Глава 3 Динамика механической системы и твердого тела

1. Глава 3Динамика механической системы и твердого тела § 12. Некоторые виды систем 12.1. Неизменяемая система 12.2. Система с идеальными связями 12.3. Примеры идеальных связей § 13. Дифференциальные уравнения движения твердого тела § 14. Принцип Даламбера для механической системы 14.1. Главный вектор и главный момент сил инерции системы 14.2. Приведение сил инерции твердого тела 14.3. Динамические реакции, действующие на ось при вращении тела

2. α В1 β В2 F21 F12 § 12. Некоторые виды систем 12.1. Неизменяемая система Неизменяемой называют механическую систему, в которой расстояние между каждыми двумя взаимодействующими точками во все время движения остаётся постоянным Рассмотрим две точки в неизменяемой системе, т.е. В1В2= const Пусть точка В1 движется со скоростью а точка В2 – со скоростью тогда по теореме о проекциях скоростей т.к. , то

3. следовательно, Сложим эти выражения, воспользовавшись свойством внутренних сил, тогда имеем и теорема об изменении кинетической энергии для такой системы будет или

4. 12.2. Система с идеальными связями Разделим все внешние и внутренние силы на активные и реакции связей, тогда Рассмотрим систему, на которую наложены связи, не изменяющиеся со временем Т.к. силы реакции связи – постоянные, то и теорема об изменении кинетической энергии для такой системы запишется Связи называются идеальными, если они не изменяются со временем и при элементарном перемещении системы сумма их работ равна нулю

5. 12.3. Примеры идеальных связей 1. Движение по гладкой поверхности 2. Если связью является неподвижная поверхность (или кривая), трением о которую можно пренебречь 3. Качение без скольжения по твердой поверхности 4. Качение по абсолютно твердой поверхности (без деформаций) и

6. 5. При нерастяжимых нитях и стержнях 6. Шарнирно неподвижная опора , если Fтр = 0 Вывод В случае системы с идеальными связями теорема об изменении кинетической энергии (22)

7. 1. Если тело двигается поступательно, то дифференциальное уравнение его движения запишется как движение центра масс §13. Дифференциальные уравнения движения твердого тела (23) в координатном представлении 2. Если тело двигается вращательно, то по теореме моментов а (24) – дифференциальное уравнение движения вращающегося тела

8. 3. Если тело двигается плоско-параллельно, то положение его центра масс описывает уравнение движения центра масс системы, а уравнение для вращательного движения – его вращение относительно МЦС (25)

9. § 14. Принцип Даламбера для механической системы Для каждой точки системы можем записать уравнение принципа Даламбера Если в любой момент времени к каждой из точек системы кроме действующих на нее внешних и внутренних сил присоединить соответствующие силы инерции, то полученная система сил будет уравновешенной и к ней можно применить все уравнения статики Просуммируем по всем точкам системы (26)

10. Введем обозначения − главный вектор сил инерции, − главный момент сил инерции относительно центра О , то Так как и − условия равновесия механической системы (27)

11. 14.1. Главный вектор и главный моментсил инерции системы  При поступательном движении Главный вектор сил инерции системы равен произведению массы системы (тела) на ускорение центра масс и направлен в противоположную сторону ускорения (28) Тангенциальная и нормальная (центробежная) силы инерции

12. По теореме об изменении кинетического момента  − главный моментсил инерции системы относительно центра О (29) − главный моментсил инерции системы относительно оси Z

13. Систему сил инерции твердого тела можно заменить одной силой Rин, приложенной в произвольно выбранном центре О, и парой сил с моментом, равным МОин. 14.2. Приведение сил инерции твердого тела 1. Пусть механическая система движется поступательно, тогда Все силы инерции образуют систему параллельных сил и имеют равнодействующую, проходящую через центр масс системы

14. 2. Пусть механическая система, обладающая плоскостью симметрии ОХY, движется вращательно относительно оси ОZ, тогда результирующая сила Rин и пара сил с моментом МОин будут лежать в плоскости ОХY здесь ε− угловое ускорение системы

15. Если твердое тело совершает такое движение, то сила , т.к. , следовательно, система сил инерции сводится к паре сил с моментом, равным 3. Вращение вокруг оси, проходящей через центр масс системы 4. Плоско-параллельное движение Если тело имеет плоскость симметрии и движется параллельно этой плоскости, то равнодействующая сил инерции лежит в ней и приложена к центру масс тела, а пара сил имеет момент ε− угловое ускорение тела

16. Z B F1e F2e Fne ω A Y Х 14.3. Динамические реакции, действующие на ось при вращении тела Свяжем с телом оси АХYZ, вращающиеся вместе с ним с постоянной угловой скоростью ω • Реакции, возникающие в опорах при движении тела, называются динамическими Тогда координаты центра масс и моменты инерции тела будут постоянными величинами Пусть на тело действуют заданные силы, то проекции главного вектора этих сил будут

17. Z B F1e Fne F2e ω Равнодействующая сила Rин и пара с моментом A Y МYин Х МХин ХА ХВ YА YB ZА Rин Главные моменты относительно тех же осей т.к. ω = const XA, YA, ZA, XB, YB Определим динамические реакции подшипников Присоединим силы инерции всех частей тела, приведя их к центру А Проекции этого момента будут

18. Z B Fne F2e F1e ω Главный вектор сил инерции Rин = - maC , где m – масса тела С A Y МYин Х МХин ХА ХВ YА YB ZА Rин Составим уравнения равновесия, полагая АВ = b О Центр масс С имеет только нормальное ускорение , т.к. ω = const , где hC = ОС – расстояние центра масс С от оси вращения тела

19. Z B F1e F2e Fne ω mk С A Y α МYин Х МХин ZА Rин YB YА ХВ ХА Вычислим проекции Rини учтем, чтоRин ||ОС и где xCи yC – координаты центра масс С Рассмотрим какую-нибудь точку тела, чтобы определить моменты сил инерции относительно осей. О Для нее тожесила инерции имеет только центробежную составляющую, т.к. ω=const

20. Z B Fne F2e F1e ω mk С A Y МYин Х МХин ХА YА YB ZА Rин ХВ Определим проекции Просуммируем по всем точкам тела О Jxzи Jyz – центробежныемоменты инерциитела

21. Z B Fne F2e F1e ω mk С A Y МYин Х МХин ХА YА YB ZА Rин ХВ Подставим в уравнения равновесия Уравнения определяют динамические реакции в подшипниках Если ω = 0, то получаем статические реакции О Динамические реакции значительно больше статических Это зависит не только от ω,но и хС, уС, Jxz,Jyz.

22. ЕслихС = 0, yС = 0, Jxz=0, Jyz=0, то наличие вращения не влияет на значения реакций подшипников Получили условие динамической уравновешенности вращающегося тела относительно оси Z Динамическое уравновешивание вращающихся тел – важная техническая задача Любую ось, проведенную в теле, можно сделать главной центральной осью инерции, прибавляя к телу две точечные массы! Пусть для тела массой m координаты его центра масс и центробежные моменты инерции известны и не равны нулю:хС ≠ 0, yС ≠ 0, Jxz ≠ 0, Jyz ≠ 0

23. Прибавим к телу ещё две массы m1и m2 в точках с координатами (х1, у1, z1) и (х2, у2, z2) Найдем радиус-вектор центра масс такой системы и её центробежные моменты инерции Чтобы для полученной системы ось Z стала главной центральной осью инерции, необходимо выполнение следующих условий Тогда х’С = 0, y’С = 0, J’xz=0, J’yz=0

24. Механический смысл величин и Центробежные моменты инерции характеризуют степень динамической неуравновешенности тела при его вращении вокруг оси Z