоит из двенадцати правильных и равных пятиугольников, соединенных по три около каждой вершины Додекаэдр

25. Икосаэдр • Икосаэдр- состоит из 20 равносторонних и равных треугольников, соединенных по пять около каждой вершины

26. ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ЛИНИИ И ПОВЕРХНОСТИ

27. Условие принадлежности линии поверхности • Линия принадлежит поверхности, если все ее точки принадлежат поверхности. • Точка принадлежит поверхности, если принадлежит прямой, принадлежащей поверхности.

28. Примеры пересечения поверхностей c прямойлинией

29. Пересечение поверхности с прямой линией

30. Пересечение прямой с поверхностью. • Для нахождения точек встречи прямой с поверхностью любого типа, т.н. точек входа и выхода, поступают точно так же, как и при нахождении точек встречи прямой с плоскостью: • Прямую заключают в плоскость-посредник S: mS • Определяют линию пересечения l плоскости S с поверхностью : l=S • Искомые точки входа и выхода прямой m определяют как результат пересечения её с линией пересечения l: t1,2=lm • Чтобы получить рациональное решение, следует использовать наиболее простой способ получения линии пересечения l. В качестве линии пересечения стремятся получить либо прямую, либо окружность.

31. S2 12 22 С2 32 42 ℓ2 ≡ α ℓ2 А2 В2 X 2,1 31 А1 С1 ℓ1 11 M1 41 K1 S1 В1 21

32. Этого можно достичь: • путём выбора положения вспомогательной секущей плоскости; • переводом прямой в частное положение. • В качестве вспомогательной может быть выбрана как плоскость частного, так и плоскость общего положения. • Пример. Дано: Прямой круговой конус, прямая m • Нужно: Построить точки пересечения поверхности конуса и прямой m общего положения. • Заключим прямую m в плоскость, проходящую через вершину S конуса. Для этого возьмём точки А и В на m. Через S2, А2, В2 проводим фронтальную проекцию плоскости. Находим горизонтальный след вспомогательной плоскости и горизонтальную проекцию вспомогательной плоскости и линию её сечения с поверхностью.

33. Задача: построить точки пересечения прямой АВ с поверхностью конуса. Определить видимость прямой. Решение задачи : 1 - нужно через прямую провести вспомогательную произвольную плоскость, найти след этой плоскости. 2 – найти точки пересечения образующих конуса с прямой; 3 – по принадлежности определить фронтальные проекции точек пересечения. 4 – определить видимость прямой. S2 B2 12 22 A2 X 2,1 О2 S1 О1 A1 21 11 B1

34. Определить точки пересечения прямой и сферы ℓ2 Для решения воспользуемся вспомогательной фронтально проецирующей плоскостью. R R X 2,1 ℓ1 R

35. Построить точки пересечения цилиндрической поверхности с прямой О ٰ2 B2 М2 N2 12 ℓ2 22 A2 Н2 О2 Нٰ2 X 2,1 B1 Н≡Н1 11 М1 О ٰ1 Оٰ1 N1 21 ℓ1 A1 Нٰ ≡Нٰ1

36. Принадлежность прямой и точки поверхности

37. S3 S2 M2 M3 12 13 A2 O B2 C2 A3 C3 B3 A1 11 C1 M1 B1 S1