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第四章 直梁的弯曲

第四章 直梁的弯曲. § 4.1 弯曲概念和梁的分类. 梁的弯曲实例与概念. 梁的弯曲实例与概念. 梁的弯曲实例与概念. 受力特点 在构件的纵向对称平面内， 受到垂直于梁的轴线的力或力偶作用 ，使构件的轴线在此平面内弯曲为曲线，这样的弯曲称为 平面弯曲 ； 外力彼此相距较远 。. 以 弯曲变形为主要变形形式 的杆件称为 梁 。. l. d. d 1. d i. m 1. m i. m. a 1. a i. h. a. o. c. c 1. c i. x. b. n i. n. n 1. b. z. b 1. b i. y.

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第四章 直梁的弯曲

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Presentation Transcript

  1. 第四章 直梁的弯曲

  2. §4.1 弯曲概念和梁的分类

  3. 梁的弯曲实例与概念

  4. 梁的弯曲实例与概念

  5. 梁的弯曲实例与概念 • 受力特点 • 在构件的纵向对称平面内，受到垂直于梁的轴线的力或力偶作用，使构件的轴线在此平面内弯曲为曲线，这样的弯曲称为平面弯曲； • 外力彼此相距较远。 以弯曲变形为主要变形形式的杆件称为梁。

  6. l d d1 di m1 mi m a1 ai h a o c c1 ci x b ni n n1 b z b1 bi y 梁的几何形状与名称 具有对称平面的等截面直梁

  7. q h m W 梁上外力、梁的支座及分类 • 外力的类型 • 集中力 线密度 • 分布力 • 集中力偶

  8. 梁上外力、梁的支座及分类 • 梁的分类 • 简支梁：吊车梁 • 悬臂梁：管道托架，塔设备 • 外伸梁：卧式容器 本章重点讨论直梁平面弯曲的强度和刚度问题，讨论顺序：外力--内力--应力--强度条件和刚度条件。

  9. §4.2 梁的内力分析

  10. P m x n l Q P M M Q 力平衡：Q - P = 0 力矩平衡：M + P(l-x) = 0 剪力：Q = P 弯矩：M = - P(l-x) （按左半边梁，能算出Q、M吗？） 剪力、弯矩正负号的含义

  11. M M + - M M 注意:当梁的跨度(两支点间的距离)较大时，剪力相比于弯矩较小，在工程上可不考虑剪力的作用，只考虑弯矩。 弯矩的符号约定 上拉下压为负 上压下拉为正

  12. 弯矩的计算法则 梁在外力作用下，其任意指定横截面上的弯矩等于该截面一侧所有外力对该截面中性轴取矩的代数和： M=∑ mo(Fi) 凡是向上的外力其矩取正，向下的外力其矩取负：向上为正 对于集中力偶：左顺为正

  13. 弯矩图 梁横截面上的弯矩，一般随横截面的位置而变化，以坐标 x 表示横截面位置，则弯矩可表示为x的函数：M=M（x） 称为梁的弯矩方程 为了形象地表示梁各个横截面上弯矩的大小与正负，将弯矩方程用图表示，称为弯矩图。 一、弯矩图的作法：先求得梁的支座反力，列出弯矩方程，然后选择适当的比例，以x为横坐标，弯矩为纵坐标，按方程作图。正的弯矩画在x的上方，负弯矩画在下方。

  14. P m x 例1、图示一受集中力作用的悬臂梁，画该梁弯矩图。 n l Q P M 弯矩方程： （-） 弯矩图

  15. x m q 例2、图示一受均布载荷的悬臂梁，画该梁弯矩图。 n l M Q 弯矩图 （-）

  16. F b a C FAY FBY x2 M x1 x l AC CB 例3、图示简支梁 C 点受集中力作用。 试写出弯矩方程，并画出弯矩图。 A B 解：1．确定约束力 FAy＝Fb/l FBy＝Fa/l 2.写出弯矩方程 3.依方程画出弯矩图

  17. FAY q FBY M x C x y x 例4、简支梁受均布载荷作用试写出弯矩方程，并画出弯矩图。 A B 解：1．确定约束力 l FAy＝ FBy＝ ql/2 2．写出弯矩方程 3.依方程画出剪力图和弯矩图

  18. b M a C FAY FBY x2 x1 AC CB 例5、图示简支梁C点受集中力偶作用。试写出弯矩方程，并画出弯矩图。 A B 解：1．确定约束力 l FAy＝M / l FBy＝ -M / l 2．写出弯矩方程 3. 依方程画出弯矩图

  19. 规律： (1)在梁上没有分布载荷的地方，弯矩图为一直线，且一般为一倾斜直线。 (2)在有均布载荷的一段梁内，弯矩图为一抛物线。 (3)在集中力作用处，弯矩图在此为一折角。 (4)在集中力偶作用处，弯矩图有突变，突变之值即为该处集中力偶之力偶矩。

  20. 例6、一外伸梁受均布载荷和集中力偶作用，如图。试作此梁的弯矩图例6、一外伸梁受均布载荷和集中力偶作用，如图。试作此梁的弯矩图 解： （1）求支坐反力 取全梁为研究对象，由平衡方程

  21. (2)画弯矩图 (i) 分段，初步确定弯矩图形状 仍将全梁分为CA、AD、DB三段。CA段有向下的均布载荷，弯矩图为凸形的抛物线；AD、DB两段则为傾斜直线；在A处因有集中力，弯矩图有一折角；在D处弯矩有突变，突变之值即为该处集中力偶之力偶矩。 (ii)求特殊截面上的弯矩 为画出各段梁弯矩图，需求以下各横截面上弯矩：

  22. (iii)作图 在CA段内再适当算出几个弯矩值，标于坐标上，并与MC,MA的坐标相连，画出抛物线；再以直线MA,MD左和MD右，MB的坐标，可得全梁的弯矩图图c所示。由图可见，在D稍右处横截面上有绝对值最大的弯矩，其值为

  23. 例题分析 例题4-1：管道托架如图所示，如AB长为l，作用在其上的管道重P1与P2，单位为kN，a、b、l以m计。托架可简化为悬臂梁，试画出它的弯矩图。

  24. x M x - －P1 (b－a) －P1 (l－a) －P2 (l－b) 例题分析 解：共分为三个受力段，取梁左端A为坐标原点，建立坐标系，如图： • 分段列弯矩方程，画弯矩图： • M1=0 (0≤x1 ≤ a) • M2=－P1 (x2 －a) • (a ≤ x2 ≤ b) • M3=－P1 (x3 －a) －P2 (x3 －b) • (b ≤ x3 ≤ l)

  25. (2)求支座反力RC、RD RC＝RD ＝0.5qL 例题分析 例题4-2：卧式容器可以简化为受均布载荷的外伸梁，如图所示受均布载荷q作用的筒体总长L，试作出其弯矩图，并讨论支座放在什么位置使设备的受力情况最好。 解：(1)共分三个受力段，如图建立坐标系yAx．

  26. B y A C q D x RD RC l a a L M qL(L-4a)/8 + x - - 0.5qa2 0.5qa2 例题分析 (3)列弯矩方程，画弯矩图 AC段：M1= －0.5qx12 (0≤x1 ≤ a) CD段：M2= 0.5q L (x2 －a)－ 0.5qx22 (a≤x2 ≤ L －a) DB段：M３= －0.5q(L－x３)2 (L － a≤x３ ≤ L)

  27. 例题分析 欲使设备受力情况最好，就必须选择a与L的比例，使得外伸段和中间段的两个最大弯矩的绝对值相等，即： 0.5qa2＝qL(L-4a)/8 a＝0.207L 因此设计时通常取外伸梁长度a=0.2L，即卧式容器的支座应布置在梁的0.2L处。

  28. §4.3 纯弯曲时梁的正应力及正应力强度条件

  29. 纯弯曲时梁横截面上的正应力 梁段CD上，只有弯矩，没有剪力－ 纯弯曲 梁段AC和BD上，既有弯矩，又有剪力－ 横力弯曲

  30. 研究对象：等截面直梁 研究方法：实验——观察——假设 一、实验观察和假设推论

  31. 实验现象: 1、横线仍是直线，但发生相对转动，仍与纵线正交； 2、纵线弯成曲线，且梁的下侧伸长，上侧缩短； 3、横截面的高度不变，宽度在上部略为增大，下部 略为缩小。

  32. 假设： 1、平面假设：横截面变形后保持为平面，只是绕截面内某一轴线偏转了一个角度。 2、互不挤压假设：所有纵向纤维只受到轴向拉伸或压缩，相互之间没有挤压。 推论： 1、纯弯曲时梁的变形本质上是拉伸或压缩变形，而非剪切变形，梁横截面宽度的改变是纵向纤维的横向变形引起的； 2、横截面上只有正应力，而无剪应力；凹侧纤维缩短，凸侧纤维伸长。因此凹侧受压缩，存在压缩应力；凸侧受拉伸，存在拉伸应力； 3、梁内既没有伸长也没有缩短的纤维层，叫做中性层，中性层与横截面的交线叫中性轴，中性层将梁分成受压和受拉区，即中性层一侧作用拉伸应力，另一侧作用压缩应力，中性层上正应力为零，梁横截面的偏转就是绕其中性轴旋转的。

  33. 二、弯曲正应力公式的推导

  34. dx 1、几何关系

  35. z y 2、物理关系 虎克定理 纯弯曲时梁横截面上任一点的正应力与该点到中性轴的距离成正比，距中性轴同一高度上各点的正应力相等。

  36. 轴惯性矩 3、静力学关系

  37. 为曲率半径 为梁弯曲变形后的曲率 正应力公式 变形几何关系 物理关系 静力学关系

  38. 4、横截面上的弯曲正应力 抗弯截面模量

  39. 三、弯曲正应力公式的适用范围 1、纯弯曲梁。一般梁由于剪力的存在，梁的横截面将发生翘曲，同时横向力将使梁的纵向纤维间产生局部挤压应力。弹性力学精确分析表明，当跨度 l与横截面高度 h之比 l / h > 5（细长梁）时，纯弯曲正应力公式对于横力弯曲近似成立。 2、具有纵向对称面的各种截面形状的梁，但注意中性轴不是横截面的对称轴时，上下表面的抗弯截面模量不同。 3、弹性变形阶段。

  40. 矩形截面 圆截面 空心圆截面 截面几何量Iz 与Wz 常见截面的 IZ 和 WZ

  41. 截面几何量Iz 与Wz • 其它截面形状的Iz 和Wz（参见表４－２） 对各种型钢，Iz 和Wz值可从有关材料手册中查到 • 结论：１）梁在弯矩相同的截面上， Iz 和Wz值越大， σmax越小，因此设计梁的截面形状时，要尽量使Iz 和Wz值大； ２）梁在弯矩相同的截面上， Iz和Iy可能不同，Wz和Wy可能不同，因此若将梁沿轴向转90º，其承载能力不同。

  42. 2.变截面梁要综合考虑 与 弯曲正应力的强度条件 由梁的弯矩图可找到梁上弯矩最大的横截面，即：危险截面。危险截面上、下边缘处的正应力最大，故梁的强度条件为： 许用弯曲应力 1.等截面直梁，弯矩最大的截面上下边缘 3.如横截面不对称于中性轴时，上下表面抗弯截面模量不同 4.脆性材料抗拉和抗压性能不同，二方面都要考虑

  43. 弯曲正应力的强度条件 • 强度条件的应用 • 强度校核 • 设计截面 • 计算许可载荷

  44. 例题分析 例1．如图所示容器，借助四个耳座支架在四根各长2.4m的工字钢梁的中点上，工字钢再由四根混凝土柱支持。容器包括物料重110kN，工字钢为16号型钢，钢材弯曲许用应力[s]=120MPa，试校核工字钢的强度。 解：将每根钢梁简化为简支梁，如图，通过耳座加给每根钢梁的力为

  45. 例题分析 简支梁在集中力的作用下，最大弯矩发生在集中力作用处的截面上，P力在梁的中间L/2处，最大弯矩值为： 由型钢表查得16号工字钢的WZ=141cm３ ，故钢梁的最大正应力为： 故此梁安全。

  46. q=60kN/m 120 30 K 180 z C 1m l = 3m FAY y FBY M A B x x 例题2 1.C 截面上K点正应力 2.C 截面上最大正应力 3.全梁上最大正应力 4.已知E=200GPa， C 截面的曲率半径ρ 解： 1. 求支反力 （压应力）

  47. q=60kN/m 120 30 K 180 z C 1m l = 3m FAY y FBY M A B x x 2. C 截面最大正应力 C截面弯矩 C截面惯性矩

  48. q=60kN/m 120 30 K 180 z C 1m l = 3m FAY y FBY M A B x x 3. 全梁最大正应力 最大弯矩： 截面惯性矩：

  49. q=60kN/m 120 30 K 180 z C 1m l = 3m FAY y FBY M A B x x 4. C 截面曲率半径ρ C 截面弯矩： C 截面惯性矩：

  50. 图示为机车轮轴的简图。试校核轮轴的强度。已知：图示为机车轮轴的简图。试校核轮轴的强度。已知： 材料的许用应力 分析（1） （2）弯矩 最大的截面 （3）抗弯截面系数 最 小的截面 例题3 ？

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