创新型、开放型问题

1. 创新型、开放型问题 第二讲

2. 第一类：找规律问题 这类问题要求大家通过观察,分析,比较,概括,总结出题设反映的某种规律,进而利用这个规律解决相关问题

3. 例1：观察下列算式：21=2 22=4 23=8 24=16 25=32 26=64 27=128 28=256通过观察，用你所发现的规律写出89的末位数字是——————。 例1：观察下列算式： 21=2 22=4 23=8 24=16 25=32 26=64 27=128 28=256 通过观察，用你所发现的规律写出89的末位数 字是——————。 8

4. 第二类:探求条件问题 这种问题是指所给问题结论明确,而寻求使结论成立的条件.大致有三种类型 (1)条件未知需探求 (2)条件不足需补充条件 (3)条件多余或有错,需排除条件或修正错误条件

5. ⌒ 例2:已知:如图,AB、 AC 分别是⊙O的直径和弦，D为劣弧 AC上一点，DE⊥AB于点H，交⊙O于点E，交AC于点F，P为ED的延长线上一点，（1）当△PCF满足什么条件时，PC与⊙O相切，为什么？2）当点D在劣弧AC的什么位置时，才能使AD2=DE· DF.为什么? ⌒

6. 分析：要知PC与⊙0相切，需知PC⊥OC，即∠PCO=90°，∵∠CAB+∠AFH分析：要知PC与⊙0相切，需知PC⊥OC，即∠PCO=90°，∵∠CAB+∠AFH =90°，而∠CAB=∠OCA，∠AFH=∠PFC， ∴∠PFC+∠OCA =90°，∴当∠PFC=∠PCF时，∠PCO=90°.

7. 解 :(1)当PC=PF(或∠PCF=∠PFC, 或△PCF为等边三角形)时,PC与 ⊙O相切. 连结OC,则∠OCA=∠FAH. 　∵PC=PF ∴∠ PCF=∠PFC=∠AFH 　∵DE ⊥ AB 　∴　∠OCA+∠PCF=∠FAH+∠AFH=900 　　即OC ⊥ PC, ∴ PC与⊙O相切.

8. （2）当点D在劣弧AC的什么位置时，才能使AD2=DE· DF.为什么? 分析:要使AD2=DE ·DF需知 △ADF∽△EDA 证以上两三角形相似,除公共角外,还需证∠DAC=∠DEA 故应知AD=CD ⌒ ⌒

9. ⌒ 解：（2）当点D是AC的中点时， AD2=DE· DF. 连结AE. ∵ AD=CD ∴ ∠ DAF=∠DEA 又∠ADF=∠EDA ∴△DAF∽△DEA ⌒ ⌒ 即AD2=DE· DF

10. 第三类:探求结论问题 这类问题是指题目中的结论不确定,不惟一,或结论需要通过类比,引申,推广或由已知特殊结论,归纳出一般结论

11. 例3：已知，⊙O1经过⊙O2的圆心O2，且与⊙O2相交于A、B两点，点C为AO2B上的一动点（不运动至A、B）连结AC，并延长交⊙O2于点P，连结BP、BC . (1)先按题意将图1补完整,然后操作,观察.图1供操作观察用,操作时可使用量角器与刻度尺.当点C在AO2B 上运动时,图中有哪些角的大小没有变化; (2)请猜想△BCP的形状,并证明你的猜想(图2供证明用) (3)如图3,当PA经过点O2时,AB=4,BP交⊙O1于D,且PB、DB的长是方程x2+kx+10=0的两个根，求⊙O1的半径. ⌒ ⌒

12. 例3：已知，⊙O1经过⊙O2的圆心O2，且与⊙O2相交于A、B两点，点C为AO2B上的一动点（不运动至A、B）连结AC，并延长交⊙O2于点P，连结BP、BC . (1)先按题意将图1补完整,然后操作,观察.图1供操作观察用,操作时可使用量角器与刻度尺.当点C在AO2B 上运动时,图中有哪些角的大小没有变化;

13. (2)请猜想△BCP的形状,并证明你的猜想 (图2供证明用)

14. （2）证明：连结O2A、O2B， 则 ∠BO2A=∠ACB ∠ BO2A=2∠P ∴∠ACB=2∠P ∵∠ACB=∠P+∠PBC ∴∠P=∠PBC ∴△BCP为等腰三角形.

15. (3)如图3,当PA经过点O2时, AB=4,BP交⊙O1于D,且PB、DB的长是方程 x2+kx+10=0的两个根，求⊙O1的半径.

16. 连结O2O1并延长交AB于E，交⊙O1于F 设⊙O1、⊙O2的半径分别为r、R，∴O2F⊥AB，EB=1/2AB=2，∵PDB、PO2A是⊙O1的割线，∴PD·PB=PO2·PA=2R2，∵PB、BD是方程x2+kx+10=0的两根，∴PB·BD=10，

17. ∵PD·PB=（PB－BD）·PB=PB2－PB·BD=PB2－10∴PB2－10=2R2，∵PD·PB=（PB－BD）·PB=PB2－PB·BD=PB2－10∴PB2－10=2R2， ∵AP是⊙O2的直径，∴∠PBA=90°，PB2=PA2－AB2，∴PB2=4R2－16 得R= 在Rt△O2EB中， O2E= 由相交弦定理得， EF·EO2=AE·BE，∴EF=4/3，r=1/2×（3+4/3）=13/6 ∴⊙O1的半径为13/6

18. 1 1 4 + = OA OB OC 第四类： 存在性问题 存在性问题是指在一定件下某数学对 象是否存在的问题 2 例 4 ：抛物线 y=ax + bx +c （ a ＜ 0 ） 过 P （ 1 ， - 2 ）， Q （ - 1,2 ）， 且与 X 轴交于 A,B 两点 ( A 在 B 的左 侧 ), 与 Y 轴交于 C 点，连结 AC ， BC 1. 求 a 与 c 的关系式 2. 若 ( O 为坐标原点 ), 求抛物线的解析式 穧 3. 是否存在满足条件 tan ∠ CAB cot ∠ CBA=1 的 抛物 线 ? 若存在 , 请求出抛物线的解析式。若不存 在，请说明理由 。

20. 解（1）将P（1，-2），Q（-1，2） 代入解析式得 解方程组得a+c=0，b=－2 ∴a，c的关系式是a+c=0或a=－c

21. 例4：抛物线y=ax2+bx+c（a＜0）过P（1，-2），Q（-1,2），且与X轴交于A,B两点(A在B的左侧),与Y轴交于C点，连结AC，BC例4：抛物线y=ax2+bx+c（a＜0）过P（1，-2），Q（-1,2），且与X轴交于A,B两点(A在B的左侧),与Y轴交于C点，连结AC，BC • 求a与c的关系式 • 若 • (O为坐标原点),求抛物线的解析式 • 3.是否存在满足条件tan∠CAB·cot∠CBA=1的抛物线?若存在, 请求出抛物线的解析式。若不存在，请说明理由。

22. （2）由（1）知b=－2，所以y=ax2－2x+c设A（x1，0）B（x2，0）则x1·x2=c/a，但a=－c，所以x1·x2＜0这说明A，B在原点两侧（A在B的左侧）所以OA=－x1，OB=x2，OC=|c|=|a|，已（2）由（1）知b=－2，所以y=ax2－2x+c设A（x1，0）B（x2，0）则x1·x2=c/a，但a=－c，所以x1·x2＜0这说明A，B在原点两侧（A在B的左侧）所以OA=－x1，OB=x2，OC=|c|=|a|，已 知 故有 即 平方后得 而（x2-x1）2=（x1+x2）2－4x1x2把x1+x2=2/a，x1·x2=－1代入上式中，得到关于a的方程，解方程求得a，c从而求出解析式

23. （2）设A，B的坐标分别为（x1，0）,（x2，0）,则x1，x2是方程 ax2－2x+c=0的两个根 ∴x1+x2=2/a，x1x2=－1因此A，B两点分别在原点两侧，因为A在B的左侧，所以x1＜0，x2＞0，故OA=－x1，OB=x2，OC=|c|=|a|，由 得 即

24. 平方后得 又 于是得4/a2+4=16/a2,解之得a= ， c= 所以解析式为 （x2-x1）2=（x1+x2）2 －4x1x2

25. 例4：抛物线y=ax2+bx+c（a＜0）过P（1，-2），Q（-1,2），且与X轴交于A,B两点,与Y轴交于C点，连结AC，BC例4：抛物线y=ax2+bx+c（a＜0）过P（1，-2），Q（-1,2），且与X轴交于A,B两点,与Y轴交于C点，连结AC，BC • 求a与c的关系式 • 若 • (O为坐标原点),求抛物线的解析式 • 3.是否存在满足条件tan∠CAB·cot∠CBA=1的抛物线?若存在, 请求出抛物线的解析式。若不存在，请说明理由。

26. （3） 假设满足条件的解析式存在 由tan∠CAB·cot∠CBA=1得(OC/OA)·(OB/OC)=1，从而有OA=OB 这说明A，B一定在原点两侧，所以－x1=x2即x1+x2=0，所以－b/a=0，因而b=0这与b=－2相矛盾，故假设错误，所以不存在这样的抛物线。