§2.4 随机向量及其分布

讨论： 二维随机变量作为一个整体的概率特性；其中每一个随机变量的概率特性与整体的概率特性之间的关系． §2.4 随机向量及其分布二维随机变量及其分布函数定义设为随机试验的样本空间，　　则称二维向量( X , Y )为二维随机变量或二维随机向量．

二维随机变量的联合分布函数 　　定义设( X , Y )为二维随机变量，对于任何一对实数( x , y )，事件 (记为) 的概率定义了一个二元实函数F ( x , y )，称为二维随机变量( X ,Y )的分布函数，即

y (x, y) x 分布函数的几何意义如果用平面上的点(x, y)表示二维随机变量 (X ,Y )的一组可能的取值，则F (x, y)表示(X ,Y ) 的取值落入下图所示的阴影区域的概率．

y x 联合分布函数的性质 y (x, y) x

y - x y x

d c a b 对每个变量单调不减固定x，对任意的y1< y2 , F (x,y1)  F (x,y2) 固定y，对任意的x1< x2 , F (x1,y)  F (x2,y) 对每个变量左连续 F (x0 , y0) = F (x0 -0 , y0) F (x0 , y0) = F (x0, y0 - 0) 对于任意的a < b , c < d F (b,d) – F (b,c) – F (a,d) + F (a,c)  0 事实上F (b,d) – F (b,c) – F (a,d) + F (a,c) = P (a  X <b , c  Y < d)

y (2,2) (0,2) • • (2,0) (0,0) • • x x+ y = 1 例1 设　　讨论F (x, y)能否成为二维随机变量的分布函数？解故F (x, y)不能作为二维随机变量的分布函数．

(a,+) (+,+) y c (+,c) (a,c) a x 注意对于二维随机变量

y x x y y x 二维随机变量的边缘分布函数　　由联合分布函数可以求得边缘分布函数,逆不真.

　　例2　设二维随机变量(X ,Y )的联合分布函数为其中A , B , C为常数． • 确定A , B , C； • 求X 和Y 的边缘分布函数； • 求P (X > 2)．

解(1) (2)

(3) 　　可以将二维随机变量及其边缘分布函数的概念推广到n维随机变量及其联合分布函数与边缘分布函数．

二维离散型随机变量及其概率特性 　　定义　若二维随机变量(X ,Y )的所有可能的取值为有限多个或无穷可列多个，则称(X ,Y )为二维离散型随机变量．　　要描述二维离散型随机变量的概率特性及其与每个随机变量之间的关系常用其联合概率分布和边缘概率分布．

联合概率分布 设( X ,Y )的所有可能的取值为：则称：　　为二维随机变量( X ,Y )的联合概率分布或联合分布律，也简称概率分布或分布律．显然，

二维离散型随机变量的联合分布函数 　　已知联合分布律可以求出其联合分布函数，反之，已知分布函数也可以求出其联合分布律．

例3把三个球等可能地放入编号为1，2，3的三个盒子中，每盒容纳的球数无限．记X为落入1 号盒的球数，Y 为落入2 号盒的球数，求 (1) ( X，Y ) 的联合分布律与边缘分布律； (2) P (X = Y )，P (Y > X )． (3) 求(X，Y)的联合分布函数．解联合分布律的求法：利用乘法公式　　常用列表的方法给出．

(1) 本例中， 其联合分布与边缘分布如下表所示：

X pij Y p• j 0 1 2 3 0 1 2 3 0 0 0 0 0 0 pi• 1

(2) 由表可知 (3) 省略．

　　例4把3个红球和3个白球等可能地放入编号为1，2，3的三个盒子中，每盒容纳的球数无限，记X为落入1号盒的白球数，Y 为落入1号盒的红球数．求(X ,Y)的联合分布律和边缘分布律．解见下表

X p• j pij 0 1 2 3 Y 0 1 2 3 pi• 1

本例与前例有相同的边缘分布，但它们的联合分布却不同．故：本例与前例有相同的边缘分布，但它们的联合分布却不同．故：联合分布可以唯一确定边缘分布；但边缘分布却不能唯一确定联合分布．

pij p• j X 1 0 Y p q 1 0 p 0 pi• p q 1 0 q 　　例5　二元两点分布　　下面的二维离散型随机变量称为二元两点分布． p + q = 1 ，0 < p < 1 作业 P144 习题二 27

二维连续型随机变量及其联合概率特性 定义设二维随机变量( X ,Y )的分布函数为F(x ,y )，若存在非负可积函数f (x,y)，使得对于任意实数x,y 有：　　则称( X ,Y )为二维连续型随机变量，f (x,y)为( X ,Y )的联合密度函数简称为联合密度或概率密度．

联合密度与联合分布函数的性质 　　除了分布函数的一般性质外还有下述性质：对每个变元连续，在联合密度的连续点处． f (x,y) 反映了( X ,Y ) 在(x,y) 附近单位面积的区域内取值的概率．

P( X = a ,Y = b ) = 0 P( X = a ,-  < Y < + ) = 0 P(-  < X < + , Y= a ) = 0 若G是平面上的区域，则

边缘分布函数与边缘密度函数 　　与离散型随机变量相同，已知联合分布可以求得边缘分布；反之则不能唯一确定．

　　例6　设二维连续型随机变量( X ,Y )的联合密度为其中k为常数．求 • 常数k ； • P ( X + Y  1) ，P ( X < 0.5)； • 联合分布函数F (x,y)； • 边缘密度函数与边缘分布函数．

y D y = x 1 0 x 解　令 (1)

y y y = x 1 1 0.5 0 0 x x y x+y=1 y = x x+y=1 1 0 x 0.5 (2)

v v=u 1 0 u 1 (3) 当x < 0 或y < 0 时， F (x,y) = 0 当0 x <1 0  y <x时，当0 x <1, x y < 1 时，

v v=u 1 0 u 1 当0 x <1, y  1 时，

v v=u 1 0 u 1 当x 1 0  y <x时，当x 1 y x时，

0, x < 0 或y < 0 y4 , 0 x <1, 0  y <x， 2x2y2–y4, 0 x <1, x y < 1 ， F (x,y) = 2x2–x4 , 0 x <1, y  1 ， y4 , x 1, 0  y <x， 1, x 1, y x，

0, x < 0， = 2x2–x4 , 0 x <1, 1, x 1 0, y < 0 = y4 , 0  y <1， 1 , y  1 (4)

v v=u 1 0 u 1 　　也可以直接由联合密度求边缘密度，再积分求边缘分布函数。例如：作业 P 144 习题二 26

常见的连续型二维随机变量的分布 区域G 上的均匀分布，记作U ( G )．　　设区域G 是平面上的有界区域，其面积为A ( > 0)．若二维随机变量( X ,Y )的联合密度为：则称( X ,Y ) 服从区域G上的均匀分布．

若( X ,Y )服从区域G上的均匀分布，则  G1  G, 设G1的面积为A1，　　边平行于坐标轴的矩形域上的均匀分布的边缘分布仍为均匀分布．

例7　设(X ,Y ) ~ G上的均匀分布，其中 • 求f (x,y)； • 求P ( Y > X 2)； • 求(X ,Y ) 在平面上的落点到y轴距离小于 • 0.3的概率．

y y = x2 y = x 1 G 0 x 1 解(1) (2)

y y = x 1 0 0.3 x 1 (3)

二维正态分布 若二维随机变量( X ,Y )的联合密度为：　　则称( X ,Y ) 服从参数为1,12,2,22,的正态分布，记作( X ,Y ) ~ N(1,12；2,22；)．其中1,2> 0, -1<  < 1

正态分布的边缘分布仍为正态分布

令： B为正定矩阵．　　再令则二维正态联合密度为：推广：

二维离散型随机变量的边缘分布律 已知联合分布律可以求出边缘分布律；　　已知边缘分布律一般不能唯一地求出联合分布律．

§2.4 随机向量及其分布

§2.4 随机向量及其分布

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