一元二次方程复习

1. 一元二次方程复习

2. 定义 一元二次方程 解法 应用

3. 知识结构 一般形式 ax2+bx+c=0（a≠0） 直接开平方法 一元二次方程 配方法 解法 公式法 因式分解法 根的判别式： 根与系数的关系： 配方法求最值问题 实际应用 应用 思想方法 转化思想； 配方法、换元法

4. 一、概念： 等号两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程 二、一元二次方程的一般形式： 其中二次项是________,二次项系数是__________,一次项是________,一次项系数是_________,常数项是_______ a b

5. 1.下列关于x的方程中是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. E. D • 2、方程① ② • ④ • 中是一元二次方程的为（填序号） ②③

6. ≠2 3.当k时，方程 是关于x的一元二次方程。 4.方程2x(x-1)=18化成一般形式为，其中常数项为。二次项为，一次项为，二次项系数为，一次项系数为. x2-x-9=0 -9 x2 1 x -1

7. a2-4=0 解:(1) a+2≠0 5、关于x的方程(a2-4)x2+(a+2)x-1=0 (1)当a取什么值时,它是一元一次方程? (2)当a取什么值时,它是一元二次方程? (2) a2-4≠0 ∴a≠±2 ∴a=2 ∴当a≠±2时，原方程是一元二次方程 ∴当a=2时，原方程是一元一次方程

8. 三、方程的根 能使等式成立的未知数的值叫做方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根 6.若关于x的方程x²＋2x－m＝0的一根为0，则m＝。 7.已知x＝－1是方程x²－ax＋6＝0的一个根，则a＝ ，另一个根为 。

9. 四、根的情况： b2-4ac>0 方程有两个不相等的实数根 b2-4ac=0 方程有两个相等的实数根 b2-4ac<0 方程没有实数根

10. 练习： 不解方程判别根的情况 ： （1）2x2－4x+1=0； （2） 4y(y－5)+25=0； （3）(x－4)(x+3)+14=0； （4）(k2+1)x2－2kx+(k2+4)=0.

11. 8.方程 x2- x-1=0 的根的情况是. 9.关于x的一元二次方程 有两个实数根，则k的取值范围是。 有两个不相等的实数根 k≤2且k≠1 10.关于x的一元二次方程2x²＋kx＋1＝0有两个相等的实根，则k＝；方程的解为。

12. 五、解一元二次方程的方法： 配方法 公式法 因式分解法。

13. 练习 选用适当方法解下列一元二次方程 直接开平方 因式分解 • 1、 (2x+1)2=64 ( 法） • 2、 (x-2)2-４(x+１)2=0 ( 法） • 3、(５x-４)2 -(4-５x)=０ ( 法） • 4、 x２-４x-10=０ ( 法） • 5、 ３x２-４x-５=０( 法） • 6、 x２＋６x-1=0 ( 法） • 7、 ３x２ -８x-３=０ ( 法） • 8、 y2- y-1=0( 法） 因式分解 公式 公式 公式 因式分解 公式 选择方法的顺序是： 直接开平方法 →分解因式法 →公式法→配方法

14. 11、 （1）(x＋1)(x－2)＝0 （2）(x＋3)²＝４ （3）已知: (a2+b2)(a2+b2-3)=10 则a2+b2 = 。 （4）已知2x2+5xy－7y2=0， 且y≠0，求x∶y

15. 12.用配方法解下列方程时，配方有错误的是（ ） • x²－2x－99＝0化为 (x－1)²＝100 • B. x²＋8x＋9＝0化为 (x＋4)²＝25 C. 2t²－7t－4＝0化为 D. 3y²－4y－2＝0化为

16. (5) (6) 13.用适当的方法解方程 (1) (2) (3) (4)

17. 14.若方程(x+1)(x+a)=x²+bx-4，则( ) A. a＝4，b=3 B. a＝-4，b=3， C. a＝4，b=-3 D. a＝-4，b=-3

18. 求证： （1）对于任何实数x，均有： ＞0； （2）不论x为何实数，多项式 的值总大于 的值。

19. 六、一元二次方程的根与系数： 韦达定理： 一元二次方程的根与系数的关系： 若 ax2+bx+c=0的两根为 x1、x2，则 x1+x2=_______；x1x2=___； 以x1、x2为根（二次项系数为1）的一元二次方程为_________________. x2-(x1+x2)x+x1x2=0 已知两数的和是4,积是1，则此两数为.

20. 例题分析: 【例1】 关于x的方程2x2+kx-4=0的一个根是－2，则方程的另一根是；k＝。 【例2】x1,x2是方程2x2-3x-5=0的两个根，不解方程，求下列代数式的值： （1）x12+x22 （2）︱x1-x2︱ （3）x12+3x22-3x2

21. １、已知方程x2－mx+2=0的两根互为相反数，则m=。１、已知方程x2－mx+2=0的两根互为相反数，则m=。 2.设a，b是方程 的两个实数根，则 = ； 3、 已知方程x2+4x－2m=0的一个根α比另一个根β小4，则α=；β=；m=. 4、已知方程5x2+mx－10=0的一根是－5，求方程的另一根及m的值。 5、关于x的方程2x2－3x+m=0，当时，方程有两个正数根；当m时，方程有一个正根，一个负根；当m时，方程有一个根为0。

22. 为什么是0.618 如图,点C把线段AB分成两条线段AC和BC,如果 那么称线段AB被点C黄金分割(golden section),点C叫做线段AB的黄金分割点,AC与AB的比称为黄金比. B A C

23. 实际问题与一元二次方程 列一元二次方程解应用题的步骤与列一元一次方程解应用题的步骤类似， 即审、设、列、解、验、答． 增长(下降)率问题 题型 面积问题 行程问题

24. 1.一种商品，原来每件的成本为100元，由于连续两次降低成本，现在的成本是81元，求平均每次降价的百分率。1.一种商品，原来每件的成本为100元，由于连续两次降低成本，现在的成本是81元，求平均每次降价的百分率。 2.某印刷厂一月份印刷书籍50万册,二,三月份共印刷132万册,求二,三月份平均每月增长率是多少?

25. 2.某中学为美化校园，准备在长32米，宽20米的长方形场地上修筑若干条一样宽的道路，余下部分作草坪，并请全校学生参与设计。现选取了几位同学设计的方案（图纸如下）： （1）甲同学方案如图，设计草坪的总面积为540平方米。问：道路的宽为多少？ （2）若选取乙同学方案（如图），已知设计草坪的总面积为540平方米。则道路的宽又为多少？

26. 20 32 20 32 （3）若选取丙同学方案（如图），已知设计草坪的总面积为570平方米。则道路宽又为多少？ （4）若把乙同学的道路由直路改为斜路， 设计草坪的总面积仍为540平方米， 那么道路的宽又是多少？ (5)改为折线又如何？ 改为曲线又如何？

27. 3.如图,某农户为了发展养殖业,准备利用一段墙和55米长的竹篱笆围成三个相连且面积相等的长方形鸡、鸭、鹅各一个.问:( 1)如果鸡、鸭、鹅场总面积为150米2,那么有几种围法?(2)如果需要围成的养殖场的面积尽可能大,那么又应怎样围,最大面积是多少? ( 墙长18米)

28. 4.某商场礼品柜台春节期间购进大量贺年卡，一种贺年卡平均每天可售出500张，每张盈利0.3元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现，如果这种贺年卡的售价每降低0.1元，那么商场平均每天可多售出100张，商场要想平均每天盈利120元，每张贺年卡应降价多少元? 每张贺年卡应降价多少元时有最大利润

29. 5. 现有12升纯酒精，倒出一部分后注满水，第二次倒出与前次同量的混合液再注满水，此时容器内的水是纯酒精的3倍，求每次倒出液体的数量是多少升.

30. 一元二次方程复习二

31. 一元二次方程的概念 做一做 1、判断下列方程是否为一元二次方程. (2)X3+X2=36 (1)X2+X=36 (3)X2+3Y=36 (a≠0) (6)ax2+bx+c=0 (5)X2=X(X+1)+36 ２、若关于x的方程(m-1)x2+3x-4=0是一元二次方程, 则m的取值范围是______.

32. 做一做,看看你是否真的掌握了? 1.下列是一元二次方程的是（ ） A. X2+3x-2 B. x2+3x-2=x2 C. X2=2+3x D. x2-x3+4=0 2.写出一个一元二次方程，使它的各项系数之和为6，则方程可以是__________________________. 3.关于x的方程(m-3)x2-(m-1)x-m=0是一元二次方程，则二次项系数是_____,一次项系数是_____,常数项是_____. 4.若关于x的方程kx2+x=2x2+1是一元二次方程，则k的取值范围是_____.

33. 典型例题： (1)x2-10x+24=0; (4)3x(x-2)=4(x-2); (3)y2+(2-y)2+7y=0

34. 1．(2002·杭州)已知2是关于x的方程 的一个解，则2a－1的值 为_____________． 【中考题目训练】 2、(2003·大连)某房屋开发公司经过几年的不懈努力，开发建设住宅面积由2000年4万平方米，到2002年的7万平方米．设这两年该房屋开发公司建设住宅面积的年平均增长率为x，则可列方程为_____________．

35. 小结与提高 • 1.将方程化成一般形式. • 2.解方程时选取方法要恰当。 • 3.应用根与系数关系时，要 特别注意应，b2-4ac≥0. • 3.一元二次方程系数可以判断 方程根的情况. a与c的符号为异号时，方程必定有实数根；

36. 综合运用 1、方程2x2=x的解是。 2、已知(x+y)(x+y+2)=8，那么x+y=。 3、当m=时，代数式x2+mx+0.25是一个完全平方式

37. 4、已知方程4x2-5kx+k2=0的一个根是x=2，则k的值为。4、已知方程4x2-5kx+k2=0的一个根是x=2，则k的值为。 2或8 5、如果方程 是关于x的一元二次方程，则它的根 为。

38. 7、如果方程ax2-6x+3=0有实数根，则a的取值范围是。7、如果方程ax2-6x+3=0有实数根，则a的取值范围是。

39. 8、 是关于x的一元二次方程，求m的值并解此方程

40. 9、读诗词解题（通过列方程，算出周瑜去世时的年龄）9、读诗词解题（通过列方程，算出周瑜去世时的年龄） • 大江东去浪淘尽，千古风流数人物； • 而立之年督东吴，早逝英年两位数； • 十位恰小个位三，个位平方与寿符； • 哪位学子算得快，多少年华属同瑜？

41. 一元二次方程复习三

42. 例1 将下列方程化为一般形式， 并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项,并解方程 1) 2）（x-2）(x+3)=8 3）

43. 例2:关于x的方程(m2-9)x2+(m+3)x+5m-1=0， (1)当m取何值时是一元二次方程？ (2)当m取何值时是一元一次方程？ 练: 方程（2a—4）x2 —2bx+a=0, 在什么条件下此方程为一元二次方程？ 在什么条件下此方程为一元一次方程？ 解：当 2a－4≠０，即a ≠2 时是一元二次方程； a=2 且 b ≠0 时是一元一次方程

44. .选择题 1.方程（m－1)x2＋mx＋1=0为关于x的一元二次方程则m的值为＿＿＿ A 任何实数 B m≠0 C m≠1 D m≠0 且m≠1 2.关于x的方程中一定是一元二次方程的是 A ax2＋bx＋c＝0 B mx2＋x－m2＝0 C (m＋1)x2＝(m＋1)2 D （m2＋1) x2－m2＝0

45. 3. 关于x的方程（2m2＋m－3)xm＋1＋5x＝13 可能是一元二次方程吗？ 4.若方程kx3－(x－1)2＝3(k－2)x3＋1是关于x的一元二次方程，则k＝＿＿＿ 5. a为何值关于x的方程(3a＋1)x2＋6ax－3=0是一元 二次方程 6.K为何值方程（k2－9)x2＋(k－5)x＋3=0不是关于x的一元二次方程

46. 变式与应用

47. B A C

48. ★★思考题： 1. 关于X的方程(2m2+3)x2+5x=13 一定是一元二次方程吗？为什么? 2. 若关于x的方程kx2+x=2x2+1是一元二次方程，则k的取值范围是_____.

49. C A 3＜x ＜3.23 B 3.23＜x ＜3.24 C 3.24＜x ＜3.25 D 3.25＜x ＜3.26

50. 试说明： 不论x取何值，代数式2x2+5x-1的值总比代数式x2+8x-4的值大。