流 体 力 学 泵 与 风 机

1. 流体力学泵与风机 第一部分 流体力学 2 流体静力学

2. 2 流体静力学 • 【知识点】 • 作用在流体上的力；静压强基本特性；静压强基本方程式；压强的基准和量度方法； 液柱式测压计的原理； 作用于平面上静止液体总压力的计算；作用在曲面上静止液体总压力的计算等。   • 【能力目标】 • 掌握：流体静压强的基本概念、基本特性，流体静压强基本方程及其在工程中的应用，压强的两种基准和三种量度方法； • 理解：液柱式测压计的测压原理；作用在流体上的力； • 熟练应用：能够熟练绘制静压分布图，计算作用于平面上和曲面上的液体总压力。

3. 2 流体静力学 • 流体静力学研究流体在静止或相对静止状态下的力学规律及其实际应用。静止或相对静止的流体中，各质点间不存在相对运动，无论粘滞性多大，均没有切力。又因为流体不能承受拉力，因此静止流体中只存在压力作用，所以流体静力学的主要任务是研究流体内部静压强的分布规律，并在此基础上解决一些工程实际问题。流体静力学是流体力学的基础，它总结的规律可以用于整个流体力学中。

4. 1 2.1 作用在流体上的力 2 2.2 流体静压强及其特性 3 6 2.3 流体静压强的分布规律 2.6 作用于曲面上的液体总压力 4 5 2.4 压强的测量 2.5 作用于平面上的液体总压力 2 流体静力学

5. 2.1 作用在流体上的力 • 作用在流体上的力是流体运动状态变化的重要外因，因此在研究流体运动规律时，必须分析作用在流体上的力。根据力作用方式的不同，作用在流体上的力可分为表面力和质量力。 • 作用于流体（或分离体）表面上的力称为表面力。流体的面积可以是流体的自由表面也可以是内部截面积（如图2.1所示的隔离体面积ΔA)，因为流体内部几乎不能承受拉力，所以作用于流体上的表面力只可分解为垂直于表面的法向力和平行于表面的切向力。 2.1.1表面力

6. 2.1 作用在流体上的力 • 作用于流体的法向力即为流体的压力，作用于流体的切向力即为流体内部的内摩擦力。 • 在流体内部，表面力的分布情况可用单位面积上的表面力，即应力来表示。单位面积上的压力称为压应力(或压强)，以p表示；单位面积上的切向力称为切应力，以τ表示。

7. 2.1 作用在流体上的力 • 作用于流体的每一质点或微团上的力称为质量力。例如重力场中地球对流体的引力所产生的重力(G=mg)、直线运动的惯性力(F=ma)和旋转运动中的离心惯性力(F=mrω2)等(式中ω是角速度)。 • 质量力常用单位质量力来表示。若某均质流体的质量为m，所受的质量力为F。则单位质量力为： 2.1.2质量力

8. 2.1 作用在流体上的力 • 设F在三个空间坐标轴上的分量分别为Fx、Fy、Fz，则f在相应的三个坐标轴上的分量X、Y、Z分别可表示为： • 单位质量力的单位与加速度的单位相同，即m/s2。

9. 2.2 流体静压强及其特性 • 假设有一个盛满水的水箱，如果在侧壁上开个小孔，水会立即喷出来，这就说明静止的水是有压力的。事实上处于静止状态下的流体，不仅对与之相接触的固体边壁有压力作用，而且在流体内部，相邻的流体之间也有压力作用。这种压力称为流体静压力，用P表示。 • 静止流体作用在单位面积上的流体静压力称为流体静压强，用p表示。 2.2.1流体静压强的定义

10. 2.2 流体静压强及其特性 • 如图2.2所示，在静止或相对静止的均质流体中，任取一体积V，该流体所受四周流体的作用力以箭头表示。设用一平面ABCD将此流体分为Ⅰ，Ⅱ两部分，假设移去Ⅰ部分，以等效力代替它对Ⅱ部分的作用，显然，余留部分仍保持原有的平衡状态。从平面ABCD上取一小块面积ΔA，a点是该平面的几何中心，令力ΔP为移去流体作用在面积ΔA上的总作用力。

11. 2.2 流体静压强及其特性 • 在流体力学中，力ΔP称为面积ΔA上的流体静压力，作用在面积ΔA上的平均流体静压强简称平均压强。即： • 当作用面ΔA无限缩小至a点时，平均压强ΔP/ΔA比值趋近于某一个极限值，此极限值称为a点的流体静压强，以p表示。即：

12. 2.2 流体静压强及其特性 • 从上式可以看出，流体的静压力和流体静压强都是压力的一种量度。但它们是两个不同的概念。流体静压力是作用在某一面积上的总压力；而流体静压强则是作用在某一面积上的平均压强或某一点的压强。因此它们的计量单位也不相同。 • 国际单位制中，压力P的单位是牛顿(N)或千牛顿(kN)；静压强的单位是帕斯卡，简称帕(Pa)，1Pa＝1N/m2。有时也用千帕(kPa)，或巴(bar)，1kPa＝1kN/m2=103Pa，1bar=105Pa；在工程单位制中，流体静压力的单位常用千克力(kgf)，流体静压强的单位常用千克力/平方厘米(kgf/cm2)等。

13. 2.2 流体静压强及其特性 • 流体静压强有两个重要的特性： • (1)流体静压强的方向必然是垂直指向受压面的，即与受压面的内法线方向一致。 • 如图2.3所示，假设流体静压力P的方向是任意的，根据力学知识，我们将P可以分解为垂直于作用面的法向分力Pcosθ和平行于作用面的切向分力Psinθ。静止流体是不能承受拉力和切力的，所以切向分力为零，即θ角为0°，所以流体静压强的方向只能是垂直指向作用面的。 2.2.2流体静压强的特性

14. 2.2 流体静压强及其特性

15. 2.2 流体静压强及其特性 • (2)在静止或相对静止的流体中，任一点各方向的流体静压强大小均等。 • 在静止流体中任取一微小三棱柱，它在垂直于纸面方向有高度为dl，设柱体底面三边的长度分别为da，db，dc，作用在三个微小侧面上的压强分别为p1，p2，p3，如图2.4(a)所示，于是作用在这三个面上的压力分别为

16. 2.2 流体静压强及其特性 • 这个三棱柱的重量dG是三阶无限小量，可以略去不记。由于这三个压力处于平衡状态，据力学原理，必然组成一闭合力三角形，如图2.4(b)所示，根据几何学，这两个三角形相似，即 • 则有 p1dl＝p2 dl＝p3 dl • 即p1＝p2＝p3

17. 2.2 流体静压强及其特性 • 当三棱柱体积无限缩小向O点趋近时，p1，p2，p3表示的是O点的压强。而三棱柱是任取的，这就证明了静止流体内任一点各方向的流体静压强均相等，与作用面的方位无关；当所取点的位置不同时，所对应的p也不同，因而流体静压强只与点的位置有关，仅是位置的函数，即p=f(x，y，z)。 • 根据流体静压强的特性，在实际工程中进行受力分析时，可画出不同作用面上流体静压强的方向，如图2.5所示。

18. 2.3 流体静压强的分布规律 • 由于流体本身有重量和易流动，对容器的底部和侧壁产生静压强，现在来分析静压强的分布规律。假设在容器侧壁上开三个小孔，如图2.6所示，容器内灌满水，然后把三个小孔的塞头打开，这时可以看到水流分别从三个小孔喷射出来，孔口愈低，水喷射愈急。这个现象说明水对容器侧壁不同深处的压强是不一样的，即压强随着水深的增加而增大，如果在容器侧壁同一深度处开几个小孔，则我们可以看到从各孔口喷射出来的水流都一样，这说明水对容器侧壁同一深度处的压强相等。 2.3.1流体静压强基本方程式

19. 2.3 流体静压强的分布规律

20. 2.3 流体静压强的分布规律 • 在静止液体内，任意取一微小圆柱体如图2.7所示，设微小圆柱体端面积为dA，长为ΔL，圆柱体轴线与垂直面夹角为θ。现在来分析作用在液体柱上的力。 • （1）表面力 • 周围的静止液体对圆柱体作用的表面力有侧面压力及两端面的压力。作用在液柱两端的压力沿轴向从端面反方向，作用的压力分别为P1和P2；作用在液体柱侧面上的压力，垂直指向作用面，所以侧面压力与轴向正交，沿轴向分力为零。 • （2）质量力 • 静止液体受的质量力只有重力G，而重力的方向铅垂向下作用，与轴线夹角为θ，G可以分解为平行于轴向的力Gcosθ和垂直于轴向的力Gsinθ。

21. 2.3 流体静压强的分布规律 • 由于液体是处于静止状态的，所以根据力的平衡原理，该微小圆柱体的受力在任何方向上都应平衡，列沿轴线方向的平衡方程式： • 因为微小圆柱体的端面面积dA很小，可以认为断面上压强是处处相等的。则得到 • P1=p1dA • P2=p2dA • 式中p1、p2分别表示圆柱体两端上的压强。

22. 2.3 流体静压强的分布规律 • 微小圆柱体为均质液体，所以所受的重力为液体的容重乘以圆柱体的体积，即G=γΔLdA，则 • 消去dA整理得： • 而 ，所以 或写成 即 （式2.5）

23. 2.3 流体静压强的分布规律 • 因为倾斜圆柱体是任意选取的。因此上式具有普遍意义，即静止液体中任两点的压强差等于两点深度差乘以容重。 • 现在，把压强关系式应用于静止液体内某一点的压强。如图2.8所示，根据式（2.5）得： • 式中p——静止液体内某点的压强，Pa； • p0——静止液体的液面压强，Pa； • γ——液体的容重，N/m3； • h——该点在液面下的深度，m。 （式2.6）

24. 2.3 流体静压强的分布规律 • 这就是液体静力学的基本方程式。它表示静止液体中，压强随深度的变化规律。从式（2.6）可以得出以下结论： • （1）静止液体中任一点的压强由液面压强p0和该点在液面下的深度与容重的乘积γh两部分组成。压强的大小与容器的形状无关，即只要知道液面压强p0和该点在液面下的深度h，就可求出该点的压强。 • （2）液面压强p0增大或减小时，液体内各点的流体静压强亦相应的增加或减少，即液面压强的增减将等值传递到液体内部其余各点。 • （3）液体中的压强的大小是随着液体深度逐渐增大的。当容重一定时，压强随水深按线性规律增加。在实际工程中修堤筑坝，愈到下面的部分愈要加厚，以便承受逐渐增大的压强，其道理也在于此。

25. 2.3 流体静压强的分布规律 • 【例题2.1】敞口水池中盛水如图2.9所示。已知液面压强p0=98.07kN/m2，求池壁A、B两点、C点以及池底D点所受的静水压强。

26. 2.3 流体静压强的分布规律 • 关于压强的作用方向，静压强的作用方向垂直于作用面的切平面且指向受力物体（流体或固体）系统表面的内法线方向。A、B、D三点在容器的壁面上，液体对固体边壁的作用和方向如图2.9中所示，C点在各个方向上的静压强相等。液体静力学基本方程（式2.6）还有另一种形式，如图2.10所示，设水箱水面的压强为p0，水中1、2点到任选基准面0-0的高度为Z1、Z2，压强为p1、p2，将式中的深度h1、h2分别用高度差（Z0-Z1）和（Z0-Z2）表示后得： • p1＝p0+γ（Z0-Z1） • p2＝p0+γ（Z0-Z2）

27. 2.3 流体静压强的分布规律 • 上式除以容重γ，并整理后得： • 两式联立得： 图2.10 流体静力学 方程推证

28. 2.3 流体静压强的分布规律 • 水中1、2点是任选的，故可将上述关系式推广到整个液体，得出具有普遍意义的规律，即： • （常数） • 这就是液体静力学基本方程的另一种形式，它表示在同一种静止液体中，不论哪点的 总是一个常数。 （式2.7）

29. 2.3 流体静压强的分布规律 • 2.3.2.1物理意义 • 方程式 中，从物理的角度来说，Z项是单位重量液体质点相对于基准面的位置势能，p/γ项是单位重量液体质点的压力势能， 项是单位重量液 体的总势能， 表明在静止液体中，各液体质点单位重量的总势能均相等。 2.3.2静压强基本方程式的意义

30. 2.3 流体静压强的分布规律 • 2.3.2.2几何意义 • 式（2.7）中各项的单位都是米（m），具有长度量纲[L]，表示某种高度，可以用几何线段来表示，流体力学上称为水头。Z为该点的位置相对于基准面的高度，称为位置水头，p/γ是该点在压强作用下沿测压管所能上升的高度，称为压强水头， 称为测压 管水头，它表示测压管液面相对于基准面的高度。所谓测压管是一端与大气相通，另一端和液体中某一点相接的管子，如图2.11所示， 在该图中，表 示同一容器的静止液体中，所有各点的测压管水头均相等。因此，在同一容器的静止液体中，所有各点的测压管液面必然在同一水平面上，测压管水头中的压强p必须采用相对压强表示。

31. 2.3 流体静压强的分布规律 • 以上规律是对液体分析得到的，对于不可压缩气体也同样适用。只是气体的容重较小，所以在高差不是很大的时候，气体所产生的压强很小，认为γh=0。压强基本方程式简化为 • 即认为空间各点的压强相等。但是如果高差超过一定的范围时，还应使用公式(2.6 )来计算气体压强。 (式2.8) 图2.11 测压管水头

32. 2.3 流体静压强的分布规律 • 2.3.3.1等压面 • 在静止液体中，由压强相等的点组成的面称为等压面。根据流体静力学基本方程（2.6）可知，在连通的同种静止液体中，深度h相同的各点静压强均相等。由此可得以下结论： • (1)在连通的同种静止液体中，水平面必然是等压面； • (2)静止液体的自由液面是水平面，该自由液面上各点压强均为大气压强，所以自由液面是等压面； • (3)两种不同液体的分界面是水平面，故该面也是等压面。 2.3.3等压面 连通器 帕斯卡定律

33. 2.3 流体静压强的分布规律 • 现在以图2.12来具体分析判断等压面。图2.12(a)中，位于同一水平面上的A、B、C、D各点压强均相等，通过该四点的水平面为等压面。图2.12(b)中，由于液体不连通，故位于同一水平上的E、F两点的静水压强不相等，因而通过E、F两点的水平面不是等压面。图2.12(c)中，连通器中装两种不同液体，且ρ水>ρ油，通过两种液体的分界面的水平面为等压面，位于该水平面上的G、H两点压强相等。而穿过两种不同液体的水平面不是等压面，位于该水平面上方的I、J两点压强则不等。

34. 2.3 流体静压强的分布规律

35. 2.3 流体静压强的分布规律 • 2.3.3.2连通器 • 所谓连通器就是液体自由表面以下互相连通的两个（或几个）容器。分三种情况： • （1）第一种情况，两个相连的容器，Ⅰ和Ⅱ中，盛有同一种液体（γ1=γ2）且面上压强相等（p01=p02），如图2.13所示。由于液体处于平衡状态，根据静压强的第二个特性，A点左右两侧的静压强相等，所以 • pA1=pA2 • p01+γ1h1=p02+γ2h2 • 因为 γ1=γ2，p01=p02 • 所以 h1=h2（式2.9）

36. 2.3 流体静压强的分布规律 • 此式说明，对于盛有相同液体，且自由表面上气体压强相等的连通器，其液体自由表面高度相等。工程上广泛应用的水位计，如锅炉汽泡水位计、汽轮机油箱油位计等，就是利用此原理制成的。 图2.13 连通器情况一

37. 2.3 流体静压强的分布规律 • （2）第二种情况，在连通器中盛有相同液体(γ1=γ2=γ)，但自由表面上的气体压强不相等（p01≠p02），如图2.14，此时，可写出A点左右两侧静压强平衡方程式 • 或 • 且 • 式(2.10)说明，对于盛有相同液体的连通器，其自由表面上的气体压强差，等于连通器两容器中液体自由表面高度差所产生的压强值。工程上常用的U形管，就是根据这个原理测量压强的。 （式2.10）

38. 2.3 流体静压强的分布规律 图2.14 连通器情况二 图2.15 连通器情况三

39. 2.3 流体静压强的分布规律 • (3)第三种情况，在连通器的两个容器中盛有两种不同的液体(γ1≠γ2)，但自由表面上的压强相等（p01=p02），如图2.15所示，在这种情况下A点左右两侧静压强分别为 ∴ ∴ 或 （式2.11）

40. 2.3 流体静压强的分布规律 • 2.3.3.3 帕斯卡定律 • 根据流体静力学基本方程 可知，液面压强p0与液柱所具有的重量γh无关，如果液面压强p0增大（或减小）Δp，则液体内任意点的压强都将同时增大（或减小）同样大小的Δp。 • 因此可以得出结论：静止流体内任一点的压强变化，会等值传递到流体的其他各点。这就是著名的帕斯卡原理。水压机、液压千斤顶及液压传动装置都是利用这一原理设计的。

41. 2.3 流体静压强的分布规律 • 图2.16所示为水压机原理图，有两个尺寸不同，彼此连通的圆筒和一对活塞组成，筒内充满水。已知大小活塞面积分别为A1、A2，忽略两活塞重量及其与圆筒摩擦力的影响，小活塞上加力P1，在P1的作用下，小活塞A1上产生的静水压强为 • 按帕斯卡原理，p将等值传递到A2上，所以 • 可见，大活塞上所产生的力P2是小活塞作用力P1的 倍。

42. 2.3 流体静压强的分布规律 • 【例题2.2】容重为γa和γb的两种液体，装在图2.17所示的容器中，各液面深度如图所示，两端自由液面上气体压强均为p0，若γb为已知，求γa及pA。

43. 2.4 压强的测量 • 在实际计算中，不同情况的流体静压强需采用不同的基准来计量。通常压强的计算基准有以下两个。 • （1）绝对压强：以没有气体分子存在的绝对真空状态作为零点起算的压强称为绝对压强，以符号表示。当要解决的问题涉及流体本身的性质时，采用绝对压强，例如采用气体状态方程式进行计算时。在表示某地当地大气压强时也采用绝对压强值。 2.4.1压强的两种计量基准

44. 2.4 压强的测量 • （2）相对压强：以当地大气压pa作为零点起算的压强，称为相对压强，以符号p表示。在工程上，相对压强又称表压。采用相对压强表示时，则大气压强为零，即pa=0。相对压强、绝对压强和当地大气压强三者的关系是： • 注意，此处的pa是指大气压强的绝对压强值。 • （3）真空压强：若流体某处的绝对压强小于当地大气压强时，则该处处于真空状态，其真空程度一般用真空压强pv表示。 （式2.12） （式2.13） （式2.14）

45. 2.4 压强的测量 • 图2.18表示了上述三种压强之间的关系。在实际工程中常用相对压强。这是因为在自然界中，物体均放置处于大气压中，所感受到压强大小也是以大气压为基准的，在以后讨论问题时，如不加以说明，压强均指相对压强。

46. 2.4 压强的测量 • 工程上常用的压强计量单位有三种。 • （1）应力单位 • 根据压强的定义，用单位面积上的力来表示压强的大小。在国际单位制中用N/m2，即Pa来表示。压强很高时，用Pa数值太大，这时可用kPa或MPa。在工程制单位中，用kgf/m2或kgf/cm2。 2.4.2压强的计量单位

47. 2.4 压强的测量 • （2）液柱单位 • 压强可用测压管内的液柱高度来表示。将液柱高度乘以该液体的容重即为压强。常用的液柱高度为水柱高度或汞柱高度，其单位为mH2O(米水柱)，mmH2O(毫米水柱)和mmHg（毫米汞柱）。 • 1mH2O = 9807N/m2 = 1000kgf/m2 • 1mmH2O = 9.807N/m2 = 1kgf/m2 • 1mmHg = 133N/m2 = 13.6kgf/m2

48. 2.4 压强的测量 • （3）大气压单位 • 压强的大小也常用大气压的倍数来表示，其单位为标准大气压和工程大气压。国际上规定温度为0℃，纬度45°处海平面上的绝对压强为标准大气压，用符号atm表示，其值为101.325kPa，即1atm=101.325kPa。而在工程上，为了计算方便，规定了工程大气压，用符号at表示，其值为98.07kPa，即1at=98.07kPa。 • 换算关系为： • 1atm = 101325Pa = 10.33mH2O = 760mmHg • 1at = 98070Pa = 10mH2O ＝ 736mmHg

49. 2.4 压强的测量 • 表2.1列出了国际单位制和工程单位制中各种压强的换算关系，以供换算用。 表2.1 压强单位的换算关系

50. 2.4 压强的测量 • 【例题2.3】如图2.19中所示的容器中，左侧玻璃管的顶端封闭，其自由表面上气体的绝对压强=0.75at，右端倒装玻璃管内液体为水银，水银高度h2=0.12m，容器内A点的淹没深度hA=2.00m。设当地大气压为1at，试求：（1）容器内空气的绝对压强和真空压强p02V；(2)A点的相对压强pA；（3）左侧管内水面超出容器内水面的高度h1。