Markovanalyse

1. Markovanalyse Kapittel 15

2. Introduksjon • Markov analyseer en teknikksomlarossanalyseresannsynligheter for fremtidigetilstanderpå basis avsannsynlighetersomerkjenti dag. • Mange anvendelseripraksis • Markov analyseforutsetter at et system befinnersegi en gitttilstand, ogsannsynligheten for at systemetbefinnersegi en annentilstandsenerekallesovergangs-sannsynligheter • Detkrevesenkeltekunnskaperimatrise-algebra for å behandledettegrundig, men vi skal bare behandledettepå et innledendenivå.

3. Eksempel finans - kredittrisiko

4. Overgangssansynligheter BBB

5. Tilstander og sannsynligheter • Vi sier at ethvert system på et bestemttidspunktbefinnersegi en gitttilstand. • Vi måforutsette at tilstandeneerkollektivtuttømmendeoggjensidigutelukkende • Etter at en tilstanderdefinert, må vi finnesannsynligheten for at systemeterbefinnersegidennetilstanden

6. hvor n = antall tilstander 1, 2, … , n = sannsynlighet for tilstand 1, 2, …, tilstand n Tilstander og sannsynligheter • Vektor for tilstandssannsynligheter  (i) = vektorfor tilstandssannsynlig-heteriperiodei = (1, 2, 3, … , n)

7. hvor  (1)= vektor med tilstanden for maskin i periode 1 1 = 1 = Sannsynlighet for tilstand 1 2 = 0 = Sannsynlighet for tilstand 2 Tilstander og sannsynligheter • Av og til kan vi med sikkerhet si hvilken tilstand et system befinner seg i • Vektoren kan da presenteres som  (1) = (1, 0)

8. Eksempel: 3 dagligvareforretninger • Tilstander for personer i en by med 3 forretninger • 100 000 mennesker gjør sine innkjøp i forretningene i løpet av en måned • 40 000 handler hos American Food Store – tilstand 1 • 30 000 handler hos Food Mart – tilstand 2 • 30 000 handler hos Atlas Foods – tilstand 3

9. Oppsummeres i en vektor  (1) = (0.4, 0.3, 0.3) where  (1) = vektor med tilstandssannsynligheter periode 1 1 = 0.4 = sannsynlighet for at en person handler hos American Food, tilstand 1 2 = 0.3 = sannsynlighet for at en person handler hos Food Mart, tilstand 2 3 = 0.3 = sannsynlighet for at en person handler hos Atlas Foods, tilstand 3 Vektor med tilstandssannsynligheter • Sannsynlighetene er slik Tilst. 1 – American Food Store: 40,000/100,000 = 0.40 = 40% Tilst. 2 – Food Mart: 30,000/100,000 = 0.30 = 30% Tilst. 3 – Atlas Foods: 30,000/100,000 = 0.30 = 30%

10. 0.8 0.2 0.1 0.32 = 0.4(0.8) #1 American Food #1 0.4 0.7 0.1 0.2 0.04 = 0.4(0.1) #2 0.2 0.6 0.1 0.04 = 0.4(0.1) #3 0.03 #1 Food Mart #2 0.3 0.21 #2 0.06 #3 0.06 #1 Atlas Foods #3 0.3 0.06 #2 0.18 #3 Vektor med tilstandssannsynligheter • Trediagram med overgangssannsynligheter

11. Matrise med overgangssannsynligheter • Matrisen med overgangssannsynligheterlarosskommefra en tilstandtil en annen Vi lar Pij = betinget sannsynlighet for å befinne seg i tilstand j i fremtiden gitt at nåværende tilstand er i • For eksempel, P12 er sannsynligheten for å være i tilstand 2 i fremtiden gitt at man var i tilstand 1 i den foregående perioden

12. P11P12P13 … P1n P21P22P23 … P2n Pm1Pmn P = … … … Matrise med overgangssannsynligheter • P = matrisen med overgangssannsynligheter • Pijverdierbestemmesempirisk • Sannsynligheteneihver rad summerersegtil 1

13. 0.8 0.1 0.1 0.1 0.7 0.2 0.2 0.2 0.6 P = Matrise med overgangssannsynligheter • Følgende er gitt utfra historiske data: Rad 1 0.8 = P11 = sannsynlighet for å være i tilstand 1 etter å ha vært i tilstand 1 i perioden foran 0.1 = P12 = sannsynlighet for å være i tilstand 2 etter å ha vært i tilstand 1 i perioden foran 0.1 = P13 = sannsynlighet for å være i tilstand 3 etter å ha vært i tilstand 1 i perioden foran

14. For enhver periode n kan vi beregne tilstandssannsynlighetene for periode n + 1  (n + 1) =  (n)P Anslag på fremtidige markedsandeler • Hvis nåværende periode er 0, bestemmes tilstandssannsynlighetene for periode 1 slik:  (1) =  (0)P

15.  (1) =  (0)P 0.8 0.1 0.1 0.1 0.7 0.2 0.2 0.2 0.6 = (0.4, 0.3, 0.3) = [(0.4)(0.8) + (0.3)(0.1) + (0.3)(0.2), (0.4)(0.1) + (0.3)(0.7) + (0.3)(0.2), (0.4)(0.1) + (0.3)(0.2) + (0.3)(0.6)] = (0.41, 0.31, 0.28) Anslag på fremtidige markedsandeler • Beregningene for neste periodes markedsandeler

16. Siden vi kjenner til at  (1) =  (0)P • Har vi  (2) =  (1)P = [ (0)P]P =  (0)PP =  (0)P2 • Generelt  (n) =  (0)Pn Anslag på fremtidige markedsandeler • Utviklingen i markedsandeler kan best illustreres ved å finne steady state eller likevekt i systemet

17. Markovanalyse av maskin • Eieren av Tolsky Works har ført statistikk over tilstanden til en gitt maskin over lang tid • Hvis maskinen er i orden nå, er sannsynligheten 80% for at den vil være i orden også neste periode • 90% av tiden en maskin ikke var i orden en periode var den heller ikke i orden perioden foran • 10% av tiden vil en maskin være i orden en periode selv om den ikke var det perioden foran

18. 0.8 0.2 0.1 0.9 P = hvor P11 = 0.8 = sannsynligheten for at maskinenvilfungerekorrektgitt at den fungertekorrektsistmåned P12 = 0.2 = sannsynligheten for at maskinenikkevilfungerekorrektgittat den fungertekorrektsistmåned P21= 0.1 = sannsynligheten for at maskinenvilfungerekorrektgitt at den ikkefungertekorrektsistmåned P22= 0.9 = sannsynlighetenfor at maskinenikkevilfungerekorrektat den ikkefungertekorrektsistmåned Markovanalyse av maskin • Matrise med overgangssannsynligheter er

19.  (1) =  (0)P 0.8 0.2 0.1 0.9 = (1, 0) = [(1)(0.8) + (0)(0.1), (1)(0.2) + (0)(0.9)] = (0.8, 0.2) Markovanalyse av maskin • Hva er sannsynligheten for at maskinen vil fungere om en eller to måneder fra nå av:

20.  (2) =  (1)P 0.8 0.2 0.1 0.9 = (0.8, 0.2) = [(0.8)(0.8) + (0.2)(0.1), (0.8)(0.2) + (0.2)(0.9)] = (0.66, 0.34) Markovanalyse av maskin • Hva er sannsynligheten for at maskinen vil fungere om en eller to måneder fra nå av:

21. Likevektsbetingelser • Førellersidenkanmarkedsandelervære 1 eller 0, men genereltvildeteksistere en likevektmarkedsandel, hvisikketilstands-sannsynlighetenefortsetter å endresegetter et høytantallperioder • Vedlikevektertilstandssannsynlighetene for nesteperode de sammesom for inneværendeperiode

22. Eller  (n + 1) =  (n)P • Ved likevekt  (n + 1) =  (n) • Slik at  (n + 1) =  (n)P =  (n) • Eller  = P Likevektsbetingelser • Vi har alltid at  (neste periode) =  (denne periode)P

23. (1, 2) = (1, 2) 0.8 0.2 0.1 0.9 Likevektsbetingelser • For Tolskys maskin  = P • Matrisemultiplikasjon (1, 2) = [(1)(0.8) + (2)(0.1), (1)(0.2) + (2)(0.9)]

24. Tilstandssannsynlighetene summeres til 1 1 + 2 + … + n = 1 1 + 2 = 1 • For Tolskys maskin Likevektsbetingelser • Vi har at 1 = 0.81 + 0.12 2 = 0.21 + 0.92 1 = 0.33 2 = 0.67