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1. 평행선 사이에 있는 선분의 길이의 비를 알고 문제를 풀 수 있다 . 2. 삼각형의 중점 연결 정리와 무게중심에 대하여 알고 문제를 풀 수 있다 .

학습목표. 1. 평행선 사이에 있는 선분의 길이의 비를 알고 문제를 풀 수 있다 . 2. 삼각형의 중점 연결 정리와 무게중심에 대하여 알고 문제를 풀 수 있다. . . . . A. 1. 삼각형과. 선분의. 길이의. 비. ABC 에서 에 평행한 직선이 와 만나는 점을 D,E 라 하면 임을 알아보자. D. E. →. B. C. →. ABC 와  ADE 에서 이므로. 2 삼각형과 평행선.

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1. 평행선 사이에 있는 선분의 길이의 비를 알고 문제를 풀 수 있다 . 2. 삼각형의 중점 연결 정리와 무게중심에 대하여 알고 문제를 풀 수 있다 .

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Presentation Transcript

  1. 학습목표 1.평행선 사이에 있는 선분의 길이의 비를 알고 문제를 풀 수 있다. 2.삼각형의 중점 연결 정리와 무게중심에 대하여 알고 문제를 풀 수 있다.    

  2. A 1 삼각형과 선분의 길이의 비 ABC에서 에 평행한 직선이 와 만나는 점을 D,E라 하면 임을 알아보자. D E → B C → ABC와 ADE에서 이므로 2 삼각형과 평행선 . . ABC=ADE, A:공통인 각  ABC ∽ ADE 두 쌍의 각의 크기가 같다.

  3. ABC의 변 BC에 평행한 직선이 변AB, AC의 연장선과 만나는 점을 D,E라 하면 임을 증명  E D A  B C 그러므로 문제 증명 ABC와 ADE에서 . CAB= EAD (맞꼭지각) * * ABC= ADE (엇각) 따라서 ABC ∽ ADE .

  4. 다음 그림에서 이다. x, y의 값을 구하여라. A 1) x x 3 6 D 6 5 E y 8 B C y B 10 E 8 12 A D C 문제 2) 풀이  x = 10 x : 6 = 5 : 3, 3x = 30 1)  y = 4.8 5y = 24 y : 8 = 3 : 5,  x =4 12x = 48 2) x : 8 = 6 : 2,  y = 5 y : 10 = 6 : 12, 12y=60

  5. 이면 ABC에서 임을 증명하여라. A 에 평행한 직선을 그어 라 하면 와 만나는 점을 D E EFC에서 ADE와 → B C → EFC ADE  ∽ 또 ABCD는 평행 사변형이므로 따라서 문제 증명 .  . DAE= FEC (동위각)  F AED= ECF (동위각)이므로

  6. ABC의 변 BC에 평행한 직선이 의 연장선과 만나는 점을 D,E라면 임을 증명 점D를 지나 에 평행한 직선을 그어 의 연장선과 만나는 점을 F라 하면  E D A  DBF ADE B C ∽ 문제 증명 F 그런데 ECFD는 평행 사변형 이므로

  7. 다음 그림에서 이다. x의 값은? A x 3 x 4 E D A D E 6 5 3 2 B C B C 문제, 오름 1) 2) 6 : x = 5 : 3 4 : 2= x : 3 5 x = 18 2x =12  x = 3.6  x = 6

  8. A 7.5cm 9cm y D x C 3cm B 12cm E 문제, 탐구 다음 그림에서 AB//DE일 때, x + y의 값을 구하여라.

  9. ABC에서 점 D, E가 위에 있거나 연장선 위에 있을 때, 이면 A A  E D D B E C → → A B D C E → →  B C 삼각형에서 평행선과 선분의 길이의 비

  10. ABC에서 이면, 임을 증명 A D E → B C ADE이므로 ABC → ∽ 문제 증명 ABC와 ADE에서 . A는 공통인 각 . B = ADE 즉, 동위각의 크기가 같으므로

  11. ABC에서 점 D, E가 이 연장선 위에 있고 이면 임을 증명 A  E D B C A E D   ADE B C ABC ∽  문제 ABC와 ADE에서 증명 A는 공통인 각 두 쌍의 길이의 비가 같고 그 끼인각 의 크기가 같으므로 따라서 ABC = ADE 즉, 동위각의 크기가 같으므로

  12. ABC에서 이면, 임을 증명 A 점 E를 지나 에 평행한 직선이 와 만나 점을 F라 하면 D E 이므로 C B  ADE EFC ADE ABC ∽ ∽   문제  증명 .  ADE와 EFC에서 . . F , DAE=  FEC (동위각)  ADE=EFC ABC= ADE 또 ABC=  EFC (동위각), A는 공통인 각 ADE와 ABC에서

  13. ABC에서 점 D, E가 위에 있거나 연장선 위에 있을 때, A A  E D 이면 D B C E → → A 이면 B D E C → →  B C 삼각형에서 평행선과 선분의 길이의 비

  14. 그림에서 //m//n이고, 할 때,  A m B D n C 이므로 이므로 2 평행선 사이의 선분의 길이의 비 다음을 구하여라

  15. A  즉 그림에서 이면 //m//n a a B a : b m  b b C n  평행선 사이의 선분의 길이의 비 세 평행선이 다른 두 직선과 만나서 생긴 선분의 길이의 비는 같다. a : b =

  16.   4 3 4 5 m  m 8 x x 3 n  n 다음 그림에서  //m//n이다. x의 값은? 문제 1) 2) 1) 5 : 3 = x : 4 2) 5 : 4 = x : 3 3x = 20 4x =15

  17. k  a a   b b m  c c n  문제 그림에서 k////m//n이면 a:a= b:b= c:c 임을 증명하여라. k////m이므로 a:a= b:b //m//n이므로 b:b= c:c 따라서 a : a = b : b = c : c

  18. 3 2 x 3 y 4 문제 그림과 같이 4개의 평행선이 두 직선과 만난다. 이때 x, y값을 구하여라. 2:3= 3: x 2x = 9 x = 4.5 2:3= 4 : y 2y = 12 y = 6

  19. z 6 5 m x 16 n 8 8 y p 오름, 탐구 그림에서 직선 //m//n//p 일 때, 이때 x, y, z의 값을 구하여라.

  20. 그림에서 일 때, 의 길이를 구하여라 6cm A D 5cm E F 3cm B C 10cm 탐구

  21. A _ = E D 이다. _ = B C 3 삼각형의 중점연결 정리 ABC의 변 AB, AC의 중점을 D, F라 하면 = 2 : 1이므로 따라서 = 2 : 1 그러므로

  22. ABC에서 변 AB의 중점 D를 지나고 변BC에 평행한 직선을 그어 변 AC와 만나는 점을 E라하자, 이때 점 E을 의 중점임을 증명하여라. A _ E D _ B C   따라서  점 E는 의 중점이다. 문제 증명 ABC와 ADE에서 A는 공통, B =ADE 공통 두 쌍이 대응하는 각의 크기가 같으므로 . ABC∽ ADE . = 2 : 1

  23. A _ = , E D _ = B C 삼각형의 중점 연결 정리와 그의 역 1) ABC에서 점 D, E가 각각 변 AB, AC의 중점이면 2) ABC에서 변 AB의 중점 D를 지나고 변 AC와 만나는 점을 E라 하면, 점 E는 변 AC의 중점이다.

  24. A S D R P C B Q 그러므로 사각형ABCD에서 변 AB, BC, CD, DA의 중점을 P, Q, R, S일 때, 사각형 PQRS는 평행 사변형임을 증명 문제 증명 대각선AC를 그으면 ABC에서 삼각형의 중점연결정리 또 ACD에서 따라서 ABCD는 평행사변형

  25. 인 사다리꼴 ABCD에서 의 중점을 E,F라 할 때, 다음을 증명하여라. D  A = - F  E = -  C B ABG에서 점 E,F은 각 변의 중점, 중점연결 정리에서 문제 두 점A,F를 지나고 변 BC 연장선 교점 G 증명 AFD와 GFC에서  AFD=GFC, ADF=GCF, . .  AFDGFC  G

  26. A _ = 점 E, F는 의 중점 E F _ G = C B 4 삼각형의 무게중심 ABC에서 각 꼭지점과 대변의 중점을 이은 선분을 중선,이 세 중선은 한 점에서 만난다. ABC에서 중선 BE, CF의 교점을 G 따라서 GBC∽ GEF (닮음비 2: 1) 점 G는 중선을 각 꼭지점으로부터 2 :1로 나누는 점이다

  27. A _ = 2 F E G _ = 1 # # B C D 정리 삼각형의 무게중심 삼각형의 세 중선은 한 점 (무게중심)에서 만나고, 이 점은 세 중선의 길이를 꼭지점 으로부터 각각 2:1로 나눈다.

  28. 문제 의 연장선과 와 교점을 D라 하면 A G . C B ABC의 무게중심을 G라 할 때, ABG, BCG, CAG의 넓이가 모두 같음을 증명 증명 GBD= GCD ABD= ACD, ABG = CAG 같은 방법 ABG = BCG D  ABG = BCG = CAG

  29. 선분 AD는 ABC의 중선이고, 점 G, G은 ABC와 GBC의 무게 중심이다. 일 때, 의 길이는? A G . G . C B D 문제 풀이 점 G는 ABC의 무게중심 또 점 G 는 GBC의 무게중심

  30. 문제 는 ABC 중선이고 이고 이때 ABC는 이등변 삼각형임을 증명 A E D 와 의 교점을 P, P는 ABC의 무게 중심이고 이므로 B C 증명 _ _ P = = EPB와 DPC에서 EPB = DPC EPB  DPC (SAS합동) 따라서 ABC는 이등변 삼각형이다.

  31. 오름 평행사변형 ABCD의 변 AD, BC의 중점 을 M, N이고 대각선 AC와 변 BM, DN과의 교점을 P, Q라 할 때, 임을 증명 M A D P O Q B C N 증명 점 P는ABD의 무게중심 점 Q는DBC의 무게중심

  32. 탐구 평행사변형 ABCD에서 의 중점을 각각 M, N이라 하고 대각선 BD와 과의 교점을 각각 P,Q라하자. 일 때, 대각선 BD의 길이를 구하여라. A D _ Q 6cm P _ N = = B M C

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