导 数

1. 导 数 ——导数的背景 黄石三中 郝海滨

2. 问题1 瞬时速度 一个小球自由下落，它在下落3秒时的速度是多少？

3. 记自由落体运动的方程为 s=s(t)=4.9 ·t2 则 s(3＋Δt)=4.9 (3＋Δt)2， s(3)=4.9 32， 因此， Δs =s(3＋Δt)－s(3) = 4.9 (3＋Δt)2－4.9 32 =29.4Δt＋4.9(Δt)2 ⑵根据 =Δs /Δt求出平均速度。 所以， =Δs /Δt = 29.4＋4.9· Δt 变题： • 一个小球自由下落，求它从3s到(3+Δt)s这段时间内的平均速度 。 解：⑴先求从3s到(3+Δt)s这段时间内的位移的增量Δs；

4. 问题1的解答： (1)先由自由落体运动的公式s=gt2/2求出从3s 到(3+Δt)s这段时间内的位移的增量Δs; (2)根据 =Δs /Δt求出平均速度; (3)由 ＝ 29.4＋4.9·Δt可知，当Δt 0时， 29.4，即当Δt 0时， 的极限是29.4。 即小球在3s时的瞬时速度为29.4。

5. 练习 某物体的运动方程为 s(t)=5t2 （位移单位：m；时间单位：s）, 求它在t=2s时的速度。

6. 小结 一般地，设物体的运动规律是s＝s(t)，则物 体在t到t+Δt这段时间内的平均速度为 如果Δt 0时， a。就是说，当Δt 0， 的 极限为a。这时a就是物体在时刻t的瞬时速度。

7. y y=x2 Q P(1,1) o x 问题2 切线的斜率 P（1，1）是曲线y=x2上的一点,Q是曲线上点P附近的一个点,观察点Q沿曲线逐渐向点P趋近时割线PQ的变化情况?

8. ⑶当点Q沿着曲线无限接近于点P时，即Δx 0，kPQ 2。 这表明，割线PQ无限趋近于过点P且斜率为2的直线。我们 把这条直线叫做曲线在点P处的切线。方程为 y=2x-1。 ⑴设点Q的横坐标为1＋Δx，则点Q的纵坐标为(1+Δx)2， 点Q对于点P的纵坐标的增量（即函数的增量） Δy＝ (1＋ Δx)2－1＝2 Δx＋(Δx)2 • 分析：要研究割线PQ的变化情况，即计算割线PQ的斜率。 ⑵割线PQ的斜率为

9. 小结 一般地，已知函数y=f(x)的图象是如图所示的曲线C， P(xo,yo），Q(xo＋Δx, yo＋Δx)是曲线上的两点,当点Q沿 着曲线无限接近于点P，即Δx 0时，如果割线PQ无限 趋近于一个极限位置PT，那么直线PT叫做曲线在点P处的切 线。此时，割线PQ的斜率 无限趋近于切线PT的斜率k， 也就是说，当Δx 0时， 割线PQ的斜率 的 极限为k。

10. 练习 1、设函数y=f(x),当自变量由xo改变到xo+Δx时，函数的改变量Δy=( ) A、f(xo+ Δx) B、 f(xo)-f(Δx) C、 f(xo)+Δx D、 f(xo+Δx) - f(xo) 2、已知曲线y=x2/2上A、B两点的横坐标是xo和xo+Δx，则过A、B两点的直线斜率是（ ） 3、判断曲线y=2x2在点P(1,2)处是否有切线，如果有，求出切线的方程。

11. 总结 一、导数在两类问题中分别代表的意义！ 二、利用导数思想解题的步骤： 1、寻求一个函数关系y=f(x)，求自变量从x变化到 x+△x时，函数值y的变化量△y； 2、求出△y/△x; 3、分析并判断△x对△y/△x的影响。