Сложное высказывание

1. Сложное высказывание Высказывания бывают простые и сложные. Простым называется высказывание, которое не содержит в себе других высказываний. Если несколько простых высказываний объединены в одно с помощью логических операций и скобок, то такое высказывание называется сложным. В формальной логике принято, что всякое простое высказывание обязательно имеет одно из двух значение – истина или ложь. Значение сложного высказывания вычисляется.

2. Примеры сложных высказываний

3. Определение формы сложного высказывания Пример 1. Е = Ваш приезд не является ни необходимым, ни желательным. Составляющие простые высказывания: А = Ваш приезд необходим; В = Ваш приезд желателен. Форма сложного высказывания: Е = А& В

4. Определение формы сложного высказывания Пример 2. Е = Поиски врага длились уже три часа, но результатов не было, притаившийся враг ничем себя не выдавал. Составляющие простые высказывания: А = Поиски врага длились три часа; В = Врага нашли (результат есть); С = Враг себя выдал. Форма сложного высказывания: Е = С  А & В

5. Определение формы сложного высказывания Пример 3. Е = Вчера было пасмурно, а сегодня ярко светит солнце. Составляющие простые высказывания: А = Вчера было пасмурно; В = Сегодня ярко светит солнце. Форма сложного высказывания: Е = А & В

6. Определение формы сложного высказывания Пример 4. Е = И добродетель стать пороком может, когда её неправильно приложат. (У. Шекспир) Составляющие простые высказывания: А = Добродетель неправильно приложат; В = Добродетель стать пороком может. Форма сложного высказывания: Е = А  В.

7. Получение сложного высказывания на естественном языке. Е = (A & B)  (C & D) Составляющие простые высказывания: А = Человек с детства давал нервам властвовать над собой;В = Человек в юности давал нервам властвовать над собой;С = Нервы привыкнут раздражаться;D = Нервы будут непослушны. Фраза на естественном языке: Е = Если человек с детства и юности своей не давал нервам властвовать над собой, то они не привыкнут раздражаться и будут ему послушны. (К.Д.Ушинский)

8. Получение сложного высказывания на естественном языке. Е = (В & С)  А Составляющие простые высказывания: А = Некто является врачом;В = Больной поговорил с врачом;С = Больному стало легче. Фраза на естественном языке: Е =Если больному после разговора с врачом не становится легче, то это не врач. (В.М.Бехтерев)

9. Приоритет логических операций • При вычислении значения логического выражения (формулы) логические операции вычисляются в определенном порядке, согласно их приоритета: • Инверсия • Конъюнкция • Дизъюнкция • Импликация и эквивалентность • Операции одного приоритета выполняются слева направо. Для изменения порядка действий используются скобки.

10. Укажем порядок выполнения логических операций в следующих формулах: A v B  C & D  A A v (B  C) & D  A 3 4 2 5 1 4 2 3 5 1

11. Рассмотрим алгоритм построения таблицы истинности на примере следующего высказывания: • Е = A v B  C • Вычислить количество строк и столбцов таблицы истинности.Пусть сложное высказывание состоит из n простых. Тогда количество строк в таблице истинности равно 2nплюс 2 строка заголовка. Количество столбцов в таблице равно сумме количества переменных (n) и количества разных логических операций, входящих в сложное высказывание. • В высказывание Е входят 3 переменные и 4 логические операции. Получаем 23+2=10 строк и 3+4=7 столбцов.

12. 2.Начертим таблицу и заполним заголовок. В первой строке заголовка запишем номера столбцов, во второй – промежуточные формулы в соответствии с приоритетом логических операций и в скоб-ках номера столбцов над значениями которых выполняются действия

13. 3. Заполним первые три столбца.Делим первуюколонку пополам, первую половину заполняем нулями, вторую – единицами,

14. 3. Заполним первые три столбца.…половины второго столбца делим пополам и заполняем по тому же правилу

15. 3. Заполним первые три столбца.… продолжаем заполнение по тому же правилу.

16. 4. Заполним остальные столбцы.четвертый столбец – инверсия второго

17. 4. Заполним остальные столбцы.…пятый столбец – инверсия третьего

18. 4. Заполним остальные столбцы.…шестой столбец – дизъюнкция первого и четвертого

19. 4. Заполним остальные столбцы.шестой столбец – импликация шестого и пятого

20. Если в формулу входят 4 переменные, то соответствующая ей таблица истинности будет состоять из 24 = 16 строк со значениями, при 5 переменных в таблице имеем 25 = 32 строки со значениями. Для любого сложного высказывания можно построить таблицу истинности. Это следует из того, что количество входящих в него переменных конечно и каждая из них может принимать всего два значения.

21. Тождественно истинные высказывания Если высказывание истинно при всех значениях входящих в него переменных, то такое высказывание называется тождественно истинным или тавтологией ( обозначается константой 1). Например, высказывание Демократ – это человек, исповедующий демократические убеждения Всегда истинно, т.е. Является тавтологией.Прогноз на завтра Дождь будет или дождя не будет – всегда истинно, его математическая запись А v А=1 Проверить, является ли сложное высказывание тождественно истинным, можно по таблице истинности.

22. Тождественно ложные высказывания Если высказывание ложно при всех значениях входящих в него переменных, то такое высказывание называется тождественно ложным ( обозначается константой 0). Например, высказывание Сегодня среда, а это – второй день недели является тождественно ложным. Тождественно ложным является и следующее высказывание: Компьютер включен, и компьютер не включен (выключен).Его математическая запись А & А=0 Проверить, является ли сложное высказывание тождественно ложным, можно по таблице истинности.

23. Эквивалентные высказывания Если значения сложных высказываний совпадают на всех возможных наборах значений входящих в них переменных, то такие высказывание называют равносильными, или эквивалентными. Равносильность высказываний А и В записывается с помощью знака равенства: А=В. Высказывания А и В равносильны тогда и только тогда, когда их эквивалентность А  В является тождественно истинным высказыванием. Чтобы доказать равносильность (эквивалентность) сложных высказываний, достаточно построить их таблицы истинности и сравнить полученные результаты построчно.

24. Рассмотрим два высказывания:Х=Не может быть, что Матроскин выиграл приз и отказался от него. Х = А & ВY=Или Матроскин не отказался от приза, или не выиграл его.Y=A v BПостроим таблицы истинности, объединив две в одну: 1.Так как значения сложных высказываний Х (5-й столбец) и Y (6-й столбец) совпадают, то высказывания равносильны (эквивалентны).2. Так как эквивалентность Х и Y тождественно истинна, то высказывания равносильны (эквивалентны).